1、4.3 序列相關CLRM 假設：不同觀察值下的隨機誤差項不相關。實際中，不同觀察值下的隨機誤差常相關。內容：序列相關含義、4.3.1 序列相關的含義一、序列相關的含義、檢驗、修正。序列相關表達： cov t , s E t s 0for t s如家庭消費模型中的隨機誤差存在序列相關。對于時間序列數據，序列相關意味著消費的隨機干擾項與過去消費的隨機干擾項有關，消費具有慣性；對于截面數據，序列相關意味著每個家庭消費之間的隨機相互受影響。二、序列相關存在的原因慣性模型設定誤差（變量、函數形式）數據加工三、序列相關的形式序列相關常稱為自相關，是指隨量與其滯后項之間的相關，這里主要指回歸模型中隨機誤差項

2、的自相關。當誤差項只與其滯后一期有關時，即 t =f( t-1)，稱誤差項具有一階自回歸形式，記 AR(1)。當誤差項不僅與前一期有關，而且與前若干期都有關時，即 t =f(t-1, t-2,)，稱誤差項具有高階自回歸形式。下面誤差項具有線性一階自回歸形式的一元回歸模型：Y X , N 0, for t 1,.,T2ttttcovv , v 0, cov 0 v , v N 0,2, vtt 1ttvtst 1t 的含義：由于t t1 vt 滿足 CLRM 假設，所以 的 OLS 估計為：TT t t t 1 21t 2t 2另外，將 t 和 t-1 看作兩個變量，它們樣本相關系數為：TTT

3、t 1 t t 1 t 22t 2t 2t 2當大樣本時， 。對于總體參數而言，有 。于是， t t 1 vt 常寫作： t t 1 vt , 1cov cov , v 2tt 1ttt 1cov , s 2t st1于是，隨機誤差項的方差-協方差陣為：1.T 2T 1 1.T 2 var = 22.1T 1另外，從 與 的關系：22vt 1vt 2 var var var v 22 22vtt 1t 2 v ，隨機誤差2方差。1 2四、序列相關的特征正自相關的隨量變化特征m1 growth rate_序列相關.wf1M1g 為 1979 年 1 月至 2008 年 9 月（n=357）中國狹

4、義貨幣同比增速plot M1g（時序圖）60scat M1g(-1) M1g（散點圖）605050404030302020101000-10-10-10 010 20 30 40 50M1G(-1)1980 1985 1990 1995 2000 200560M1G無自相關的隨ls m1g c m1g(-1) series e=resid plot e（時序圖）30量變化特征scat e(-1) e（散點圖）302020101000-10-10-20-20-30-30-30 -20 -1001020E(-1)1980 1985 1990 19952000 200530E因此，我國狹義貨幣增長率

5、為 AR(1)時間序列。負自相關的隨量變化特征tablef5-2.wf1 （n=204）series infl=100*cpi_u/cpi_u(-1)-100 ls infl-infl(-1) c unempseries e=resid2M1GEplot e（時序圖）scat e(-1) e（散點圖）3210-1-2-3-3-2-10123E(-1)4.3.2 序列相關的一、OLS 估計量仍線性無偏且一致ee 22二、估計量為誤差項方差的有偏估計T k以誤差項具有線性一階自回歸形式的一元回歸模型為例Yt Xt tet Yt Xt , and are OLS estimators 2 T 2 1

6、 2 r e2 E t 2 E T 2 T 2 t sx 。 t其中， r 2當 0 時， E ；222e當 0 時， E ，即為 有偏估計。222t2T 2當 0 和解釋變量在數據上呈正自相關（即 r 0 ）時，T 2 1 2 r2E 2T 2T 2 2 1 2 r2 2T 2誤差項的方差估計 低估 。圖形直觀理解2E ：2223E3210-1-2-350 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 E等著計量經濟模型與經濟(第 4 版)圖 6-1 正序列相關注：圖來自上圖說明當誤差序列相關時，OLS 估計量無偏，但 OLS 估計量的方差估計卻低估了真實方差。三、OLS 估計

7、量的方差估計量有偏 1這里指用公式X X作為 var 的估計量，而2 1 XX 1 。var 2對于誤差項具有線性一階自回歸形式的一元回歸模型： xt t 222xt t tx var var22xts cov t , s t2222xxt 2 tx x t ss t s2 tx222xtx 作為 var 估計，可能低估也可能 t因此，用 22的22x 是 var 有偏估計。 t方差。簡言之， 222四、置信區間法和顯著性檢驗(t 和 F 檢驗)不可靠當 0 和解釋變量在數據上呈正自相關時， t2x 低估2var ，造成 t 值偏大，從而把不重要的解釋變量保留在模型中，2使顯著性檢驗失去意義。

8、4.3.3 序列相關的檢驗一、殘差的時序圖和自相關散點圖二、Durbin-Watson 檢驗1、Durbin-Watson 檢驗前提條件回歸模型包含截距項解釋變量為非隨量因此，解釋變量不能包含滯后被解釋變量隨機誤差項t 有特征： t t1 vt , 1即為一階自回歸，記 AR(1)因此，Durbin-Watson 檢驗對如下的自回歸模型不適用：Yt 1 2 Xt 3Yt 1 t42、Durbin-Watson 統計量原假設H0: = 0對立假設 H1: 0構造如下統計量：TTt 1 t22Det 2t 1TTTTe2Dt t 2t 2t 2t 1TTTt 2 2e 2e e2e2t 1 ttt

9、 t 2t 2 2 1 ,TT t t t e e 2e ，是e 對e回歸的斜率系數，或者e其中，1tt 1tt 2t 2和et 1 的相關系數。于是，1 10 DW 4實際上， 1表示存在根的序列。其中，H0: 不存在正序列相關*H0 : 不存在負序列相關DW 統計量有兩個臨界值：下限 dL 和上限 dU ，有 3 個參數：顯著水平、樣本容量 T 和解釋變量個數 k / (不包括常變量)。3、利率（該例來自R3 月期erest rate.wf1）計量經濟模型與經濟第4 版P104。和國債利率，為年利率，：%IP的工業生產指數（1987=100）儲備M2名義貨幣供給（十億）PW所有商品的生產價

10、格指數（1982=100）series gm2=(m2-m2(-1)/m2(-1)genr gpw=(pw-pw(-1)/pw(-1)5完全正相關無自相關完全負相關 = 1 = 0 = 1DW=0DW=2DW=4smpl 1960m1 1995m8ls r c ip gm2 gpw(-1)n428Rt 1.214 0.048IPt 140.31GM 2t 104.59GPWt 16.00t 2.20 8.793.89 0.216,s 2.48,DW 0.18R2一般地，利率與貨幣供給成反相關系，但 GM2 系數為正，問題出在哪？DW=0.18 揭示，殘差可能存在正序列相關，于是觀察殘差的時序圖

11、和自相關散點圖：12840-4-8-8-404812E(-1)殘差存在明顯的正自相關。三、Durbin h 檢驗當解釋變量包含滯后因變量時，盡管誤差項確實存在序列相關，但常常 DW2。Durbin 提出用 Durbin h 統計量來檢驗誤差項的序列相關性。但從統計學意義上看，這一檢驗不如 Breusch-Godfrey檢驗有效力，因此，不常使用 Durbin h 檢驗。4.3.4 序列相關的克服與異方差相似，序列相關性可能由于遺漏相關變量或者函數形式錯誤造成，因此，必須在正確設定模型后再修正序列相關。模型：Yt 1 t t 1 vt , t ,t 1,.,Tk Xkt 1covv , v 0

12、for t s,cov 0v N 0,2, vt 1ttvts一、廣義差分思路：序列相關序列無關將模型滯后一期： 1 k Xkt 1 t 1Yt 1原模型減去 倍的滯后一期模型：1 vY *X *t1kktt Y YY *t 1X 2t 1ttX kt 1變換后的模型滿足 CLRM 假設。因此，估計量具有 BLUE 性質，6E12840-4-81960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995E該估計法叫廣義最小二乘法(GLS)。前一節的(WLS)也屬于廣義最小二乘法。當 1時，變換為一階差分。在模型變換過程中觀察值損失了一個，在小樣本時，式補充觀察值:最小二乘法可

13、用下 1 2 YY *1X *1 1 2 X2121 1 2 XX *k1k1廣義差分法可平行推廣到誤差項二階、三階序列相關情形。以上似乎很好地解決了序列相關問題，但還有一個關鍵問題是為多少？二、 的估計1、一階差分，即 =1實際上，變換后模型的估計對于 值并不敏感。一階差分后，可估計 ,., ，但截距項 。 可用下式計算：2k11 Y X1k2、從 DW 統計量估計 1 DW 2 ，在樣本較大時，3、從 OLS 殘差估計et et 1 vt例 利率( erest rate.wf1)smpl 1960m1 1995m8ls r c ip gm2 gpw(-1)到較好的 的估計。n428原模型

14、1 DW 2 0.9077 殘差序列的自回歸 0.9089 series e=residls e c e(-1)scalar a=c(2)ls r-a*r(-1) c ip-a*ip(-1) gm2-a*gm2(-1) gpw(-1)-a*gpw(-2)廣義差分模型1-0.9089 2.61 0.23761Rt 2.61 0.049IPt 62.65GM 2t 7.63GPWt 1t 4.049 -5.7842.245與原模型比較：Rt 1.214 0.048IPt 140.32GM 2t 104.59GPWt 1t 2.20 8.783.896.0074、Cochrane-Orcutt 計算

15、法模型： Yt 1 tk Xkt(1)對模型采用 OLS 估計，得殘差e(1)t(2)對殘差回歸： e(1) e v ，得 (1)(1)(1)t 1tt(3)用 (1) 進行廣義差分變換： 1 ( vY *X *t1kktt對變換后的方程進行估計，得原截距 以及所有偏回歸系數1, ,., ，將它們代入原模型，計算新的回歸殘差：23k Y X . Xe(2)tt122tkkt(4)對新的殘差回歸： e(2) e v ，得 (2)(2)(2)tt 1t(5)重復(3)和(4)，直到相鄰的 估計充分接近至精度要求5、Hildreth-Lu 方法如果殘差正序列相關，則取 的網格點值 0, 0.1, 0

16、.2, 0.9, 1.0，用這些值分別作廣義差分，選擇使得廣義差分方程的殘差平方和 ESS 最小的。在該鄰域內繼續該過程，直到滿足精度為止。 三、AR 模型在 Eviews 中的估計例 利率( erest rate.wf1)ls r c ip gm2 gpw(-1) AR(1)Dependent Variable: R Sample: 1960M01 1995M08Included observations: 428Convergence achieved after 13 iterationsVariableCoefficientStd. Errort-S isticProb.C IPGM2

17、 GPW(-1)AR(1)-49.585860.244097-62.407336.2120350.998771140.55960.0406239.5189512.9703870.004546-0.3527756.008774-6.5561152.091322219.69790.72440.00000.00000.03710.0000R-squaredAdjusted R-squaredS.E. of regres0.9682980.9679990.499600Durbin-Watson s1.642936實際上，Eviews 用非線性估計方法估計 AR 模型。例如，對于二元回歸模型，將其廣義差

18、分方程整理為：8 Yt1 1 1 X 3t 1 vtYtX 3t然后用 Marquardt 非線性估計法同時估計參數、 、 和 。四、Newey-West 異方差和自相關修正后的標準差與異方差情況相似，在自相關情況下，OLS估計量無偏且一致，只是方差非有效。Newey and West (1987)發展了一個計算OLS估計量標準差的方法，但要求大樣本。OLS估計量的方差協方差矩陣估計：var 1 1TX e2 XtttX X 1X XX + Xt ltt -lt lt l 1 t l 11 1， L T 14 。其中，4.4.3 序列相關性分析（4.4 實證分析 P142）表 4.6.wf1Y

19、糧食總產量 X1播種面積 X2成災面積 X3化肥施用量X4農村勞動力ls log(y) c log(x1) log(x2) log(x3) log(xseries e=residls e c e(-1)c(2)=0.570DW 0.85, 1 DW 2 0.575一階廣義差分：series gy=log(y)-0.575*log(y(-1) series gx1=log(x1)-0.575*log(x1(-1) series gx2=log(x2)-0.575*log(x2(-1) series gx3=log(x3)-0.575*log(x3(-1) series gx4=log(x4)-0

20、.575*log(x4(-1) ls gy c gx1 gx2 gx3 gx4DW1.26落在不確定區域二階廣義差分：ls e c e(-1) e(-2) scalar r1=c(2) scalar r2=c(3)series ggy=log(y)-r1*log(y(-1)-r2*log(y(-2)series ggx1=log(x1)-r1*log(x1(-1)-r2*log(x1(-2) series ggx2=log(x2)-r1*log(x2(-1)-r2*log(x2(-2)See (9-27) on page 273 and (20-17) on page 920 from Eco

21、nometricysis (7thEdition, 2012) by Greene.9RESID4).06.04.02.00-.02-.04-.06-.08-.08-.04.00.04.08RESID(-1)series ggx3=log(x3)-r1*log(x3(-1)-r2*log(x3(-2) series ggx4=log(x4)-r1*log(x4(-1)-r2*log(x4(-2) ls ggy c ggx1 ggx2 ggx3 ggx4DW1.71Eviews中的估計：ls log(y) c log(x1) log(x2) log(x3) log(x4) ar(1) ar(2)

22、比較三個回歸結果：ls gy c gx1 gx2 gx3 gx4ls ggy c ggx1 ggx2 ggx3 ggx4ls log(y) c log(x1) log(x2) log(x3) log(x4) ar(1) ar(2) 廣義最小二乘估計法（4.2.3 節）一、廣義最小二乘估計法1、廣義最小二乘法回歸模型： Y X 隨機誤差項 的方差-協方差陣：21121n 2 var = 2n 2 2122 n1 n 2 n一般地，是一個對稱正定矩陣。為了得到參數 的有效估計，必須利用提供的信息。對于正定矩陣，存在非奇異矩陣 H，使得：H H = In用 H 變換 ，得：E H H HE H = H H = I22n思路：用矩陣H 變換模型，變換后的模型滿足CLRM 假設。原模型：Y X 變換后模型： HY HX H HX , H ，于是， *記Y * = HY ,X *變換后模型： Y * X * *E * * E H H = 2 In變換后模型滿足 CLRM 假設，其 OLS 估計量： 1= X H HX 1 X H HY10*Y *由