1、中山市2014屆高三上學期期末統一考試數學（理科）本試卷共4頁，20小題，滿分150分考試用時120分鐘注意事項：1、答卷前，考生務必將自己的姓名、統考考號、座位號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上。3、不可以使用計算器。4、考試結束，將答題卡交回，試卷不用上交。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設復數，則在復平面內對應的點在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（第2題圖）2設全集是實數集則圖中陰影部分所

2、表示的集合是 （ ） AB CD3已知平面向量，若，則等于( )ABC（第4題圖）D4定義某種運算，運算原理如上圖所示，則式子的值為（ ）A4B8C11D135把邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如下圖所示，則側視圖的面積為 （ ）A B C D 6下列四個命題中，正確的有兩個變量間的相關系數越小，說明兩變量間的線性相關程度越低；命題：“，”的否定：“，”；用相關指數來刻畫回歸效果，若越大，則說明模型的擬合效果越好；若，則ABCD7對、，運算“”、“”定義為：=，=，則下列各式其中不恒成立的是（ ） A、B、C、D、 8. 已知函數滿足，且時，則當時，與的圖象

3、的交點個數為( )A13B12C11D10二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分9已知函數，則 . 10如圖，一不規則區域內，有一邊長為米的正方形，向區域內隨機地撒顆黃豆，數得落在正方形區域內（含邊界）的黃豆數為 375 顆，以此實驗數據為依據可以估計出該不規則圖形的面積為 平方米.（用分數作答）11在二項式的展開式中，含的項的系數是 12已知,則 .13已知數列為等差數列，若，則 .14如圖, ，且，若，（其中），則終點落在陰影部分（含邊界）時，的取值范圍是 . 三、解答題： 本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟15（本題滿分12分）設平面向量，函數.（

4、）求函數的值域和函數的單調遞增區間;（）當,且時,求的值.16（本題滿分12分）某校從參加高三年級期末統考測試的學生中抽出80名學生，其數學成績（均為整數）的頻率分布直方圖如圖所示（）估計這次測試數學成績的平均分和眾數；PBEDCA（）假設在90，100段的學生的數學成績都不相同，且都超過94分若將頻率視為概率，現用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數中任意抽取2個數，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學生的數學成績的次數為，求的分布列及數學期望 17（本小題滿分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 平面

5、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中點，（）求證：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ； （）求二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值；（）求直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值18（本小題滿分14分） 數列的前n項和為，（）設，證明：數列是等比數列；（）求數列的前項和；（）若，數列的前項和，證明：19（本小題滿分14分）已知函數，.（）若，且對于任意恒成立，試 QUOTE 確定實數的取值范圍；（）設函數，求證：20（本題滿分14分）已知函數，

6、（其中為常數）；（）如果函數和有相同的極值點，求的值；（）設，問是否存在，使得，若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由（）記函數，若函數有5個不同的零點，求實數的取值范圍參考答案一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分 DAAD BCBC二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分9. ; 10. 11. ; 12. ； 13. 45； 14. 三、解答題： 本大題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟15（本題滿分12分）設平面向量，函數。（）求函數的值域和函數的單調遞增區間;（）當,且時,求的值.15解： 依題意（2分） （4分）（） 函數的值域

7、是；（5分）令，解得（7分）所以函數的單調增區間為.（8分）（）由得,因為所以得,（10分） （12分）16(本題滿分12分)某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績（均為整數）的頻率分布直方圖如圖所示（I）估計這次測試數學成績的平均分；（II）假設在90，100段的學生的數學成績都不相同，且都超過94分若將頻率視為概率，現用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數中任意抽取2個數，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學生的數學成績的次數為，求的分布列及數學期望 16. 解：（I）利用中值估算抽樣學生的平均分：450.05+550.1

8、5+650.2+750.3+850.25+950.05 =72. （3分）眾數的估計值為75分 （5分）所以，估計這次考試的平均分是72分 （6分）（注：這里的眾數、平均值為估計量，若遺漏估計或大約等詞語扣一分）（II）從95， 96，97，98，99，100中抽2個數的全部可能的基本結果數是，有15種結果，學生的成績在90，100段的人數是0.0051080=4（人），這兩個數恰好是兩個學生的數學成績的基本結果數是，兩個數恰好是兩個學生的數學成績的概率 （8分）隨機變量的可能取值為0、1、2、3，則有變量的分布列為：0123P （10分） （12分） 解法二. 隨機變量滿足獨立重復試驗,所以

9、為二項分布, 即（10分） （12分）PBEDCA17（本小題滿分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中點，（）求證：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ； （）求二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值；（）求直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值17解法一：（） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 . -（2分） SKI

10、PIF 1 0 , SKIPIF 1 0 . 而 SKIPIF 1 0 , 平面 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . （4分） SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . （5分）（）連結 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 ，取 SKIPIF 1 0 中點 SKIPIF 1 0 ， 連結 SKIPIF 1 0 ， 則 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 .過 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ，連結 SKI

11、PIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 就是二面角 SKIPIF 1 0 所成平面角. （7分）由 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 .在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .因為 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中點，所以 SKIPIF 1 0 . （8分）而 SKIPIF 1 0 ，由勾股定理可得 SKIPIF 1 0 . （9分） SKIPIF 1 0 . （10分）（）延長 SKIPIF 1 0 ，過 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 垂直 SKIPIF 1 0 于 S

12、KIPIF 1 0 ，連結 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， 過 SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 垂直 SKIPIF 1 0 于 SKIPIF 1 0 ， 則 SKIPIF 1 0 , 所以 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 , 即 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 在平面 SKIPIF 1 0 內的射影是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是直線與平面所成的角.（12分） SKIPIF 1 0 . PBEDCAOFGH SKIP

13、IF 1 0 SKIPIF 1 0 . SKIPIF 1 0 .（14分）解法二：以 SKIPIF 1 0 為原點， SKIPIF 1 0 所在直線為 SKIPIF 1 0 軸， SKIPIF 1 0 所在直線為 SKIPIF 1 0 軸， SKIPIF 1 0 所在直線為 SKIPIF 1 0 軸建立空間直角坐標系，則 SKIPIF 1 0 (0，0，0) , SKIPIF 1 0 (2，0，0), SKIPIF 1 0 (2，4，0) , SKIPIF 1 0 (0，4，0) ， SKIPIF 1 0 (0，2，1) , SKIPIF 1 0 (0，0，2) . （2分） SKIPIF 1

14、 0 (2，0，0) , SKIPIF 1 0 (0，4，0) , SKIPIF 1 0 (0，0，2) , SKIPIF 1 0 (2，0，0) ,PBEDCAxyz SKIPIF 1 0 (0，2，1) , SKIPIF 1 0 (2，4，0) . （3分）（） SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 .又 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 . （5分） SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , 而 SKIPIF 1 0 ,平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 .（7分）（）設平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 =

15、SKIPIF 1 0 ,令 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 .由 SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 . （9分）平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 (0，0，2) , SKIPIF 1 0 .所以二面角 SKIPIF 1 0 所成平面角的余弦值是 SKIPIF 1 0 . （11分）（）因為平面的法向量是 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ，而 SKIPIF 1 0 (2，0，0) . 所以 SKIPIF 1 0 . （13分） 直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF

16、 1 0 所成角的正弦值 SKIPIF 1 0 . （14分）18（本小題滿分14分） 數列的前n項和為，（ = 1 * ROMAN I）設，證明：數列是等比數列；（ = 2 * ROMAN II）求數列的前項和；（）若，數列的前項和，證明：18【解析】（ = 1 * ROMAN I）因為，所以 當時，則， （1分） 當時，（2分）所以，即，所以，而， （3分）所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以（4分）（ = 2 * ROMAN II）由(1)得所以 ， （5分）-得：， （7分） .（9分）（ = 3 * ROMAN III）由( = 1 * ROMAN I)知 （10分）（1）當時，

17、成立； （11分）（2）當時，（13分）所以. （14分）（本題放縮方法不唯一,請酌情給分）19. 已知函數，.（ = 1 * ROMAN I）若，且對于任意恒成立，試 QUOTE 確定實數的取值范圍；（ = 2 * ROMAN II）設函數，求證：19. 解:（）由可知是偶函數于是對任意成立等價于對任意成立（1分）由得當時，此時在上單調遞增 故，符合題意（3分）當時，當變化時的變化情況如下表： （4分）單調遞減極小值單調遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實數的取值范圍是 （7分）（），又， （10分）， （12分）由此得:故成立. （14分）20（本題滿分14分）已知函數，（其中為常數）；（ = 1 * ROMAN I）如果函數和有相同的極值點，求的值；（ = 2 * ROMAN II）設，問是否存在，使得，若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由（ = 3 * ROMAN III）記函數，若函數有5個不同的零點，求實數的取值范圍20解：（ = 1 * ROMAN I），則，令，得或，而在處有極大值，或；綜上：或 （3分）（ = 2 * ROMAN II）假設存在，即存在，使得，當時，又，故，則存在，使得， （4分） 當即時，得，； （5分） 當即時，得，（6分）無解；綜上： （7分）（ = 3 *