1、1伽羅瓦與群論2了解一下3伽羅瓦4伽羅瓦的成就5群的概念61,1 對稱性的意義 在非相對論量子力學，經常使用外場的概念，外場存在使系統對稱性降為外場的幾何對稱性，全同粒子的置換對稱性對多體問題是重要的。因此，這兩種對稱性對于原子，原子核，分子和固體系統的理論，具有重要的意義。 1.2，對稱變換 在量子力學中，一個系統的狀態用波函數（r）來描述，現考查在空間變換和粒子的置換變換下波函數的導出形式，以及對稱變換的條件。 用f表示坐標空間的一個變化，它使r變成 記為 f 可以是平移a，繞z軸轉角，或對原點的反演，具體表示為：平移71,1 對稱性的意義繞z軸轉動和反演 當坐標空間發生變化時，系統的狀態

2、波函數也會發生變化，變為 ， 在 處的值即為在r處的值，可寫為 81,1 對稱性的意義 若將fr記為r，r就變為 ，上式可以寫為 （1.2） 波函數（r）變為 的變換，也可以用一個算符 來表示，記為 也可寫為 ，這式可以看成算符 的定義。當f為空間反演時， 便是宇稱算符， ， 當f是空間平移時， 是平移算符，從（1.2）式出發，利用泰勒展開可以推出平移算符的顯式為其中 是動量算符。 91,1 對稱性的意義 當f為空間轉動時，取轉動矢量為 ，它的方向為轉軸方向，是轉角的大小， 為轉動算符。其顯式為 ，其中, 為角動量算符。 對給定系統，變換是否對稱變換要由系統的運動方程在 作用下是否改變來決定，

3、即要看和 是否滿足同一方程，設滿足Schrodinger方程， （1.3） 是系統的Hamilton算符。 101,1 對稱性的意義 假定 是一個與t無關的算符，將其作用在方程（1.3）的兩邊，得 （1.4） 從上兩式看出，和 滿足同一方程要求 （1.5） 上式表明，一個變換是對稱變換的必要而充分的條件是這變換算符與系統的Hamilton算符對易。 在量子力學中，全同粒子是不可區分的，當兩個粒子交換時，系統的Hamilton量不變，因此，在任何情況下，全同粒子的置換變換是對稱變換。111,1 對稱性的意義 1.3，對稱性與守恒定律 在物理學的研究中，守恒定律具有非常重要的作用。人們經常觀測到某

4、些物理量在變化過程中總是不變的，這些量就是守恒量。守恒定律與對稱性之間有密切關系。 關于守恒定律與對稱性之間的聯系，最早由Jacobi在1842年所注意，他用拉氏函數描述經典力學系統時，從拉氏函數在平移下不變，導出線動量守恒。在轉動運動下不變，給出角動量守恒。1887年schatz從拉氏函數的時間平移不變，得到能量守恒。 現在人們都習慣用Hamilton量而不是用拉氏函數討論對稱性與守恒定律的聯系，因它在量子力學中更為方便。不管在經典力學還是量子力學中，線動量，角動量和能量的守恒都來自Hamilton量在平移、轉動和時間平移下的對稱性，更暜遍地說，物理系統的任一個守恒定律都對應哈密頓量在相應變

5、換群下是不變的。反過來不能說一種對稱性一定存在一個守恒定律，例如時間反演對稱性就沒有相應的守恒定律。 121,1 對稱性的意義 Wigner指出，在量子力學中，對稱變換都對應一個幺正算符或反幺正算符，對幺正算符則伴隨守恒律，若在反幺正變換下就沒有明確的守恒律，如時間反演，但會帶來其它的限制。 如果描述粒子相互作用的哈密頓量，在一個幺正變換下是不變的，則我們能看到系統的散射矩陣在這變換下也不變，即反應截面不變。例如研究兩個極化電子束的散射，當極化電子束平行與反平行于束方向時，相互作用哈密頓量不變則馬上可以推出這兩種反應截面相同。當然這結果可以利用量子場論計算給出。 在有些情況下，相互作用性質不清

6、，真實的哈密頓量寫不出來，但利用對稱性也能預言某些結果，例如，質子質子的散射，核力的細節不清，相互作用H寫不出來，但利用對稱性仍然能預言極化質子平行與反平行于束方向極化，其散射微分截面相等。 對稱性的討論還能給出某些躍遷過程的選擇定則，這些選擇定則使我們能預言反應是否能發生。例如，在任何反應中，總電荷守恒，即反應中有以下選擇定則 。131.2, 對稱性與群 一個幾何圖形或物理系統的對稱性可以用它的對稱變換的集合來描述，這對稱變換集合具有明顯的數學性質： 1) 任何兩個對稱變換接連發生（相乘）所得變換仍是一個對稱變換； 2） 當幾個對稱變換相繼連續發生時，在不改變次序的條件下，可以將其隨意組合（

7、結合律）； 3）恒等變換是對稱變換（單位元素）; 4) 對稱變換的逆變換也是對稱變換。具有以上性質的集合，數學中稱為群。因此，對稱變換的性質可以利用群來研究。 141.2, 對稱性與群例如，繞定點的空間轉動，它有以下性質; (1) 一個物體連續進行兩次轉動，一定相當從開始到末了繞某軸的一次轉動； (2) 如果連續完成三次轉動，它可以先完成前一次轉動然后完成一個等于后兩次的轉動，也可以先完成等于前兩次轉動再完成后一次轉動，即轉動變換滿足結合律； (3) 轉動角度為零為恒等變換，相當單位元素； (4) 如果繞某軸轉動角，一定可以繞同軸轉動-而復原，第二次轉動為第一次轉動的逆元素。 這樣所有的轉動的

8、集合構成一個群，稱為轉動群， 記為SO（3）。 151.2, 對稱性與群 空間轉動可以連續變化，它是連續群。如果群元素都可以表示為一組參數的函數，而且函數可微，這群稱為李群，李群在物理學中廣泛使用。 幾何圖形對稱變換形成的群常是不連續的，有限的。例如利用以下六種操作可保持平面正三角形不變： e 是不轉 ， a 為 繞軸1轉 ， b 為繞軸2轉 ， c 是繞軸3轉 ， d為 繞垂直軸z逆時鐘轉2 /3， f是 繞z軸順時鐘轉2 /3。 它們構成一個6元素的群 ，不難證明 滿足群的四點要求。 總之對稱變換，與代數中的群密切相關，因此人們可以通過研究群的性質來了解物理中的系統各種對稱性質。161.3

9、 對稱性的分類 在物理學中有多種不同的對稱性，根據它們性質與原因不同，可以分為三類: 一種是客觀存在嚴格對稱性，另一種是不嚴格的近似對稱性，還有一種是為了討論問題而引入的，稱為模型對稱性。下面分別介紹。3.1，嚴格對稱性 對我們來說最熟悉的嚴格對稱性是空間、時間平移及空間轉動對稱性，可以證明它們對應動量、能量和角動量守恒。 還有一種對稱性是來自相對論的Lorentz變換下的不變性，即兩個相對以勻速直線運動坐標系之間變換具有不變性，英語中稱為Boost，與Boost有關的物理守恒定律不太有用，因一般物理系統角動量守恒，而角動量算符與Boost相聯系的算符不對易，因此不能從Boost聯系的守恒定律

10、給出有用的選擇定則。 以上四種對稱性，十個守恒量組合起來稱為在非均勻Lerentz變換下的對稱性，這種對稱性目前在物理領域認為是精確的，相應的時空是平滑的。171.3 對稱性的分類 另一類嚴格對稱性是在總體規范變換下的不變性，或稱第一類規范不變性。這種對稱性聯系著電荷（Q）守恒，重子數（B）守恒與輕子數（L）守恒， 所謂規范變換，在學習電磁場理論時有一個例子，電磁規律具有Lorentz規范不變性，就是當利用矢勢 和標勢描述電磁場時， 和做以下變換; 是任一標量函數，給出同樣的電場強度和磁場強度。就說電磁規律在Lorentz規范變換下具有不變性。這種規范變換意味著靜電勢的零點可以任意取。則在電荷

11、守恒下能量守恒。 重子數守恒也是一種規范變換下的不變性，即重子數規范變換下具有不變性，即當 時系統的性質不變。因系統的相互作用能量是依賴于 ，因此與相因子無關，其中B是重子數。即表明不同重子數態的相因子不可區分。 181.3 對稱性的分類 當 時，相應系統的Hamilton量變換為 若方程不變有 則 ，所以，【B，H】=0。 在量子力學中知道，任何一個力學量，若與Hamilton量對易，就為守恒量。因此重子數是守恒量。類似可以證明電荷數和輕子數守恒。重子數、輕子數和電荷數守恒已為大量實驗事實所證明。191.3 對稱性的分類 除總體規范變換下不變性外，電磁相互作用在定域規范變換下是不變的，如果假

12、定Hamilton量是在總體規范變換下不變，而不是在定域規范變換下不變，則對稱性就不是精確的，現在已有一種理論推測重子數、輕子數守恒只是一個近似守恒定律，這理論就是所謂大統一理論。 下面介紹與全同粒子交換有關的對稱性，由于全同粒子是不可區分的，因此全同粒子系統的所有可觀測量都是相對于全同粒子交換是對稱的，否則我們可以利用這個可觀測量來區分全同粒子。量子力學狀態常用一組力學量的本征值來表征，因此，量子力學狀態，在全同粒子交換下應有確定的對稱性質。從實驗所知，具有整數自旋的全同粒子系統，當兩個粒子交換時狀態是對稱的；而具有半整數自旋的全同粒子系統，當兩個粒子交換時，狀態是反對稱的。全同粒子狀態這些

13、性質構成一個定律，稱自旋-統計定律。 201.3 對稱性的分類3.2 近似對稱性 前面討論嚴格對稱性是對所有相互作用都成立的，至少對強相互作用，電磁作用，和弱相互作用是如此。下面介紹一些對稱性只是近似的，或者說只在某些作用下成立，而在另外作用下不成立。但在近代物理中人們對它們具有更大的興趣。 首先要介紹的是坐標空間的反演對稱性，它對應的守恒量就是宇稱守恒。 在1957年以前，人們認為空間左右對稱性是嚴格的，直到李政道和楊振寧提出弱相互作用下宇稱不守恒，爾后為吳健雄等人實驗所證明時，才知道空間反演對稱性是近似的，只在強相互作用和電磁相互作用下成立。 另一種近似對稱性，是正反粒子相互替換的對稱性，

14、或稱電荷共軛變換C，與這對稱性有關的守恒定律就是電荷共軛宇稱，或C宇稱。 211.3 對稱性的分類 它也只在強相互作用和電磁相互作用下成立，而弱相互作用下不成立。至于CP聯合變換，P是坐標空間的反演，原來認為CP聯合變換在弱相互作用下成立，但1964年人們從 介子衰變中發現它在弱相互作用下也不成立，它也是一個近似對稱性。 下面考慮時間反演（T）下的對稱性，在量子力學中，時間反演是一個反幺正變換，因此，沒有相應的守恒定律，人們從 介子衰變實驗結果分析中給出T變換在弱相互作用中不是嚴格對稱的。單獨證實T違反是困難的，現在都通過CPT定律來證明。在量子場論中，可以證明CPT聯合變換是嚴格對稱的，應有CPT定律，若CP不變，T也不變。因C和P相應幺正變換，T相應反幺正變換，則CPT對稱性是反幺正的，所以它沒有相應的守恒定律。但CPT聯合變換下不變性有些重要的推論，例如，一個結果是正反粒子的質量相等。221.3 對稱性的分類 3.3 模型對稱性 在近代物理中，常引入一些模型，原子、分子、原子核或基本粒子，在這模型空間中具有某種對稱性，對稱性質的研究，可以給出這些微觀粒子的結構和能譜的某些知識。 例如，基本粒子中的Quark模型，認為基本粒子是由Quank組成，在粲數粒子沒發現之前，認為Quark有三