1、四、計息期及其利率匹配 計息期，就是指每次計算利息的期限term。日常生活中用得最多的，是以年為一個計息期。但計息期可以是日、周、月、半年、年，甚至是商定的其他時間長度。計息時，期利率必需與計息期完全匹配：日日利率；周周利率；月月利率，半年半年期利率，等等。年利率通常以“百分之為單位，其他的那么采用“千分之、“萬分之甚至“十萬分之為單位，通常計息期越短，采用的利率單位越小。 .計算期及其利率匹配舉例前面的例子都是假設利息一年復利一次，這叫年復利計算annual compounding但是假設他的投資或存款是按日、月或半年期，等等計息時，在投資或存款期間需求復利幾次？這直接關系到最終的收益。舉例

2、，假設他年初在銀行存入100元，年利率為5%，但6個月計息一次，存期為3年，期末現(xiàn)金總收入是多少？.稱為半年期復利計算semiannual compounding或非年度復利計算。只需每年不止一次付息，就需求做兩個方面的轉換：將設定利率轉換為“付息期間利率，這里由5% 2.5%；總共復利的期間數(shù)：年數(shù)*每年復利次數(shù)=3*2=6.這樣，我們就可基于半年期復利計算未來值.公式計算：FV6=PV(1+i)6=100*1+0.0256 =115.97元期間期初數(shù)0123100元115.76元105元110.25元2107.69102.5113.14013456100105.06110.38115.97

3、期間期初數(shù).同樣的邏輯可以運用與計算半年期復利計算的現(xiàn)值。思索：假設他買房子貸款100萬，貸款期限為20年，同樣的年利率條件下，可以選擇按季度歸還和按月歸還，他選擇什么？為什么？.第二章 貨幣的時間價值2.1 貨幣的時間價值2.2 單利終值與現(xiàn)值2.3 復利終值與現(xiàn)值2.4 年金終值與現(xiàn)值 .2.4 年金終值與現(xiàn)值一、年金的根本概念與類型二、普通年金終值和現(xiàn)值三、先付年金終值和現(xiàn)值四、遞延年金終值和現(xiàn)值五、永續(xù)年金現(xiàn)值.一、年金的根本概念與類型所謂年金annuity，是指在某一確定期間內，每期都有一筆金額一樣的系列收付款項。年金是這樣一組現(xiàn)金流序列：每一筆收入或者支出的金額都相等；每相鄰兩筆收

4、入或者支出之間的時間間隔都相等。現(xiàn)實生活中，折舊、租金、利息、保險金、分期付款都是年金的詳細方式。 .年金根據(jù)款項發(fā)生的時間特點，分為普通年金后付年金、預付年金先付年金、遞延年金、永續(xù)年金。n0.普通年金后付年金是指每期的收付款項發(fā)生在期末的年金。 nAA0.先付年金(預付年金)是指每期的收付款項發(fā)生在期初的年金。 nAA0.遞延年金(延期年金)是指前面假設干期不發(fā)生、之后才發(fā)生收付款項的年金 。 nAA.永續(xù)年金是指無限期發(fā)生收付款項的年金，它是普通年金的一種特殊方式。 AA0.二、普通年金終值和現(xiàn)值的計算普通年金后付年金是指每期的收付款項發(fā)生在期末的年金。 nAA0.一普通年金的終值計算舉

5、例1.逐漸計算法2.公式法查年金終值系數(shù)表法.1.年金終值的逐漸計算法假設他買了一份保險，要求每年年末向保險公司支付100元現(xiàn)金，年報酬率為5%,請問第三年末他的賬戶余額是多少？逐漸計算法如圖示：期間現(xiàn)金流量時間線0123-100-100-100-100.00-105.00-110.25-315.25.逐漸計算法逐漸計算法：用各期支付額乘以1+iN-t，然后加總，得出年金終值。第三年末投入的100元的終值為： 100*1+5%3-3=100第二年末投入的100元的終值為： 100*1+5%3-2=105第一年末投入100元的終值為： 100*1+5%3-1=110.25 加總后的年金終值為：3

6、15.25.2.普通年金終值的計算 公式法FVA年金終值 A 每期收付款項，即年金 n計息期數(shù) i利息率本例用公式法計算：FVA3=100*(1+0.05)3-1/0.05=100*年金終值系數(shù)=100*=315.25(元).普通年金終值舉例2例：某人在每年年末到銀行做定期存款1萬元，前面的定期存款到期后本金和利息自動轉存，年利率為5%，問這樣延續(xù)存五年，本利和是多少？.普通年金終值舉例210000(1+0.05)5 -1/0.05100005.525655256 (元)年金終值系數(shù).二普通年金的現(xiàn)值計算舉例1.逐漸計算法2.公式法查年金現(xiàn)值系數(shù)表法.1.年金現(xiàn)值的逐漸計算法舉例1假設他買了一

7、份保險，要求每年年末向保險公司支付100元現(xiàn)金，年報酬率為5%,共支付了3年，請問現(xiàn)值值多少錢？逐漸計算法如圖示：期間支付額0123-100-100-100-95.24-90.70-86.38PVA3=-272.32.年金現(xiàn)值的公式法計算舉例普通年金現(xiàn)值的計算公式 PV年金現(xiàn)值 A 每期收付款項，即年金 n折現(xiàn)期數(shù) i 折現(xiàn)率本例用公式法計算PVA=100*1-(1+0.05)3/0.05=100*年金現(xiàn)值系數(shù) =272.32 .普通年金現(xiàn)值舉例2例:某公司擬貼現(xiàn)發(fā)行三年期債券，每年年末按100元的票面向債券持有人支付本息，發(fā)行的市場利率為10%，問債券的發(fā)行價應該是多少？ .普通年金現(xiàn)值舉例

8、2普通年金現(xiàn)值的計算 1001/0.1 1-1/(1+0.1)3)100*年金現(xiàn)值系數(shù)248.68 (元).三、先付年金終值和現(xiàn)值先付年金是指每期的收付款項發(fā)生在期初的年金。 nAA0.先付與后付年金的區(qū)別，只是收付款項發(fā)生的時間不同，一個在期初，一個在期末. 就終值計算來看，先付年金比后付年金多計算一期利息；而就現(xiàn)值計算來看，先付年金比后付年金少計算一期貼現(xiàn)利息。 nAnAA00A.1.先付年金終值的逐漸計算法舉例普通年金例子假設他買了一份保險，要求每年年末向保險公司支付100元現(xiàn)金，年報酬率為5%,請問第三年末他的賬戶余額是多少？逐漸計算法如圖示：期間現(xiàn)金流量時間線0123-100-100

9、-100.00-105.00-110.25-315.25這是之前普通年金的例子.1.先付年金終值的逐漸計算法期間現(xiàn)金流量時間線0123 -100 -100 -100假設他買了一份保險，要求每年年初向保險公司支付100元現(xiàn)金，年報酬率為5%,請問第三年末他的賬戶余額是多少？逐漸計算法如圖示：-105.00-110.25-115.76-331.01FVA3(先付)=315.25(普通)*1+0.05 =331.01.2. 先付年金終值計算公式FV年金終值 A 每期收付款項，即年金 n計息期數(shù) i利息率本例公式法計算年金終值FVA3=100*1+0.05*(1+0.05)3-1/0.05=105*普

10、通年金終值系數(shù)=331.01.先付年金終值舉例2例：某人在每年年初到銀行做定期存款1萬元，前面的定期存款到期后本金和利息自動轉存，年利率為5%，問這樣延續(xù)存五年，本利和是多少？ .先付年金終值舉例2公式計算10000(1+0.05) (1+0.05)5 -1/0.05=10000*1.05*普通年金終值系數(shù)58019 (元)先付58019 vs 后付55256.4.先付年金現(xiàn)值逐漸計算法先付年金現(xiàn)值逐漸計算法 時間線板書也可以可以轉化成普通年金后計算看圖：將每次的期初支付分別計算一期終值，然后將此一期終值作為普通年金計算現(xiàn)值。FVA3先付=A*1+i*FVA3普通年金現(xiàn)值系數(shù) =100*1+0

11、.05*2.7232=285.94期間現(xiàn)金流量時間線0123-100 -100 -1005%.4.先付年金現(xiàn)值公式計算法先付年金現(xiàn)值公式 PV年金現(xiàn)值 A 每期收付款項，即年金 n折現(xiàn)期數(shù) i 折現(xiàn)率本例公式計算FVA3=100*1+0.05*1/0.051-1/(1+i)3=285.94.按揭貸款分期歸還舉例在現(xiàn)實生活中，按揭貸款是典型的先付年金的例子，但它們是知道現(xiàn)值貸款額，要求出每期應該歸還的款項。例：某人要購買的一套商品房價款108萬元，他在支付三成的首付后，其他部分向銀行做按揭貸款，貸款利率為6%，貸款分20年、按等額本息方式歸還，假設按年歸還，問此人每年年初應歸還銀行多少錢？假設按

12、月歸還，問此人每月月初應歸還銀行多少錢？ .按揭貸款分期歸還舉例知現(xiàn)值1081-30%75.6萬元，i6%,n20,求A按年歸還:756000=A(1+6%)(1/6%)1-1/(1+6%)20 A62180.68 (元) 按月歸還:756000 A(1+6%/12)(1/6%/12)1-1/(1+6%/12)(20*12) A5389.27 (元) (銀行實踐實施的就是按月還款)普通年金現(xiàn)值系數(shù)普通年金現(xiàn)值系數(shù).四、遞延年金終值和現(xiàn)值遞延年金的終值計算時將總期數(shù)減去遞延的期數(shù)后的期數(shù)，然后按普通年金公式計算。畫出時間線圖有助于了解FV年金終值 A 每期收付款項，即年金 n計息期數(shù)(收付款期數(shù)

13、) i利息率.四、遞延年金終值和現(xiàn)值遞延年金首期收付款遞延的特點，使得它的現(xiàn)值計算要分段實現(xiàn)：第一步是先將各期年金折現(xiàn)到遞延期期末，也即首期收付款發(fā)生的計期起點；第二步再將第一步計算的結果作為未來值進一步折現(xiàn)到如今。 nAAm.四、遞延年金終值和現(xiàn)值遞延年金現(xiàn)值的計算公式 PV年金現(xiàn)值 A 每期收付款項，即年金 n收付款期數(shù) i 折現(xiàn)率 m遞延期數(shù)普通年金現(xiàn)值系數(shù)現(xiàn)值系數(shù).五、永續(xù)年金現(xiàn)值永續(xù)年金Perpetuity是指無限期發(fā)生收付款項的年金，它是普通年金的一種特殊方式。由于收付款項無限期發(fā)生，所以永續(xù)年金沒有終值。 AA0.五、永續(xù)年金現(xiàn)值永續(xù)年金的現(xiàn)值計算可從普通年金的計算公式推得.當n

14、 無限大時，1/(1+i)n趨向于0 因此,永續(xù)年金現(xiàn)值的計算公式為 其中：PV年金現(xiàn)值 A 每期收付款項，即年金 i 折現(xiàn)率.永續(xù)年金現(xiàn)值計算舉例 承諾無限期付款的證券投資1749年英國政府發(fā)行的用于償付其他政府公債的債券稱為一致公債。承諾永久付息，屬于“永續(xù)年金。一致公債利率為2.5%，面值為1000美圓，這樣可以無限期每年獲得25美圓的利息。運用等式 計算一致公債的價值 ，其結果取決于當時的利率。.假定在1888年，英國的“通用利率是2.5%，那么其價值為PVA1888年=25/0.025=1000美圓。114年后的2004年，英國通用利率漲到了5.2%，此時一致公債的價值下跌到PVA2

15、004=25/0.052=480.77美圓。假設未來利率下跌到只需2%，一致公債的價值就相應上升到PVA未來=25/0.02=1250美圓。上述例子闡明了一個關鍵問題：假設利率變動，流通在外的債券價錢也會變動。利率上升那么債券價錢下降，利率下降那么債券價錢上升。.利率為10%，年支付為100元的永續(xù)年金的價值精要版P37圖2-3圖2-1 支付期限的添加對10%的100元年金價值的影響.圖示含義：1.普通年金的價值等于其支付額現(xiàn)值的總和；2.我們可以為任何期數(shù)如3年、25年、100年等繪制價值圖。年金期限越短，圖上的柱形面積表示越少3.隨著年數(shù)的添加，每次支付額的現(xiàn)值即該次付款對年金價值的影響也

16、會隨之減少。在本例中，第62年后的支付額由于數(shù)值太小曾經很難標注了；4.圖下表示支付年金期數(shù)在25年、50年、100年及無限期時的年金價值。這些數(shù)值之間的差別顯示出期限長短對年金價值的影響。在多年以后的支付額當前價值極低。因此，年金的價值取決于近期將獲得的支付額。留意貼現(xiàn)率會影響到未來支付年金的價值以及圖像曲線。貼現(xiàn)率越高，曲線下跌幅度越大，未來支付額的價值就越低。.Case & examplenAA0.居民住房按揭貸款與先付年金現(xiàn)值居民住房按揭貸款(mortgage) :用所購買的住房本身作為質押物的借貸行為，房屋可以是新房也可以是二手房根據(jù)所貸資金來源,分商業(yè)貸款、公積金貸款、組合貸款商業(yè)

17、+公積金3種類別可選擇的還貸方式有：等額本息還款 ；等額本金還款 .居民住房按揭貸款與先付年金現(xiàn)值等額本息法還款是規(guī)范的先付年金現(xiàn)值；等額本金法還款只是近似的先付年金現(xiàn)值。二者沒有優(yōu)劣之分。人們根據(jù)本人的收入變化情況、投資理財才干、年齡、個人志愿與偏好等，來選擇本人的還款方式。 .等額本息法還款又稱等額法還款。即在一個利率穩(wěn)定期內，借款人每月按相等的金額歸還貸款本息，其中每月貸款利息按月初剩余貸款本金計算并逐月結清。貸款初期與貸款后期比較，每月還款額中，初期還款中利息占還款額的比率比后期高。即借款人占用銀行貸款的數(shù)量更多、占用的時間更長。居民住房按揭貸款與先付年金現(xiàn)值.居民住房按揭貸款與先付年金現(xiàn)值等額本金法還款借款人每月按相等的金額貸款金