1、函數及其圖象 大千世界處在不停的運動變化之中,如何來研究這些運動變化并尋找規律呢?數學上常用變量與函數來刻畫各種運動變化.華東師大版八年級（下冊）第17章 函數及其圖象17.1 變量與函數(第1課時)(1) 你坐過摩天輪嗎？你坐在摩天輪上時,隨著時間t的變化,你離開地面的高度h是如何變化的？先看什么叫變量?O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12311h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1231137h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123

2、113745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123113745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123113745h（米）t（分）O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123113745h（米）t（分）下圖反映了旋轉時間t（分）與摩天輪上一點的高度h（米）之間的關系。 t/分012345 h/米31137453711根據上圖填表汽車行駛的路程會隨著行駛時間的變化而變化 (3) 一輛汽車以60千米/時的速度勻速行駛，行使的路程S(千米)與行駛的時間t(時)之間有怎樣的關系?S = 60tt（時間） 1 2 3 4

3、 5 6s（路程）60120180240300360 像這樣在某一變化過程中,可以取不同數值的量,叫做變量. 刻畫汽車運動變化的量是路程S和時間t,路程S隨著時間t的變化而變化,它們都會取不同的數值以上各個問題中都出現了可以取不同數值的量. 刻畫摩天輪轉動過程的量是時間t和高度h,高度h隨著時間t的變化而變化,它們都會取不同的數值這天的2時30分、9時和14時的氣溫分別為少？任意給出這天中的某一時刻，說出這一時刻的氣溫 這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？ 這一天中，什么時段的氣溫在逐漸升高？什么時段的氣溫在逐漸降低？ 時間t(時)810246121416182022240 溫度T(C)

4、2468-2-40問題1 下圖是某地一天的氣溫變化圖,看圖回答： 什么叫函數呢? 在以上變化過程中存在著兩個變量t和T,對于時間t每取一個值,溫度T都有唯一的值與之對應.我們就說t是自變量,T是因變量.也稱T是t的函數. 這張圖是怎樣來展示這天各時刻的溫度和刻畫這天的氣溫變化規律的? 這張圖告訴我們哪些信息?問題2 銀行對各種不同的存款方式都規定了相應的利率,下表是2013年8月中國工商銀行為“整存整取”的存款方式規定的年利率： 觀察上表,說說隨著存期x的增長,相應的年利率y是如何變化的 在以上變化過程中存在著兩個變量x和y,對于x每取一個值, y都有唯一的值與之對應.我們就說x是自變量, y

5、是因變量.也稱y是x的函數.存期x三月六月一年二年三年五年利率y()1.802.252.523.063.694.14問題3 收音機上的刻度盤的波長和頻率分別是用米(m)和千赫茲(kHz)為單位標刻的下面是一些對應的數：細心的同學可能會發現： 與 f 的乘積是一個定值，即 f300 000，或者說f 在以上變化過程中存在著兩個變量和f,對于每取一個值,f都有唯一的值與之對應.我們就說是自變量,f是因變量. 也稱f是的函數.300000波長(m)30050060010001500頻率f(kHz)1000600500300200 問題4 圓的面積隨著半徑的增大而增大如果用r表示圓的半徑，S表示圓的面

6、積則S與r之間滿足下列關系： S_ 利用這個關系式,試求出半徑為1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm時圓的面積,并將結果填入下表:(3.14) r 在以上變化過程中存在著兩個變量r和S,對于r每取一個值, S都有唯一的值與之對應.我們就說r是自變量, S是因變量.也稱S是r的函數.半徑l(cm)11.522.63.2圓面積S(cm)3.147.0712.5721.2432.17在某一變化過程中,可以取不同數值的量,叫做變量. 上面各個問題中,都出現了兩個變量,它們互相依賴,密切相關. 一般地,如果在一個變化過程中,有兩個變量,例如x和y, 對于x的每一個值, y都有唯一

7、的值與之對應,我們就說x是自變量, y是因變量, 此時也稱y是x的函數.概 括的函數的本質就是唯一確定的對應關系. 研究事物的運動變化,實際是從研究因變量與自變量的對應關系入手的.因變量與自變量的對應關系又叫函數關系.表示函數關系的方法通常有三種： (1) 解析法，如問題3中的f ,問題4中的Sr,這些表達式稱為函數的關系式 (2) 列表法,如問題2中的利率表,問題3中的波長與頻率關系表 (3) 圖象法,如問題1中的氣溫曲線. 在問題的研究過程中,還有一種量,它的取值始終保持不變,我們稱之為常量.如問題3中的300 000,問題4中的等 .300000小結：函數的三種表示法及其優缺點1.解析法

8、 兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數學運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。解析法簡單明了，能準確地反映整個變化過程中自變量與函數的相依關系，但求對應值時，往往要經過比較復雜的計算，而且在實際問題中，有的函數關系，不一定能用關系式表達出來。2.列表法 把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系,這種表示法叫做列表法。如平方根表等。列表法一目了然，表格中已有的自變量的每一個值，不需要計算就可以直接查出與它對應的函數值，使用起來很方便，但列表法有局限性，因為列出的對應值是有限的，而且在表格中也不容易看出自變量與函數之間的對應規律。3.圖象法用圖象表示函數關

9、系的方法叫做圖象法。圖象法形象直觀，通過函數的圖象，可以直接、形象地把函數關系表示出來，能夠直觀地研究函數的一些性質，例如函數有沒有最大值（或最小值），最大（小）值是多少？函數值是隨自變量增大而增大，還是隨自變量的增大而減小等等，函數圖象是研究函數性質的有力工具。但是，由函數圖象觀察只能得到近似的數量關系。在解決問題時，我們常常綜合地運用這三種表示法，來深入地研究函數的性質。 練 習(1)從表中你能看出該市14歲的男學生的平均身高是多少嗎?(2)該市男學生的平均身高從哪一歲開始迅速增加?(3)上表反映了哪些變量之間的關系?其中哪個是自變量?哪個是因變量?2.解:2.下表是某市2000年統計的該

10、市男學生各年齡組的平均身高.1.舉3個日常生活中遇到的函數關系的例子.(1) 14歲的男學生的平均身高是146.1cm(2)約從11歲開始身高迅速增加.(3) 反映了該市男學生的平均身高和年齡這兩個變量之間的關系,其中年齡是自變量,平均身高是因變量.年齡組(歲)7891011121314151617男生平均身高(cm)115.4118.3122.2126.5129.6135.5140.4146.1154.8162.9168.23.寫出下列各問題中的關系式,并指出其中的常量與變量:(1)圓的周長C與半徑r的關系式;(2)火車以90千米/時的速度行駛,它駛過的路程s(千米)和所用時間t(時)的關系式;(3)n邊形的內角和S與邊數n的關系式.3.解:(2) s=90t, S=(n2) 180, (1)C=2r, 2、 是常量，r和C是變量. 90