1、金融數學簡介理學院統計與金融數學系陳萍Probstatsohu.引言金融數學是一門新興的邊緣科學，是數學與金融學的交叉。它是在兩次華爾街革命的根底上產生和開展起來的，其中心問題是不確定環境下的最優投資戰略的選擇實際和資產的定價實際。今天我們將簡述了金融數學的主要內容，并展望了其進一步開展的前沿課題及前景。簡單地說，金融數學就是用數學的方法處理金融問題。在金融數學的開展史上，一些諾貝爾經濟學獎的獲獎任務，對金融數學的研討起著決議性的作用。可以說，金融數學的主流研討方向就是以這些獲獎任務為根底的。. 1990年諾貝爾經濟獎授予H.Markowitz，W.Sharpe 和M.Miller，獎勵他們在

2、金融經濟學中的先驅任務H.Markowitz 的投資組合實際、W.Sharpe的 資本資產定價實際M.Miller 的公司財務實際。諾貝爾經濟獎簡介1注.H.Markowitz 在一文中，第一次從風險資產的收益率和風險之間的關系出發，討論了不確定經濟環境中最優資產組合的選擇問題。 其主要成就是將大量的不同資產的投資組合選擇的復雜的多維問題，簡化為平衡兩個要素，即投資組合的期望報答及其方差，最終化為一個概念明晰的、簡單的二次規劃問題，即均值方差分析；并且給出了最優投資組合問題的實踐計算方法。.W.Sharpe 的資本資產定價實際，在較強的市場假設下，給出了Markowitz 均值方差模型的平衡版

3、本，即資本資產定價模型。CAPM2 其主要奉獻是在有價證券實際方面對不確定條件下金融決策的規范分析，以及資本市場實際方面關于以不確定性為特征的金融市場的實證性平衡實際。馬克維茨的分析方法進一步開展為著名的資本資產定價模型，用來闡明在金融市場上如何建立反映風險和潛在收益有價證券價錢。.M.Miller的公司財務實際1958主要研討資本構造與其企業市場價值的關系。 Miller在論文中證明，在一定假設下，企業的市場價值與其資本構造無關。傳統觀念以為，公司的價值與其資本構造有內在關系，Miller的結論與傳統觀念大相徑庭，一經提出就引起了廣泛的爭議。從50年代末到60年代末，經過一輪唇槍舌戰的爭辯之

4、后，Miller的公司財務實際開場盛行于財務學界，逐漸確定它在學術界的主流位置。. 1997年諾貝爾經濟獎授予R.Merton和M.Schole, 以獎勵他們和F.Black在確定衍生證券價值方法方面的奉獻，也就是關于期權定價的著名的Black-Sholes公式。諾貝爾經濟獎簡介2注. 1973年，M.Scholes與已故的經濟學家F.Black發表一文，給出了期權定價的Black-Sholes公式。指出期權價錢僅依賴于股票價錢的動搖量、無風險利率、期權到期時間、執行價錢、股票時價. 其主要奉獻是提出用標的股票和無風險資產構造的投資組合的收益來復制期權的收益。這一復制法那么的重要性在于，它通知

5、人們可以利用已存在的證券來復制符合于某種投資目的的新的證券種類，這成為金融機構設計新的金融產品的思想方法。注.1973年R.Merton在經濟和管文科學雜志上發表了理性期權定價實際的文章，對Black-Sholes公式的假定條件做了進一步減弱，在許多重要方面都對Black-Sholes的研討做了推行 Merton對Black-Sholes原用的分析方法進展了改良，以股價變動的騰躍過程而不是分散過程為出發點，也就是以為股價變動是不延續的，可以從一個價錢跳到另一個價錢而不閱歷其間的價錢這樣推導出的公式更加現實注.2003年度諾貝爾經濟學獎授予Robert F.Engle和 Clive Grange

6、r。 令Engle 摘取桂冠的是他于1982年提出的ARCH模型。 Granger由于時間序列的協整分析方法而獲獎,他的奉獻將用于研討財富與消費、匯率與物價程度、以及短期與長期利率之間的關系。諾貝爾經濟獎簡介3. 對收益率的建模研討不斷在計量經濟學中占據很重要的位置。顯然對于一階矩的描寫是比較容易的,所以人們將留意力都放在了對二階矩的建模上,也就是對收益率動搖的計量建模。為了尋求對股票市場價錢動搖行為更為準確的描畫和分析方法,許多金融學家嘗試了不同的模型。其中, Engle于1982年提出的ARCH模型,被以為是最集中反映了方差變化特點而被廣泛運用于金融數據時間序列分析的模型。.20世紀70年

7、代以前計量經濟學的建模方法都是以經濟變量平穩這一假設條件為根底。但在實踐中,許多經濟目的的時間序列都是非平穩的,并不具有固定的期望值,并且呈現出明顯的趨勢性和周期性。經濟變量表現出的非平穩性使傳統建模遇到了前所未有的困難。格蘭杰留意到某些經濟變量之間似乎不會存在任何平衡關系,但假設干個非平穩經濟時間序列的某種線性組合卻有能夠是平穩序列。提出了協整的概念及其方法。所謂協整,是指多個非平穩經濟變量的某種線性組合是平穩的。目前,協整分析已成為處置非平穩金融、經濟變量相依關系的行之有效的方法。 .本文主要引見投資組合實際Ross套利定價實際衍生證券的定價實際二杈樹模型Black-Sholes模型ARC

8、H模型及其運用利率期限構造實際公司資本構造 保險精算學簡介.1.投資組合實際簡介在投資活動中，人們發現，投資者手中持有多種不同風險的證券，可以減輕風險帶來的損失，對于投資假設干種不同風險與收益的證券構成的證券組稱為證券投資組合。證券投資組合的原那么是，組合期望收益愈大愈好，組合規范差愈小愈好，但在同一證券市場中，普通情形是一種證券的平均收益越大，風險也越大，因此最優投資組合應為一個條件極值問題的解，即對一定的期望收益率，選擇資產組合使其總風險最小。.Markowitz 提出的證券組合均值方差問題，是證券組合實際的根本問題，可描畫為有約束的線性規劃問題解上述問題可得最優資產組合w*的表達式，且最

9、優資產組合的方差為其中注.在方差-均值坐標系下，它是拋物線。注.在均方差-均值坐標系下，它是雙曲線。.可證：任一最小方差資產組合wp都可獨一地表示為其中稱為全局最小方差資產組合。稱為全局可分散化資產組合。這就是著名的兩基金分別定理。注.上述結論還可推行到具有無風險資產的均值-方差模型，此時模型為最小方差資產組合的方差為在均方差-均值坐標系下，它是公共交點為0，r的兩條射線，其斜率為.兩基金分別定理的表現方式為：一切最小方差資產組合都是無風險資產和不含任何無風險資產的所謂“切點資產組合的組合。.2.資本資產定價模型資本資產定價模型CAPM是在理想的資本市場中,根據兩基金分別定理建立的。它的根本結

10、論是(Sharp-Lintner-Monssin)假設市場上可以獲得無風險資產，當市場到達平衡時，恣意資產的超額收益率與風險資產的市場資產組合超額收益率成正比，即有關系式其中稱為資產X的市場beta系數,表示資產X所面臨的風險系數。注.XM為市場資產組合設市場上有n種風險資產，一種無風險資產。每種資產的價錢為pi，i=0,1,n, 假設市場上有K位投資者，且在某一時辰，第k位投資者持有第i種資產的數量為Nik，假設記那么稱為該時辰的投資者市場資產組合。可以證明，當市場到達平衡，且無風險資產是零凈供應的金融證券時，切點資產組合wt就是市場資產組合。注.CAPM在資產定價中的運用一 證券市場線 對

11、恣意風險資產的投資組合Xx，由點 所構成的軌跡稱為證券市場線。注.二 風險自行調理收益率定價公式CAPM對個別資產提供了一種可量化的風險測度，所以CAPM可以用于確定未來收益率概率分布假設為知的風險資產在當前的價值。設市場上第j種資產期終風險收益為Pe，當前價錢為P0，其收益率那么風險自行調理收益率定價公式為其中.在風險自行調理收益率定價公式中，將代入，得確定等價定價公式.CAPM在資產定價中的運用股票定價例 某公司I在時期1將發行100股股票，公司I在時期2的價值為隨機變量VI2。公司的資金都是經過發行這些股票而籌措的，知股票的持有者有資歷獲得完全的收益流。現給出有關測算數據如下VI（2）$

12、1000$800P0.50.5將上述數據代入風險自行調理收益率定價公式得故每股價錢為7.83$.3. Ross 套利定價實際APT在金融實際中，確定風險資產合理價值主要有兩種方法。一種是基于競爭平衡實際的定價方法，如上節的CAPM，以為資產的合理價錢由所謂的“內在源，也就是資產市場中現有的一切資產所共同確定；另一種是基于普通套利定價實際的定價方法GAPT，如本節將要引見的Ross套利定價實際APT以為資產的合理價錢由所謂的“外在源，也就是資本市場的其他要素所確定。. 基于上述思想，被譽為美國“金融神童的Ross在1976年上發表的一文中非常武斷地指出：任何資產的價錢可以表示為一些“共同要素的線

13、性組合。這些“共同要素可以是通貨膨脹率，人口出生率，工業增長指數，證券市場綜合指數，外匯匯率等等各種要素，然后利用套利定價方法給出了資產收益率的普通表達式。 記資產市場中第i種資產的收益率為Xi，可經過統計方法測算的影響資產收益率的要素收益率記為隨機變量fk,k=1,K,不能經過統計方法測算或未知的影響資產收益率的要素收益率記為隨機變量i ,并假定資產收益率由以下線性多因子模型所描畫：注.(3.1-a)(3.1-b)(3.1-c)其中稱為殘差風險。根據上述模型，利用漸近無套利定價假設可以給出資產超額收益率表達式實數k反映了證券對于因子fk的敏感性。稱為因子風險溢價。(3.2-c).從統計觀念來

14、看，APT是經過許多因子來確定證券價錢，它使我們擴展了思索要素的范圍，可以從證券市場以外的要素去選擇，而不象CAPM只從證券市場本身的歷史來研討。這樣，就可以把證券的價錢和國家經濟開展情況，企業運營情況，外匯市場等等其它經濟要素相聯絡，從而使模型更好地反映現實情況。普通以為，APT與CAPM相比有以下幾個特點：1對分布不作要求2對個人的效益沒有直接假定什么條件；3允許依賴于許多要素；4可以對證券的一部分的組合定價，無需涉及全體；5容易推行到多階段的情形。.4.二杈樹模型二杈樹模型是金融衍生證券定價問題中常用的一種股票價錢模型。思索這種模型有以下2個緣由。1。該模型構造簡單，且是實踐模型的一種很

15、好的逼近2。可經過這種簡單的模型闡明金融中的重要概念套期保值，風險中性測度等。無套利假設是一切研討的前提稱某個市場有套利時機，假設存在一種投資組合，使資產值Yt滿足Y0=0,注.思索簡單歐式看漲期權的定價問題：以敲定價K0于時辰1兌現，期權持有者的收益為V0=?注.設期權價錢V0,假設將價值V0的資產在市場投資，在0時辰購買0股股票，剩余的資金能夠是負的存借貸款，那么到1時辰資金價值為，這一價值應該與期權在1時辰的價值相等，即解上述聯立方程可得*注.稱為套期保值比。留意假設取那么*式可方式地寫作稱為風險中性概率測度或等價鞅測度。歐式期權的定價可以簡約地表示成“風險中性測度下，期權到期價值的數學

16、期望。.多期二杈樹模型Stock price,期權價值注.5. Black-Sholes模型當思索股票價錢隨時間延續變動情形時，Black-Scholes給出了市場的如下描畫： 僅思索一個簡單的證券市場。市場中僅有一種債券和一種股票。設債券在t時辰的價錢P0(t)，股票在t時辰的價錢P(t).滿足方程：.思索T時辰到期的歐式期權，假定到期時，期權的內在價值為V(T)=g(P(T);設期權在0時辰價錢為V(0); 現思索0時辰初始值為X(0)=V(0)的投資。設在t時辰購買股票的股數為(t),那么設V(t,x)表示在t時辰股票價錢為x時，期權的價值,那么(5.1)(5.2).令 V(0,P(0)

17、=X(0),V(t,P(t)=X(t), g(P(T)=X(T)即在(4.1),(4.2) 兩式中令dt,dB系數相等，那么得終端條件Black-Scholes方程。(5.3).另一方面，利用隨機分析實際可以證明，設 是使股票價錢貼現過程 為鞅的測度，稱為等價鞅測度，那么歐式期權在t時辰的價值為(4.4)經過解偏微分方程(5.3)或用概率論中的期望定義解(5.4)都可以得到歐式看漲期權的價錢為式中Black-Scholes公式.衍生證券定價問題的進一步研討方向放寬理想市場假設如有賣空限制，買賣費等對新型衍生證券進展定價模型改良如隨機利率，隨機動搖率，跳過程等不完備市場模型.期權定價技術的運用

18、期權定價實際雖然源于對金融期權的估值，但其主旨為降低不確定性所必需付出的本錢問題，而不確定性是一切經濟活動的本質特征。這決議了期權定價技術(以下簡稱0PT)的運用絕不僅僅局限于對以金融資產為標的資產的期權。許多現實問題在分析的過程中經常可以把中心問題歸結為期權定價問題來處置，即歸結為確定期權價值的5個要素：執行價錢、現貨價錢、到期時間、動搖率和無風險利率的分析計算。注.目前期權定價實際主要運用于1金融衍生證券的定價 2保險合同的定價 3政府政策與行為 4個人家庭決策 5投資決策 .6 ARCH模型及其運用在計量經濟學中, 收益率的建模研討不斷具有很重要的位置。其中對一階矩的描寫是比較容易,所以

19、人們將留意力都放在了對二階矩的建模上,也就是對收益率動搖的計量建模。 經典資本市場實際在描畫股票市場收益率變化時,所采用的計量模型普通都假定收益率方差堅持不變。這一模型運用簡便,常用來預測和估算股票價錢。但對金融數據的大量實證研討闡明,有些假設不甚合理。一些金融時間序列經常會出現某一特征的值成群出現的景象。注.為了尋求對股票市場價錢動搖行為更為準確的描畫和分析方法,許多金融學家和計量學家嘗試用不同的模型與方法處置這一問題。如ARMA模型，ARIMA模型，隱MARKOV模型等，但被以為是最集中反映了方差變化特點而被廣泛運用于金融數據時間序列分析的模型,是Engle于1982年提出的ARCH模型。

20、ARCH模型是過去20年內金融計量學開展中最艱苦的創新。目前一切的動搖率模型中,ARCH類模型無論從實際研討的深度還是從實證運用的廣泛性來說都是獨一無二的。.設隨機序列Yt滿足其中 為弱白噪聲，滿足鞅差條件且設其中 為強白噪聲。(6.1)(6.2)思索Engle最初的ARCH(1)模型.(6.3)給出了模型的預測公式，(6.4)那么闡明模型具有時變性的動搖率。 實證分析闡明時變性動搖率更能描畫真實的股票行情變化，反映外部沖擊對股市呵斥的影響，便于進展風險評價。 由(5.1)-(5.2)式易得，過程相鄰時辰的條件均值與方差分別為(6.3)(6.4)注.廣義ARCH模型ARCH(1)模型雖然較好的

21、解釋了動搖率聚類景象，但它有很多缺陷，在其后的任務中,Engle及其同事沿著許多方向對該模型進展了拓展。例如，在思索風險與投資報答之間的關系時,由于投資者是根據當前信息而持有證券,當風險(條件方差)增大時,投資者要求的投資補償也就大。因此,條件方差的變化也會影響收益率條件期望的變化。與其他研討者協作,Engle在ARCH的根底上,建立了ARCH-M模型來分析時變風險的收益補償。期望收益率取決于時變性的方差和協方差,從而本身也隨時間變化。 .ARCH(1)模型的各種拓展表述 ARCH(q)模型Engle 1982) GARCH(p,q)模型(Bollerslev 1986). GARCH-M 模

22、型(Engle, Lilien, Robbins 1987)滿足GARCH模型參考文獻1 Engle Robert F. Autoregression conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of U.K.inflation, Econometrica,1982,50(4):987_10082 Christain G ARCH Models and Financial Applications Springer,19973 T. Bollerslev. Generalized autoregressive co

23、nditional heteroskedasticity, Journal of Econometrics 31, 307-327, (1986).注.7 利率期限構造實際 在社會經濟生活中一部分人經過儲蓄或購買債券來保管多余的資金，而部分家庭和廠商也可以經過貸款獲得資金。資金的提供不是無償的，利息就是借入資金的個體為了在一段時間里運用資金而必需支付給資金出借人的補償。顯然利息與投資本金和儲蓄時間有關；利息與期初投資本金的比值稱為該時期的利率。不同時期投資能夠利率不同。利率的期限構造實際主要研討隨機動搖利率與較長時期的對應關系。注.經濟學家以為，在決議利率期限構造過程中，投資者對未來變動的預期是致關重要的。然而，投資者對本人能否既有非常準確地分析未來變動的才干是缺乏自信心的。因此，普通情況下，假定投資者對利率未來的變動滿足一隨機過程。比較常用的模型有Cox-Ingersoll-Ross模型，Hull-White-Vasicek模型。由于利率期限構造實際涉及到“利息實際的許多概念和“合理預期實際的思想，這里不再深化引見。.8 公司資本構造實際公司財務管理在西方經濟實際體系中是金融實際中的一個組成部分。它是專門研討企業如何進展財務決策，包括籌資、投資及股息分配政策，以實現企業價值或企業財富最大化的一門科學。該實際的研討重點集中在兩個方面：1。公司最正確資本構造的組合。