1、第 二 節命題及其關系、充分條件與必要條件考綱考綱要求要求1.1.理解命題的概念理解命題的概念2.2.了解了解“若若p,p,則則q”q”形式的命題的逆命題、否命題與逆形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題否命題, ,會分析四種命題的相互關系會分析四種命題的相互關系3.3.理解必要條件、充分條件與充要條件的意義理解必要條件、充分條件與充要條件的意義考情考情播報播報1.1.充分條件、必要條件、命題真假的判斷是近幾年高充分條件、必要條件、命題真假的判斷是近幾年高考命題的熱點考命題的熱點2.2.常和數學其他知識相結合考查常和數學其他知識相結合考查, ,在知識的交匯處命題在知識的交匯處命題3.3.題型主要

2、以選擇題為主題型主要以選擇題為主, ,屬中低檔題屬中低檔題【知識梳理【知識梳理】1.1.命題命題用語言、符號或式子表達的用語言、符號或式子表達的, ,可以可以_的陳述句叫做命題的陳述句叫做命題. .其中其中_的語句叫做真命題的語句叫做真命題,_,_的語句叫做假命的語句叫做假命題題. .判斷真假判斷真假判斷為真判斷為真判斷為假判斷為假2.2.四種命題及其相互關系四種命題及其相互關系(1)(1)四種命題間的相互關系四種命題間的相互關系: :(2)(2)四種命題中的等價關系四種命題中的等價關系: :原命題等價于原命題等價于_,_,否命題等價否命題等價于于_,_,在四種形式的命題中真命題的個數只能是在

3、四種形式的命題中真命題的個數只能是0 0或或2 2或或4.4.qp若 ，則pq若，則qp若，則逆否命題逆否命題逆命題逆命題3.3.充要條件充要條件(1)(1)相關概念相關概念: :若若p pq q, ,則則p p是是q q的的_條件條件,q,q是是p p的的_條件條件p p是是q q的的_條件條件p pq q且且q pq pp p是是q q的的_條件條件p qp q且且q qp pp p是是q q的的_條件條件p pq qp p是是q q的的_條件條件p qp q且且q pq p充分充分必要必要充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要(2)(2)集合與充

4、要條件集合與充要條件: :p p成立的對象構成的集合為成立的對象構成的集合為A,A,q q成立的對象構成的集合為成立的對象構成的集合為B Bp p是是q q的充分不必要條件的充分不必要條件A A是是B B的的_p p是是q q的必要不充分條件的必要不充分條件B B是是A A的的_p p是是q q的充要條件的充要條件_p p是是q q的既不充分也不必要條件的既不充分也不必要條件A,BA,B互不互不_真子集真子集真子集真子集A=BA=B包含包含【考點自測【考點自測】1.(1.(思考思考) )給出下列命題給出下列命題: :若原命題為真若原命題為真, ,則這個命題的否命題、逆命題、逆否命題中則這個命題

5、的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個為真至少有一個為真; ;若若p p是是q q成立的充分條件成立的充分條件, ,則則q q是是p p成立的必要條件成立的必要條件; ;若若p p是是q q成立的充要條件成立的充要條件, ,則可記為則可記為p pq q; ;命題命題“若若p,p,則則q”q”的否命題是的否命題是“若若p,p,則則q”.q”.其中是真命題的是其中是真命題的是( () )A.A.B.B.C.C.D.D.【解析【解析】選選A.A.對于對于, ,因為原命題等價于逆否命題因為原命題等價于逆否命題, ,所以所以是真是真命題命題; ;對于對于, ,由充分、必要條件的定義知由充分、必要條件的定

6、義知是真命題是真命題; ;對于對于, ,由充要條件的意義知由充要條件的意義知, ,是真命題是真命題; ;對于對于,“,“若若p,p,則則q”q”的否命的否命題是題是“若若p,p,則則q”,q”,所以所以是假命題是假命題. .2.“x2”2.“x2”是是“x x2 24”4”的的( () )A.A.充分不必要條件充分不必要條件 B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充要條件充要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析【解析】選選A.A.顯然顯然, ,若若x2,x2,則則x x2 24,4,但反之不成立但反之不成立. .故選故選A.A.3.3.給出命題給出命題:“:“若實

7、數若實數x,yx,y滿足滿足x x2 2+y+y2 2=0,=0,則則x=y=0”,x=y=0”,在它的逆命在它的逆命題、否命題、逆否命題中題、否命題、逆否命題中, ,真命題的個數是真命題的個數是( () )A.0A.0個個 B.1B.1個個C.2C.2個個 D.3D.3個個【解析【解析】選選D.D.原命題顯然正確原命題顯然正確, ,其逆命題為其逆命題為: :若若x=y=0,x=y=0,則則x x2 2+y+y2 2=0,=0,顯然也是真命題顯然也是真命題, ,由四種命題之間的關系知由四種命題之間的關系知, ,其否命題、逆否命其否命題、逆否命題也都是真命題題也都是真命題. .4.4.已知已知p

8、:-4k0,q:p:-4k0,q:函數函數y=kxy=kx2 2-kx-1-kx-1的值恒為負的值恒為負, ,則則p p是是q q成立成立的的( () )A.A.充分不必要條件充分不必要條件 B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充要條件充要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析【解析】選選A.-4k0A.-4k0k0,=kk0,=k2 2+4k0,+4k0,函數函數y=kxy=kx2 2-kx-1-kx-1的值的值恒為負恒為負, ,但反之不一定有但反之不一定有-4k0,-4kb”ab”是是“a|a|b|ba|a|b|b|”|”的的( () )A.A.充分不必要條件

9、充分不必要條件 B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充要條件充要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析【解析】選選C.C.設設f(x)=x|xf(x)=x|x| |，則，則 所以所以f(xf(x) )是是R R上的增函數，上的增函數，“ab”ab”是是“a|a|b|ba|a|b|b|”|”的充要條件的充要條件. .22x ,x0f(x)x ,x0 =0,-2x-30,則則x3x3或或x-1”x3x3或或x-1x1”,m1”,是真命題是真命題B.B.逆命題是逆命題是“若若m1,m1,則則f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上是增函數上是

10、增函數”, ,是假命題是假命題C.C.逆否命題是逆否命題是“若若m1,m1,則函數則函數f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上是減函上是減函數數”, ,是真命題是真命題D.D.逆否命題是逆否命題是“若若m1,m1,則函數則函數f(xf(x)=e)=ex x-mx-mx在在(0,+)(0,+)上不是增上不是增函數函數”, ,是真命題是真命題【解析【解析】選選D. f(xD. f(x)=e)=ex x-m0-m0在在(0,+)(0,+)上恒成立上恒成立, ,即即memex x在在(0,+)(0,+)上恒成立上恒成立, ,故故m1,m1,這說明原命題正確這說明原命題正確

11、; ;反之若反之若m1,m1,則則f(xf(x)0)0在在(0,+)(0,+)上恒成立上恒成立, ,故逆命題正確故逆命題正確. .增函數的否定是增函數的否定是“不是增函數不是增函數”. .結合選項知選結合選項知選D.D.考點考點2 2 充分條件、必要條件的判斷充分條件、必要條件的判斷【考情】【考情】充分條件、必要條件以其獨特的表達形式成為高考命充分條件、必要條件以其獨特的表達形式成為高考命題的亮點題的亮點. .常以選擇題、填空題的形式出現常以選擇題、填空題的形式出現, ,作為一個重要載體作為一個重要載體, ,考查的數學知識面很廣考查的數學知識面很廣, ,幾乎涉及數學知識的各個方面幾乎涉及數學知

12、識的各個方面, ,如函數、如函數、不等式、三角、平面向量、解析幾何、立體幾何等不等式、三角、平面向量、解析幾何、立體幾何等. . 高頻考點高頻考點通關通關 【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013北京高考北京高考)“)“=”=”是是“曲線曲線y=sin(2xy=sin(2x) )過坐標原點過坐標原點”的的( )( )A.A.充分而不必要條件充分而不必要條件 B.B.必要而不充分條件必要而不充分條件C.C.充分必要條件充分必要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件(2)(2013(2)(2013陜西高考陜西高考) )設設a，b為向量為向量, ,則則“| |ab|=|=

13、|a|b|”|”是是“ab”的的( )( )A.A.充分不必要條件充分不必要條件 B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充分必要條件充分必要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解題視點【解題視點】(1)(1)先將先將=代入，看曲線是否過原點，再求出代入，看曲線是否過原點，再求出過原點時過原點時的值，進而判斷充分必要條件的值，進而判斷充分必要條件. .(2)(2)根據充分條件、必要條件的判斷方法進行推理判斷根據充分條件、必要條件的判斷方法進行推理判斷. .【規范解答【規范解答】(1)(1)選選A.A.當當=時，時，y=sin(2x+)=-sin 2xy=sin(2x+)

14、=-sin 2x，過，過原點，但是曲線過原點時，由原點，但是曲線過原點時，由sin sin =0=0得得=k(kZ=k(kZ).).故故“=”=”是是“曲線曲線y=sin(2x+y=sin(2x+) )過坐標原點過坐標原點”的充分而不必的充分而不必要條件要條件. .(2)(2)選選C.C.設向量設向量a與與b的夾角為的夾角為.由由| |ab|=|=|a | | |b|cos|cos| |=|=|a|b| | ，得，得|cos|cos |=1, |=1,即即coscos = =1,1,所以所以=0=0或或，能夠推，能夠推得得ab，顯然，反之也能夠成立，顯然，反之也能夠成立. .故故“| |ab|

15、=|=|a|b|”|”是是“ab”的充分必要條件的充分必要條件. .【通關錦囊【通關錦囊】 高考指數高考指數重點題型重點題型破解策略破解策略與三角相關的與三角相關的充分必要充分必要條件的判斷條件的判斷熟練掌握三角的相關概念、運熟練掌握三角的相關概念、運算公式、三角函數的圖象和性算公式、三角函數的圖象和性質以及正、余弦定理是解決該質以及正、余弦定理是解決該類問題的關鍵類問題的關鍵與解析幾何相與解析幾何相關的充分必要關的充分必要條件的判斷條件的判斷首先理解點與曲線的位置關系首先理解點與曲線的位置關系, ,兩直線的位置關系兩直線的位置關系, ,直線與曲線直線與曲線的位置關系的位置關系, ,然后弄清題

16、意進行然后弄清題意進行判斷判斷高考指數高考指數重點題型重點題型破解策略破解策略與不等式相與不等式相關的充分必要關的充分必要條件的判斷條件的判斷可把不等式之間的關系轉化為可把不等式之間的關系轉化為集合與集合之間的關系集合與集合之間的關系, ,根據集根據集合與充要條件之間的關系進行合與充要條件之間的關系進行判斷判斷與平面向量相與平面向量相關的充分必要關的充分必要條件的判斷條件的判斷該類題型常涉及向量的概念、該類題型常涉及向量的概念、運算及向量共線、共面的條件運算及向量共線、共面的條件, ,可把問題轉化為有關向量之間可把問題轉化為有關向量之間的推理的推理【關注題型【關注題型】與立體幾何相與立體幾何相

17、關的充分必要關的充分必要條件的判斷條件的判斷可把問題轉化為線線、線面、可把問題轉化為線線、線面、面面之間位置關系的判斷及性面面之間位置關系的判斷及性質問題質問題, ,由此進行恰當判斷由此進行恰當判斷【特別提醒【特別提醒】解答充分條件、必要條件的判斷題解答充分條件、必要條件的判斷題, ,必須從正、必須從正、逆兩個方面進行判斷逆兩個方面進行判斷. .【通關題組【通關題組】1.(20141.(2014天津模擬天津模擬)“x1”)“x1”是是“|x|1”|x|1”的的( () )A.A.充分不必要條件充分不必要條件 B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充分必要條件充分必要條件 D.D.既不充分

18、又不必要條件既不充分又不必要條件【解析【解析】選選A.A.由由x1x1可得可得|x|1,|x|1,而由而由|x|1|x|1得得x1x1或或x-1,x1”x1”是是“|x|1”|x|1”的充分不必要條件的充分不必要條件. .2.(20142.(2014浙江高考浙江高考) )已知已知i i是虛數單位是虛數單位,a,bR,a,bR, ,則則“a=b=1”a=b=1”是是“(a+bi)(a+bi)2 2=2i”=2i”的的( () )A.A.充分不必要條件充分不必要條件B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充分必要條件充分必要條件D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析【解析】選選

19、A.A.當當a=b=1a=b=1時，時，(a+bi)(a+bi)2 2=(1+i)=(1+i)2 2=2i=2i，反過來，反過來(a+bi)(a+bi)2 2=a=a2 2b b2 2+2abi=2i,+2abi=2i,則則 解得解得 或或 所以所以“a=b=1”a=b=1”是是“(a+bi)(a+bi)2 2=2i”=2i”的充分不必要條件的充分不必要條件. .22ab0,2ab2,= a1,b1 = = a1,b1 = = ，3.(20133.(2013浙江高考浙江高考) )已知函數已知函數f(x)=Acos(x+f(x)=Acos(x+) ) (A0,0,(A0,0,R),R),則則“f

20、(xf(x) )是奇函數是奇函數”是是“= ”= ”的的( () )A.A.充分不必要條件充分不必要條件B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充分必要條件充分必要條件D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件2【解析【解析】選選B.f(xB.f(x) )是奇函數是奇函數= +k,kZ;= +k,kZ;= = f(xf(x) )是奇函數是奇函數, ,所以所以“f(xf(x) )是奇函數是奇函數”是是“= ”= ”的必要不充分的必要不充分條件條件. .222【加固訓練【加固訓練】1.(20111.(2011江西高考江西高考) )已知已知1 1,2 2,3 3是三個相互平行的平面是三個相

21、互平行的平面, ,平面平面1 1,2 2之間的距離為之間的距離為d d1 1, ,平面平面2 2,3 3之間的距離為之間的距離為d d2 2, ,直線直線l與與1 1,2 2,3 3分別相交于分別相交于P P1 1,P,P2 2,P,P3 3, ,那么那么“P P1 1P P2 2=P=P2 2P P3 3”是是“d d1 1=d=d2 2”的的( () )A.A.充分不必要條件充分不必要條件B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充分必要條件充分必要條件D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析【解析】選選C.C.如圖所示如圖所示, ,由于由于2 23 3, ,同時被第三個平

22、面同時被第三個平面P P1 1P P3 3N N所截所截, ,故有故有P P2 2MPMP3 3N,N,再由平行線分線段成比例易得再由平行線分線段成比例易得, , 因此因此P P1 1P P2 2=P=P2 2P P3 3d d1 1=d=d2 2. .121232PPdP Pd，2.(20142.(2014海淀模擬海淀模擬) )在四邊形在四邊形ABCDABCD中，中，“RR, ,使得使得 ” ”是是“四邊形四邊形ABCDABCD為平行四邊形為平行四邊形”的的( )( )A.A.充分而不必要條件充分而不必要條件B.B.必要而不充分條件必要而不充分條件C.C.充分必要條件充分必要條件D.D.既不

23、充分也不必要條件既不充分也不必要條件ABDC,ADBC 【解析【解析】選選C.C.若若 則則 即即ABDCABDC，ADBCADBC，所以四邊形，所以四邊形ABCDABCD為平行四邊形為平行四邊形. .反之，反之，若四邊形若四邊形ABCDABCD為平行四邊形，則有為平行四邊形，則有ABDCABDC，ADBCADBC且且AB=DCAB=DC，AD=BCAD=BC，即即 此時此時=1=1，所以，所以RR，使得，使得 成立，所以成立，所以“RR，使得，使得 ” ”是是“四邊形四邊形ABCDABCD為平行四邊形為平行四邊形”的充分必要條件，的充分必要條件，選選C.C.ABDC,ADBC, ABDC A

24、DBC ，ABDC ，ADBC ，ABDC, ABDC ADBC ，ADBC 3.(20143.(2014太原模擬太原模擬)“m ”)“m ”是是“一元二次方程一元二次方程x x2 2+x+m=0+x+m=0有有實數解實數解”的的( () )A.A.充分不必要條件充分不必要條件B.B.充要條件充要條件C.C.必要不充分條件必要不充分條件D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析【解析】選選A.A.一元二次方程一元二次方程x x2 2+x+m=0+x+m=0有實數解時有實數解時m m滿足滿足1-4m0,1-4m0,即即m ,m ,故故m m m ;m ;反之不成立反之不成立, ,所以

25、所以“m ”m0,q:(x-a)(x-a-1)0,若若p p是是q q成立的充分不必要條件成立的充分不必要條件, ,則實數則實數a a的取值范圍是的取值范圍是. .(2)(2)已知集合已知集合M=x|xM=x|x-35,P=x|(x-a)x5,P=x|(x-a)(x-8)0.(x-8)0.求實數求實數a a的取值范圍的取值范圍, ,使它成為使它成為MP=x|5x8MP=x|5x8的充要條件的充要條件. .求實數求實數a a的一個值的一個值, ,使它成為使它成為MP=x|5x8MP=x|50,(x-a)(x-a-1)0,得得xa+1xa+1或或xa,xa+1x|-2x10 x|xa+1或或xa.

26、xa.所以所以a+1-2a+110,a10,即即a-3a10.a10.答案答案: :(-,-3)(10,+)(-,-3)(10,+)(2)(2)由由MP=x|5x8,MP=x|5x8,結合集合結合集合M,PM,P可得可得-3a5.-3a5.故故-3 -3 a5a5是是MP=x|5x8MP=x|5x8的必要條件的必要條件. .下面證明這個條件也是下面證明這個條件也是充分的充分的. .證明證明: :當當-3a5-3a5時時, ,集合集合P=x|ax8,P=x|ax8,集合集合M=x|xM=x|x-35,x5,故故MP=x|5x8.MP=x|5x8.綜上可知綜上可知,-3a5,-3a5是是MP=x|

27、5x8MP=x|5x8的充要條件的充要條件. .求實數求實數a a的一個值的一個值, ,使它成為使它成為MP=x|5x8MP=x|5x8的一個充分不的一個充分不必要條件必要條件, ,就是在集合就是在集合a|-3a5a|-3a5中取一個值中取一個值, ,如取如取a=0,a=0,此時此時必有必有MP=x|5x8;MP=x|5x8;反之反之,MP=x|5x8,MP=x|5x8未必有未必有a=0,a=0,故故a=0a=0是是MP=x|5x8MP=x|5x8的一個充分不必要條件的一個充分不必要條件. . 【易錯警示【易錯警示】關注端點值的取舍關注端點值的取舍解答本例解答本例(1)(1)易出現答案是易出現

28、答案是(-,-310,+)(-,-310,+)的錯誤的錯誤, ,出出錯的原因是題意理解不清錯的原因是題意理解不清, ,忽視端點值的取值是否合適忽視端點值的取值是否合適. .【互動探究【互動探究】本例本例(1)(1)中中, ,若若p:-2x10,q:(x-a)(x-a-1)0,p:-2x10,q:(x-a)(x-a-1)0,其其他條件不變他條件不變, ,試確定試確定a a的取值范圍的取值范圍. .【解析【解析】由由(x-a)(x-a-1)0,(x-a)(x-a-1)0,得得xa+1xa+1或或xa,xa,由題意得由題意得x|-2x10 x|xa+1x|-2x10 x|xa+1或或xaxa.所以所

29、以a+1-2a+1-2或或a10,a10,即即a-3a-3或或a10.a10.【規律方法【規律方法】1.1.與充要條件有關的參數問題的求解方法與充要條件有關的參數問題的求解方法解決此類問題一般是根據條件把問題轉化為集合之間的關系解決此類問題一般是根據條件把問題轉化為集合之間的關系, ,并由此列出關于參數的不等式并由此列出關于參數的不等式( (組組) )求解求解. .2.2.充要條件的證明方法充要條件的證明方法在解答題中證明一個論斷是另一個論斷的充要條件時在解答題中證明一個論斷是另一個論斷的充要條件時, ,其基本其基本方法是分方法是分“充分性充分性”和和“必要性必要性”兩個方面進行證明的兩個方面

30、進行證明的. .這類這類試題一般有兩種設置格式試題一般有兩種設置格式. .(1)(1)證明證明:A:A成立是成立是B B成立的充要條件成立的充要條件, ,其中充分性是其中充分性是A AB,B,必要性必要性是是B BA.A.(2)(2)證明證明:A:A成立的充要條件是成立的充要條件是B,B,此時的條件是此時的條件是B,B,故充分性是故充分性是B BA,A,必要性是必要性是A AB.B.提醒提醒: :在分充分性與必要性分別進行證明的試題中在分充分性與必要性分別進行證明的試題中, ,需要分清充需要分清充分性是什么分性是什么, ,必要性是什么必要性是什么; ;在一些問題中充分性和必要性可以在一些問題中

31、充分性和必要性可以同時進行證明同時進行證明, ,即用等價轉化法進行推理證明即用等價轉化法進行推理證明. .【變式訓練【變式訓練】已知已知P=x|xP=x|x2 2-8x-200,S=x|1-mx1+m.-8x-200,S=x|1-mx1+m.(1)(1)是否存在實數是否存在實數m,m,使使xPxP是是xSxS的充要條件的充要條件, ,若存在若存在, ,求出求出m m的的取值范圍取值范圍. .(2)(2)是否存在實數是否存在實數m,m,使使xPxP是是xSxS的必要條件的必要條件, ,若存在若存在, ,求出求出m m的的取值范圍取值范圍. .【解析【解析】由由x x2 2-8x-200-8x-2

32、00得得-2x10,-2x10,所以所以P=x|-2x10,P=x|-2x10,(1)(1)因為因為xPxP是是xSxS的充要條件，所以的充要條件，所以P=S,P=S,所以所以 這樣的這樣的m m不存在不存在. .1m2,m3,1m10,m9, 所以(2)(2)由題意由題意xPxP是是xSxS的必要條件，則的必要條件，則S SP,P,所以所以 所以所以m3.m3.綜上，可知綜上，可知m3m3時，時，xPxP是是xSxS的必要條件的必要條件. .1m2,1m10, 【加固訓練【加固訓練】1.1.若若=k=k是函數是函數f(xf(x)=cos(x+)=cos(x+)()(0,)(0,)為奇函數的為奇函數的充要條件充要條件, ,則則k=k=. .【解析【解析】f(xf(x) )是奇函數是奇函數f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)cos(-x+cos(-x+)=)=-cos(x+-cos(x+) )cos(x-cos(x-)=cos(+x+)=cos(+x+) )x-x-= =+x+x+2n+2n或或x-x-=-(+x+=-(+x+)-2n()-2n(無解舍去無解舍去), ), (0,)(0,)= ,= ,即即k= .k= .答案答案: :2222.2.已知已知ab0,ab0,證明證明a+ba+b=1=1成立的充要條件是成立的充要條件是a a3 3+b+b3 3+ab-