1、第5章 離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析5.1離散時間基本信號5.2離散信號的卷積運算及卷積性質(zhì)5.3離散LTI系統(tǒng)的時域分析5.4單位樣值響應(yīng)5.5離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)5.1.1 離散時間信號的描述1. 函數(shù)表示法 x(n)可以寫成一般閉合形式的表達式，例如 5.1 離散時間基本信號5.1.1 離散時間信號的描述2. 波形表示法 序列 還可以用圖形表示如下： 5.1 離散時間基本信號5.1.1 離散時間信號的描述3. 序列表示法 也可逐個列出x(n)的序列值，寫成 5.1 離散時間基本信號5.1.1 離散時間信號的描述4. 表格表示 也可用表格表示如下： 5.1 離散時間基本信號 序

2、列 n-3-2-101233-210-12-3右移m點的單位樣值序列為 單位樣值序列 1.單位樣值序列用(n)表示 右移m點的單位樣值序列 5.1.2 典型的離散時間信號抽樣性：序列x(n)在n=m處的樣本可用單位樣值序列表示為 組合性：考慮所有樣點，序列 x(n) 可表示為 上式說明，任一序列可用不同加權(quán)并移位的樣值序列表示。例如，序列 也可表示為 2. 單位階躍序列(n)(n)與(n)的關(guān)系:(n) = (n) (n-1) 單位階躍序列 反因果階躍序列 反因果階躍序列單位階躍序列的基本特性是單邊性。 3單位斜變序列 4. 單位矩形序列RN (n)N稱為矩形序列的長度。矩形序列常用來表示序號

3、的取值范圍，如可以寫成： 式中稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位是弧度。如果正弦序列是由模擬信號采樣得到的，那么5. 正弦序列因此，數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系為 式中，Ts為采樣周期。可以看出，數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間為線性關(guān)系。 正弦序列是周期序列的條件:需要指出的是，正弦（余弦）序列不一定是周期序列。周期序列的定義為：如果存在一個最小的正整數(shù)N，使序列x(n)=x(n+N)，-n，則序列x(n)是周期序列，周期為N。設(shè)任意正弦序列為 顯然，滿足 0N=2k 時，x(n) = x(n+N)，正弦序列為周期序列，N、k為正整數(shù)。因此，正弦序列是周期序列的條件是： 為有理數(shù)（整數(shù)和分數(shù)）。

4、1）當2/0為整數(shù)時，k=1，正弦序列是以N為周期的周期序列。例 sin(/8) n ，0 =/8，2/0 =16，該正弦序列周期為16。2）當2/0為分數(shù)時，設(shè)2/0 =N/k，式中N、k是互為素數(shù)（意思是不可約分）的正整數(shù)，則正弦序列是以N為周期的周期序列。例 sin(3/7) n，0 = 3/7， 由于2/0= 14/3為有理數(shù)，故它的周期為N= 14。3）當2/0是無理數(shù)（不循環(huán)的無限小數(shù)），任何整數(shù)k都不能使N為正整數(shù)，因此，此時的正弦序列不是周期序列。 例 sin(3 n) ，0 = 3， 由于2/3為無理數(shù)，故它是非的周期序列。正弦序列是周期序列的條件是： 為有理數(shù)（整數(shù)和分數(shù)）

5、。 6. 指數(shù)序列 (1) 實指數(shù)序列 ， a為實數(shù) 如果|a|1， x(n)的幅度隨n的增大而增大，則稱為發(fā)散序列。(2) 復(fù)指數(shù)序列1) 時間周期性2) 頻率周期性 當指數(shù)序列的數(shù)字頻率為時有是頻率的周期函數(shù)，角頻率周期為5.2 離散信號的卷積運算及卷積性質(zhì)5.2.1 卷積的定義例 已知激勵信號序列，單位脈沖響應(yīng)，求零狀態(tài)響應(yīng)。 解 由卷積和定義， 考慮單位階躍序列(n)特性，有 5.2.2 卷積的運算1解析法 例 已知求零狀態(tài)響應(yīng)解:2. 圖解法與卷積運算一樣，用圖解法求兩序列的卷積和運算也包括信號的反轉(zhuǎn)、移位、相乘、求和等四個基本步驟。 3. 豎式法 解：兩序列樣值以各自n的最低位按左

6、端對齊，如下排列： 4 3 2 1 1 3 2 4 3 2 1 12 9 6 3 + 8 6 4 2 4 15 19 13 7 2 例 已知離散信號和單位脈沖響應(yīng)有限長度序列的卷積 設(shè)序列 的區(qū)間為 ，長度為 序列 的區(qū)間為 ，長度為 則這兩個序列的卷積卷積后序列的起始點在n=A+C處，終點在n=B+D處，其長度 交換律5.2.3 序列卷積性質(zhì)分配律結(jié)合律 移位 例 下圖所示FIR系統(tǒng)，已知輸入 求響應(yīng)y（n）。解 1 2 0 3 1 -2 5 1 2 0 3 -2 -4 0 -6 + 5 10 0 15 1 0 1 13 -6 15 延遲單元相加單元倍乘單元5.3 離散LTI系統(tǒng)的時域分析

7、5.3.1 系統(tǒng)的差分方程及框圖描述解：y(n)=ay(n-1)+x(n)一階差分方程y(n)-ay(n-1)=x(n)例 系統(tǒng)方框如圖所示，寫出其差分方程。 例 已知一個離散LTI系統(tǒng)如圖所示，寫出系統(tǒng)的差分方程。 解：y(n)-y(n-1)+0.5 y(n-2) =x(n)二階差分方程 y(n) =x(n) y(n-1) -0.5 y(n-2) N 階差分方程的標準形式：遞推法（迭代法）時域經(jīng)典法分別求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)：利用齊次解得零輸入解，再利用卷積和求零狀態(tài)解。變換域法（Z變換法）狀態(tài)變量分析法5.3.2 差分方程的求解常系數(shù)差分方程的求解1.遞推法當差分方程階次較低時常用此法,

8、設(shè)差分方程固有響應(yīng)強制響應(yīng)輸入為0，僅有初始狀態(tài)產(chǎn)生的響應(yīng)初始狀態(tài)為0，僅有輸入信號產(chǎn)生的響應(yīng)2. 差分方程的時域經(jīng)典解法 為了理清思路，將固有響應(yīng)、強制響應(yīng)、零輸入響應(yīng)及零狀態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系用一下式子表述零輸入響應(yīng)yzin固有響應(yīng)ynn強制響應(yīng)yfn零狀態(tài)響應(yīng)yzsn固有響應(yīng)時域經(jīng)典法特 征 方程： 有N個特征根齊次解（固有響應(yīng)）：非重根時的齊次解i為l次重根時的齊次解共軛根時的齊次解差分方程例： 已知差分方程和系統(tǒng)的初始條件 ，試求齊次解。 解：代入初始條件 所以： 代入初始條件 方程的齊次解為 如果1是特征方程的r重根，即有1=2=r , N-r根，則差分方程的齊次解為 例 已知差分方程

9、 和初始條件 ，試求它的齊次解。 解：特解(強制響應(yīng))線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出有相同的形式輸入輸出 （a與特征根重） 與差分方程等號右端相對應(yīng)的強制響應(yīng) 全響應(yīng)表達式求出后，固有響應(yīng)中的N個系數(shù)Ai由給定的邊界條件確定 求線性差分方程的完全解的經(jīng)典解法一般步驟如下： (1)寫出與該方程相對應(yīng)的特征方程；求出特征根，并寫出 其齊次解通式; (2) 根據(jù)原方程的激勵函數(shù)的形式，寫出其特解的通式； (3) 將特解通式代入原方程求出待定系數(shù)，確定特解形式； (4) 寫出原方程的通解的一般形式(即齊次解+特解)； (5) 把初始條件代入，求出齊次解的待定系數(shù)值。齊次解 特解形式： 帶入原方程： 特解為

10、全解為 將已知的初始條件帶入上式，有 例 解差分方程 ，其中 ，。解：（1）激勵為 （2）系統(tǒng)零狀態(tài)（3）用遞推法可求出（4） 時，變成求其差分方程的解 LTI零狀態(tài) 由(n)產(chǎn)生的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)定義為單位脈沖響應(yīng)（也可以稱為單位樣值響應(yīng)），記為 。 h(n)=T(n) 由于任意序列都可以用單位脈沖序列的移位加權(quán)和表示，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性，只要求得系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，則多個單位脈沖序列作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個單位脈沖序列所引起的響應(yīng)（單位脈沖響應(yīng)）的線性組合。5.4 單位樣值響應(yīng) 1) 遞推法 例5-8 已知某系統(tǒng)的差分方程 ，分別用遞推法、經(jīng)典法求單位脈沖響應(yīng)h(n)。 解： 2)經(jīng)典法 差分方程的特征根 則n1時的單位脈沖響應(yīng)為 根據(jù)h(0)=1可確定出C=1，故 時單位樣值響應(yīng)表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性單位樣值響應(yīng)意義：線性時不變離散系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件