1、1第第10章章 數字信號最佳接收數字信號最佳接收第10章 數字信號最佳接收l10.1數字信號的統計特性l10.2 數字信號的最佳接收l10.3 確知數字信號的最佳接收機l10.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率l10.5 隨相數字信號的最佳接收l10.6 起伏數字信號的最佳接收l10.7 實際接收機和最佳接收機的性能比較l10.8 數字信號的匹配濾波接收法l10.9 最佳基帶傳輸系統2310.1 數字信號的統計特性在數字通信系統中，接收端收到的是發送信號和信道噪聲之和。噪聲對數字信號的影響表現在使接收碼元發生錯誤。在信號發送后，由于噪聲的影響使接收端收到的電壓仍然有隨機性，為了了解接收碼元發生錯

2、誤的概率，需研究接收電壓的統計特性。以二進制為例以二進制為例研究接收電壓的研究接收電壓的統計特性統計特性。接收噪聲電壓的一維概率密度接收噪聲電壓的一維概率密度接收噪聲電壓接收噪聲電壓k個樣值的個樣值的k維聯合概率密度函數維聯合概率密度函數一個碼元持續時間一個碼元持續時間Ts內接收的噪聲平均功率內接收的噪聲平均功率接收電壓接收電壓r(t)的的k維聯合概率密度函數維聯合概率密度函數1.發送碼元發送碼元si時，接收電壓的時，接收電壓的k維聯合概率密度函數維聯合概率密度函數410.1 數字信號的統計特性假設：假設： 1)通信系統中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設發送的二進

3、制碼元為“0”和“1”，其發送概率分別為P(0)和P(1)，則有P(0) + P(1) = 1 （10.1-1）2) 若此通信系統的基帶截止頻率小于fH，則根據低通信號抽樣定理，接收噪聲電壓可用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。 設在一個碼元持續時間Ts內以2fH的速率抽樣，共得到k個抽樣值n1 , n2 , , ni , nk ： 則有k 2fHTs。 （10.1-2）1、接收噪聲電壓抽樣值的一維概率密度、接收噪聲電壓抽樣值的一維概率密度510.1 數字信號的統計特性由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態分布的隨機變量，故其一維概一維概率密度率密度可以寫為222exp21)(ni

4、ninnf n噪聲的標準偏差噪聲的標準偏差n2 噪聲的方差，即噪聲平均功率；i 1，2，k。 （10.1-3）610.1 數字信號的統計特性),(21kknnnf2、接收噪聲電壓、接收噪聲電壓k個抽樣值的個抽樣值的k維聯合概率密度維聯合概率密度設接收噪聲電壓n(t)的k個抽樣值的k維聯合概率密度函數為 由高斯噪聲的性質高斯噪聲的性質（高斯噪聲通過帶限線性系統后仍為高斯分布）。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關、互相獨立的。這樣，此k 維聯合概率密度函數可以表示為：kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),( （10.1-4

5、） （10.1-5）710.1 數字信號的統計特性或者將上式左端的求和式寫成積分式，則上式變成kiisHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(13、一個碼元持續時間、一個碼元持續時間Ts內接收的噪聲平均功率內接收的噪聲平均功率當k 很大時，在一個碼元持續時間Ts內接收的噪聲平均功率可以表示為： （10.1-6） （10.1-7）810.1 數字信號的統計特性n將式（10.1-7）代入 （10.1-5） ，并注意到 Hnfn02sTkndttnnf020)(1exp21)(n)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn n注意注意：1)f(

6、n)不是時間函數 (時間函數n(t)在定積分內，積分后與時間變量t無關)。n是一個k維矢量，可以看作是k 維空間中的一個點。 n0 噪聲單邊功率譜密度則式（10.1-5）聯合概率密度函數可以改寫為：式中n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個碼元內噪聲的k個抽樣值。 （10.1-9） （10.1-10）2) 在Ts、n0和抽樣數k（它和系統帶寬有關）給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內噪聲的能量：sTdttn02)(3) 由于噪聲的隨機性，每個Ts內噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸的碼元中有一些會發生錯誤，而另一些則無錯。910.1 數字信號的統計特性設接收電壓r(t

7、)為信號電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和:r(t) = s(t) + n(t) (10.1-11)dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r r4、接收電壓、接收電壓r(t)的的k維聯合概率密度函數維聯合概率密度函數在發送碼元確定之后，r(t)的隨機性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布 (方差為n2，均值為s(t) )。（1）發送碼元“0”，信號波形為s0(t)時，接收電壓r(t)的k維聯合概率密度函數為 （10.1-12）r = s + n , 為k 維矢量，表示一個碼元內接收電壓的k個抽樣值；s k 維矢量，表示一個碼元內信號電壓的k個抽樣值。1010.1 數字信號的

8、統計特性dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r rdttstrnfsTikni200)()(1exp21)(r r（2）發送碼元“1“的信號波形為s1(t)時，接收電壓r(t)的k維聯合概率密度函數為 （10.1-12）（3）若傳輸M 進制碼元進制碼元，即可能發送s1，s2，si，sM之一，則發送碼元發送碼元si 時時，接收電壓的k 維聯合概率密度函數為 （10.1-13）注意注意：以上三式中的k 維聯合概率密度函數不是時間t的函數，并且是一個標量，而r 仍是k維空間中的一個點，是一個矢量。 1110.2 數字信號的最佳接收其中Pe1 = P(0/1) 發送“1”時，收到

9、“0”的條件概率； Pe0 = P(1/0) 發送“0”時，收到“1”的條件概率；上面這兩個條件概率稱為錯誤轉移概率。01)0() 1 (eeePPPPP數字通信系統傳輸質量的主要指標是錯誤概率。因此，將錯誤概率最小作為“最佳”準則。1、產生錯誤的原因、產生錯誤的原因：噪聲和系統特性引起的信號失真。 暫不考慮失真的影響，主要討論在二進制數字通信系統中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。2、判決規則、判決規則設在一個二進制通信系統中發送碼元“1”的概率為P(1)，發送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于 （10.2-1）1210.2 數字信號的最佳接收p由接收矢量 r 決定的兩個聯合概率密度

10、函數f0(r)和f1(r) 如右圖（圖中把r 當作1維矢量）：A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)根據前面分析，接收端收到的每個Ts內的電壓可以用一個k 維矢量表示。接收設備需要對每個接收矢量作判決，判定它是發送碼元“0”，還是“1”。3、接收矢量決定的聯合概率密度函數、接收矢量決定的聯合概率密度函數將此空間劃分為兩個區域A0和A1，其邊界是r0，并將判決判決規則規則規定為： r落在區域A0內，則判為發送碼元是“0”；若r落在區域A1內，則判為發送碼元是“1”。 圖10-1 k維 矢量空間示意圖區域A0和A1是兩個互不相容的區域。當這兩個區域的邊界r0 確定后，錯誤

11、概率也隨之確定了。1310.2 數字信號的最佳接收P(A0/1)表示發送“1”時，矢量r落在區域A0 的條件概率 P(A1/0)表示發送“0”時， 矢量r落在區域A1 的條件概率A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(01AdfAPr rr r 圖10-1 k維 矢量空間示意圖4、總誤碼率、總誤碼率總誤碼率可寫為總誤碼率可寫為這兩個條件概率（在圖中分別由兩塊陰影面積表示）可寫為： （10.2-2） （10.2-3） （10.2-4）1410.2 數字信號的最佳接收

12、上式表示Pe是是r0 的函數的函數。為了求出使Pe最小的判決分界點r0，將上式對r0求導，并令導函數等于0， 10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr rA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0)()0()() 1 (00010r rr rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP 將式（10.2-3）和（10.2-4）代入（10.2-2）得到 （10.2-5）參考上圖可知，上式可以寫為： （10.2-6） （10.2-7）求出最佳

13、分界點最佳分界點r0的條件： （10.2-8）5、最佳誤碼率、最佳誤碼率1510.2 數字信號的最佳接收0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP）（則判為10-10.2 0 )()()()(r rr r0101fPfP）（則判為11-10.2 1 )()()()(r rr r0101fPfPA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0) 若f0(r) f1(r)，則判為“0” 若f0(r) f1(r)，則判為“1” （10.2-8）當先驗概率相等時，即P(1) = P(0)時，f0(r0) = f1(r0)，所

14、以最佳分界點位于圖中兩條曲線交點處的r 值上。在判決邊界確定之后，按照接收矢量r 落在區域A0，應判為收到的是“0”的判決準則，這時有： （10.2-9）即即在發送“0”和發送“1”的先驗概率相等時，上兩式的條件簡化為：該判決準則稱為最大似然準則最大似然準則。按照這個準則判決就可得到理論上最佳的誤碼率，即達到理論上的誤碼率最小值。1610.2 數字信號的最佳接收設在一個M 進制數字通信系統中，可能的發送碼元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗概率相等，能量相等。當發送碼元是si時，接收電壓的接收電壓的k k 維聯合概率密度函數維聯合概率密度函數為于是，若 則判為判為si(t)dttstrn

15、fsTikni200)()(1exp21)(r r),()(r rr rjiffMjij, 2, 16、多進制最佳接收準則、多進制最佳接收準則 （10.2-14）對于二進制最佳接收準則的分析，可推廣到多進制信號的場合。對于二進制最佳接收準則的分析，可推廣到多進制信號的場合。1710.3 確知數字信號的最佳接收機n確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預知的信號。n在理想恒參信道中接收到的數字信號可以認為是確知信號。n本節討論如何按照最佳接收準則來構造二進制數字信號的最佳接收機。1810.3 確知數字信號的最佳接收機當發送碼元為“0”，波形為so(t)時，接收電壓的概率密度為dttstrn

16、fsTkn20000)()(1exp21)(r rdttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r rn1、判決準則、判決準則 （10.1-12） （10.1-13）當發送碼元為“1”，波形為s1(t)時，接收電壓的概率密度為因此，將上兩式代入判決準則式，經過簡化，得到：ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (若若 （10.3-1）則判為發送碼元是判為發送碼元是s0(t)；若若 1910.3 確知數字信號的最佳接收機 將式（10.3-1） 和（10.3-2）兩端分別取對數，得到，若則判為發送碼元是s0(t)；反之則判為

17、發送碼元是s1(t)。ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (判為發送碼元是判為發送碼元是s1(t) （10.3-2）ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 ( （10.3-1）判為發送碼元是判為發送碼元是s0(t) （10.3-3）2010.3 確知數字信號的最佳接收機若式中則判為發送碼元是s0(t)；反之，則判為發送碼元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先驗概率決定

18、的加權因子。u按照上式畫出的最佳接收機原理方框圖如下：ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1ln由于已經假設兩個碼元的能量相同，即所以上式還可以進一步簡化。 ssTTdttsdtts021020)()( （10.3-5）（10.3-3） （10.3-6） （10.3-4）2110.3 確知數字信號的最佳接收機W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比較判決積分器積分器ssTTodttstrWdttstrW00011

19、)()()()(2、二進制、二進制 最佳接收機最佳接收機 （10.3-5） 圖10-2 二進制最佳接收機原理方框圖22r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t = Ts10.3 確知數字信號的最佳接收機若此二進制信號的先驗概率相等，則上式簡化為最佳接收機的原理方框圖也可以簡化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()( （10.3-5） 圖10-3 二進制等先驗概率最佳接收機原理方框圖2310.3 確知數字信號的最佳接收機由上述討論不難推出M 進制通信系統的最佳接收機結構 u最佳接收機的核心是由相乘和積分

20、構成的相關運算，所以常稱這種算法為相關接收法。u由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。 積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比較判決積分器積分器3、M進制進制 最佳接收機最佳接收機 圖10-4 M進制等先驗概率最佳接收機原理方框圖2410.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率在最佳接收機中，若ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnaxdxeaPP22221)() 1/0(n1、發生錯誤的條件概率發生錯誤的條件概率 （10.4-1）則判為發送碼元是判為發送碼元是s s0 0(t)(t)。在發送碼元為s1(t)時，若上式

21、成立，則將發生錯誤判決。將r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，則上式成立的概率就是在發送碼元“1”的條件下收到“0”的概率，即發生錯誤的條件概率生錯誤的條件概率P(0 P(0 / 1)/ 1)：sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2sTdttstsnD020102)()(2)( （10.4-2） （10.4-3）sdttststnT01)()()(2510.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率同理，可以求出發送s0(t)時，判決為收到s1(t)的條件錯誤概率P(0 / 1)P(0 / 1)bxdxebPP22221)()0/1 (STdttstsPPnb0

22、2100)()(21)0() 1 (ln2 （10.4-4） （10.4-5）2610.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率n2 2、總誤碼率、總誤碼率dxePdxePPPPPPbxaxe22222221)0(21) 1 ()0/1 ()0() 1/0() 1 (（1）先驗概率）先驗概率P(0) = 0及及P(1) = 1，a = - 及及b = 由式（10.4-6）計算出總誤碼率Pe = 0。在物理意義上，這時由于發送碼元只有一種可能性，即是確定的“1”。因此，不會發生錯誤。同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ， a a = = 及及b b =- =- 總誤碼率也為零。3、先驗概率對誤碼

23、率的影響、先驗概率對誤碼率的影響 （10.4-6）2710.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率結論：結論：當先驗概率相等時，對于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差s0(t) s1(t)的能量有關，而與波形本身無關。差別越大，c 值越小，誤碼率Pe也越小。dxePcxe22221sTdttstsc0210)()(21（2）先驗概率相等）先驗概率相等P(0) = P(1) = 1/2，a = b。這樣，式（10.4-6）可以化簡為 （10.4-7） （10.4-8）2810.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率由計算表明，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概率相等時的誤碼率。 （3）先驗概率不

24、等）先驗概率不等結論： 誤碼率而言，先驗概率相等是最壞的情況。2910.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssssTTTTsTdttsE0200)(sTdttsE0211)(n4、先驗概率相等時誤碼率的計算、先驗概率相等時誤碼率的計算若給定了噪聲強度，誤碼率決定于信號碼元的區別。以下給出定量地描述碼元區別的一個參量，即碼元的相關系數 ，其定義如下： （10.4-9） （10.4-10）當s0(t) = s1(t)時，1，為最大值；當s0(t) = -s1(t)時，1，為最小值。所以 的取值范圍在-1

25、+1。 式中E0、E1為信號碼元的能量。3010.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率當兩碼元的能量相等時，令E0 = E1 = Eb，則式（10.4-9）可寫成并且將上式代入誤碼率公式，得到為了將上式變成實用的形式，作如下的代數變換：令則有bTEdttstsS010)()()1 ()()(210210bTEdttstscSdxedxePbExcxe)1(22222221212/xz 2222/xz 2/dxdz （10.4-11） （10.4-12） （10.4-13）3110.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率于是上式變為式中 利用下式中2和n0關系2)1 (121221112212/ )1 (

26、2/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2222bEzEzEzEzeEerfdzedzedzedzePbbbbxzdzexerf022)()1 ()()(2)(0020102bTEndttstsnDs （10.4-15）代入上式，得到誤碼率最終表示式誤碼率最終表示式：3210.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率式中 誤差函數 補誤差函數 Eb 碼元能量； 碼元相關系數； n0 噪聲功率譜密度。xzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc （10.4-15）002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe式（10.4-15）是一個非常重要的理論公式重要的理論公式，它給

27、出了理論上二二進制等能量數字信號誤碼率的最佳（最小可能）值，如圖進制等能量數字信號誤碼率的最佳（最小可能）值，如圖10-6所示。實際通信系統中得到的誤碼率只可能比它差。3310.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率dB圖圖10-6 最佳誤碼率曲線3410.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率u誤碼率和Eb / n0及相關系數 有關，與信號波形及噪聲功率無直接關系。 nssssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (n5、最佳接收性能特點按照奈奎斯特速率（能消除碼間串擾能消除碼間串擾）傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為(1/2Ts) Hz。對已調信號，若采用的是2PSK或2ASK信號，則其占用帶

28、寬是基帶信號帶寬的兩倍 (1/Ts) Hz。在工程上，通常把(Eb/n0)當作信號噪聲功率比看待。 （10.4-16）碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實際上相當于信號噪聲功率比Ps/Pn。因為若系統帶寬B等于1/Ts，則有3510.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率u 對于誤碼率的影響很大。 (1) 兩種碼元的波形相同， 最大，即 = 1時，誤碼率最大為1/2。因為這時兩種碼元波形沒有區別，接收端是在沒有根據的亂猜。(2)兩種碼元的波形相反， 最小（ = -1），誤碼率最小，等于 0021121nEerfcnEerfPbbe002212121nEerfcnEerfPbbe例如，例如，2PS

29、K信號的相關系數就等于 -1。 （10.4-17） （10.4-18）u例如，例如，2FSK信號的相關系數就等于或近似等于零。(3)兩種碼元正交，即相關系數 等于0時，誤碼率等于3610.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率u若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號，則誤碼率為sTdttsc020)(21004214121nEerfcnEerfPbbe （10.4-19） （10.4-20）u比較以上3式：2ASK信號的性能比2FSK信號的性能差3dB，而2FSK信號的性能又比2PSK信號的性能差差3dB3dB。0021121nEerfcnEerfPbbe 2PSK （10.4-17）00

30、2212121nEerfcnEerfPbbe 2FSK （10.4-18）3710.4 確知數字信號最佳接收的誤碼率圖10-6畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關系曲線。 dyedxePyMnEyxe212/12220221211MEEb2log/knEMnEnEb0200logn5、多進制通信系統u若不同碼元的信號正交，且先驗概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計算結果如下：M 進制數； E M 進制碼元能量；n0 單邊噪聲功率譜密度。一個M 進制碼元中含有的比特數k 等于log2M，故每個比特的能量等于并且每比特的信噪比為 （10.4-21） （10.4-22） （10.4-23）3810.4

31、確知數字信號最佳接收的誤碼率Pe0.693Eb/n0圖10-6 多近制正交信號最佳誤碼率 對于給定的誤碼率，當k增大時，需要的信噪比Eb/n0減小。當k 增大到時，誤碼率曲線變成一條垂直線；這時只要Eb/n0等于0.693(-1.6 dB)，就能得到無誤碼的傳輸。3910.5 隨相數字信號的最佳接收此信號隨機相位的概率密度表示為：)cos(),()cos(),(11110000tAtstAts其他處, 020,2/1)(00f其他處, 020,2/1)(11f1 1、隨相信號隨相信號n假設： 2FSK信號的能量相等、先驗概率相等、互不相關；通信系統中存在帶限白色高斯噪聲；接收信號碼元相位的概率

32、密度服從均勻分布。隨相信號：隨相信號：經過信道傳輸后碼元相位帶有隨機性的信號稱之。因此，可以將此信號表示為： （10.5-1a） （10.5-1b） （10.5-2） （10.5-3）4010.5 隨相數字信號的最佳接收ssTTbEdttsdtts00121020),(),(2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r2 2、隨相信號隨相信號的判決條件的判決條件由于碼元能量相等，故有 （10.5-4）若接收矢量r r使f1(r r) f0(r r)，則判發送碼元是“0”，若接收矢量r r使f0(r r) f1(r r)，則判發送碼元是“1”。

33、在討論確知信號的最佳接收時，對于先驗概率相等的信號，判決規則：判決規則：現在，由于接收矢量具有隨機相位，故上式中的 f0(r)和f1(r) 表示為：上兩式經過復雜的計算后，代入判決條件，得出最終的判決條件最終的判決條件： （10.5-6） （10.5-5）4110.5 隨相數字信號的最佳接收20200YXM21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)( 若接收矢量r r 使M12 M02，則判為發送碼元是“0”， 若接收矢量r r 使M02 M12，則判為發送碼元是“1”。最終最終判決條件：判決條

34、件： （10.5-7） （10.5-8） （10.5-9） （10.5-10） （10.5-11）（10.5-12）（10.5-13）按照上面判決準則構成的隨相信號最佳接收機隨相信號最佳接收機的結構如圖107。 4210.5 隨相數字信號的最佳接收相關器平 方cos0t相 加相關器平 方sin0t相關器平 方cos1t相 加相關器平 方sin1t比 較r(t)Y0X1Y1X0如圖107 隨相信號最佳接收機隨相信號最佳接收機的結構圖3 3、隨相信號隨相信號的的最佳接收機最佳接收機4310.5 隨相數字信號的最佳接收隨相信號最佳接收機的誤碼率，用類似10.4節的分析方法，可以計算出來，結果如下：)

35、2/exp(210nEPbe4 4、隨相信號隨相信號最佳接收機的誤碼率最佳接收機的誤碼率隨相信號最佳接收機及其誤碼率也就是2FSK確知信號的非相干接收機和誤碼率。 因為隨相信號的相位攜帶有由信道引入的隨機變化，所以在接收端不可能采用相干接收方法。 對于隨相信號而言，非相干接收已經是最佳的接收方法了。（10.5-14）4410.6 起伏數字信號的最佳接收A0和A1是由于多徑效應引起的隨機起伏振幅，它們服從同一瑞利分布： )cos(),()cos(),(111111000000tAAtstAAts2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii包絡隨機起伏，相位也隨機變化的信號。經過多

36、徑傳輸的衰落信號都具有這種特性 假設：通信系統中的噪聲是帶限白色高斯噪聲； 信號是互不相關的等能量、等先驗概率的2FSK信號，其表示式1 1、起伏信號、起伏信號（10.6-1）（10.6-2）s2 為信號的功率而且 0 0和 1 1的概率密度服從均勻分布：2 , 1,20,2/1)(ifii（10.6-3）4510.6 起伏數字信號的最佳接收由于Ai是余弦波的振幅，所以信號si(t, i, Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之間的關系為222siAE（10.6-4）r r 具有隨機相位和隨機起伏的振幅，故概率密度f0(r r)和f1(r r)可表示為：2、接收矢量r r 的概率密度: 200

37、00000000),/()()()(ddAAffAffrr r 20111111011),/()()()(ddAAffAffrr r（10.6-5）（10.6-6）4610.6 起伏數字信號的最佳接收knTsdttrnK2)(1exp020)(2exp)(2002022000sssssTnnMTnnKfr r)(2exp)(2002122001sssssTnnMTnnKfr r2、接收矢量r r 的概率密度:經過繁復的計算，結果如下：經過繁復的計算，結果如下：（10.6-7）（10.6-8）（10.6-9）n0 噪聲功率譜密度n2 噪聲功率。4710.6 起伏數字信號的最佳接收和隨相信號最佳接

38、收時一樣，比較f0(r)和f1(r)仍然是比較M02和M12的大小。所以，不難推論，起伏信號最佳接收機的結構結構和隨相信號最佳接收機的一樣。這時的最佳誤碼率則不同于隨相信號的誤碼率，誤碼率等于 )/(210nEPe接收碼元的統計平均能量。n3、起伏、起伏信號信號最佳接收機的誤碼率最佳接收機的誤碼率（10.6-10）4810.6 起伏數字信號的最佳接收n4、起伏、起伏信號信號最佳接收最佳接收誤碼率曲線在有衰落時，性能隨誤碼率下降而迅速變壞。當誤碼率等于10-2時，衰落使性能下降約10 dB；當誤碼率等于10-3時，下降約20 dB。0/nE49相干2ASK信號非相干2ASK信號相干2FSK信號非

39、相干2FSK信號相干2PSK信號差分相干2DPSK信號同步檢測2DPSK信號10.7 實際接收機和最佳接收機的性能比較4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc210/21nEerfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb實際接收機的Pe最佳接收機的Pe5010.8 數字信號的匹配濾波接收法1 1、定義、定義：用線性濾波器對接收信號濾波時，使抽樣時刻上輸出信噪比最大信噪比最大的線性濾波器稱之。2 2、假設條件

40、：、假設條件：u接收濾波器的傳輸函數為H(f)，沖激響應為h(t)，濾波器輸入信號碼元s(t)的持續時間為Ts，信號和噪聲之和r(t)為 s(t)的頻譜密度函數為S(f)，高斯白噪聲n(t)的雙邊功率譜密度為Pn(f) = n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。 sTttntstr0),()()(（10.8-1）一、匹配濾波器5110.8 數字信號的匹配濾波接收法u假定濾波器是線性的，根據線性電路疊加定理，當濾波器輸入電壓r(t)中包括信號和噪聲兩部分時，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應的輸出信號so(t)和輸出噪聲no(t)兩部分，即式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftj

41、o2)()()(3 3、輸出電壓、輸出電壓（10.8-2）（10.8-3）5210.8 數字信號的匹配濾波接收法在抽樣時刻t0上，輸出信號瞬時功率與噪聲平均功率之比為)()()()()(*)( 2fPfHfPfHfHfPRRY由dffHndfnfHNo2002)(22)(dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0n4 4、輸出噪聲功率、輸出噪聲功率n5 5、輸出信噪比、輸出信噪比（3.4-7）（10.8-4）這時的輸出噪聲功率No等于（10.8-5）5310.8 數字信號的匹配濾波接收法dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()(。等號成立為任意

42、常數，則上式的若kxkfxf )()( *210221)()(),()( ftjefSxffHxf若令0022022022)()(2)()( nEndffSdffHndffSdffHr則有二、匹配濾波器的傳輸特性二、匹配濾波器的傳輸特性為了求出 r0 的最大值，利用施瓦茲不等式；（10.8-6）（10.8-6）dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(0（10.8-5）5410.8 數字信號的匹配濾波接收法02)(*)(ftjefkSfH而且當（10.8-8）式（10.8-7）的等號成立，即得到最大輸出信噪比2E/n0。上式表明，H(f) 就是我們要找的最佳接收

43、濾波器傳輸特性。它等于信號碼元頻譜的復共軛（除了常數因子外）。故稱此濾波器為匹配濾波器。 5510.8 數字信號的匹配濾波接收法dfeefkSdfefHthftjftjftj2220)(*)()(n三、匹配濾波器的沖激響應函數三、匹配濾波器的沖激響應函數結論：結論： 匹配濾波器的沖激響應h(t)就是信號s(t)的鏡像s(-t)，但在時間軸上（向右）平移了t0，如圖10-9所示。 （10.8-9） dfedeskttfjfj)(*)(022dsdfekttfj)()(02)()()(ttksdttsk00560tt1t2s(t)(a)0t-t1-t2s(-t)(b)0tt2-t1h(t)t0(c

44、)10.8 數字信號的匹配濾波接收法圖10 -9 從s(t)得出h(t)即s(t0-t)的圖解5710.8 數字信號的匹配濾波接收法上式的條件說明：上式的條件說明：接收濾波器輸入端的信號碼元s(t)在抽樣時刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = Ts。故匹配濾波器的沖激響應可以寫為0, 0)(tth當0, 0)(0ttts當即要求滿足：0, 0)( ttts當：或滿足條件)()(tTksthsn四、實際的匹配濾波器四、實際的匹配濾波器一個實際的匹配濾波器應該是物理可實現的，其h(t)必須符合因果關系，在輸入沖激脈沖加入前不應該有沖激響應出

45、現，即必須有：（10.8-10）（10.8-11）（10.8-12）5810.8 數字信號的匹配濾波接收法若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號碼元的波形為：)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts上式表明，匹配濾波器輸出信號碼元波形輸出信號碼元波形是輸入信號碼元波形的自相關函數的k倍。k是一個任意常數，它與r0的最大值無關；通常取k 1。（10.8-13）令5910.8 數字信號的匹配濾波接收法tTttss其他, 00, 1)(sfTjftjefjdtetsfS22121)()( tTss(t)1傳輸函數，可得此匹配濾波器的由令02)(*)(

46、, 1ftjefkSfHkssfTjfTjeefjfH22121)(【例例10.1】設接收信號碼元s(t)的表示式為試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。解：解：上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如下圖所示。其頻譜為（10.8-14）（10.8-15）（10.8-16）6010.8 數字信號的匹配濾波接收法tTsh(t)1)()( soTtkRts由tTsso(t)()(0ttksthssTttTsth0),()(令k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應為此沖激響應波形示于右圖可以求出此匹配濾波器的輸出信號波形如圖h(t)的形狀和信號s(t)的形狀一樣。實際上，h(t) 是s(t)

47、的波形以t = Ts / 2為軸線反轉而來。由于s(t)的波形對稱于t = Ts / 2，所以反轉后，波形不變？（10.8-17）tTss(t)16110.8 數字信號的匹配濾波接收法可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：ssfTjfTjeefjfH22121)(延遲Ts理想積分器由其傳輸函數(1/j2f)是理想積分器的傳輸函數。延遲時間為Ts的延遲電路的傳輸函數。6210.8 數字信號的匹配濾波接收法tTttftss其他, 00,2cos)(0)(41)(412cos)()(0)(20)(2020200ffjeffjedttefdtetsfSssTffjTffjTftjftjTs【例例10.2】

48、 設信號的表示式為試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。解：解：上式所示的信號波形是一段余弦振蕩，如下圖所示。其頻譜為6310.8 數字信號的匹配濾波接收法)(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftjsssTttTftTsth0),(2cos)()(0為正整數，為便于畫出波形圖，令 /0nfnTssTttfth0,2cos)(0令t0 = Ts 。因此，其匹配濾波器的傳輸函數為此匹配濾波器的沖激響應為：上式可以化簡為：h(t)的曲線示于下圖： (b) 沖激響應Ts6410.8 數字信號的匹配濾波接收法由于s(t)和h(t)在區間(0, Ts)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進行計算：dthstso)()()(ssssTtTtTTtt2,2,0, 0匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出：當t 2Ts時，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。 1）當0 t d) |d)是噪聲抽樣值大于d 的概率，等等于？。于？。 （10.9-13）積分值是一個實常數，假設其等于1，即假設1202n（10.9-15）8310.9.1 理想信道的最佳傳輸系統以上假設不影響對誤碼率性能的分析。由