1、數學漸近法數學漸近法 力矩分配法可以避免解聯立方程組，其計算精度可按要求來控制。在工程中曾經廣泛應用。9-1 引言第1頁/共50頁 力矩分配法的理論基礎是位移法，力矩分配法中對桿端轉角、桿端彎矩、固端彎矩的正負號規定，與位移法相同（順時針旋轉為正號）。9-1 引言第2頁/共50頁 轉動剛度表示桿端抵抗轉動的能力。它在數值上等于使桿端產生單位轉角時需要施加的力矩。其值與桿件的線剛度i=EI/l及遠端的支承情況有關。 一、力矩分配法中幾個概念1. 轉動剛度（勁度系數）lABEIM = iABM = iB A 4 21iSAB4轉動剛度9-2 力矩分配法的基本原理 第3頁/共50頁lABEIM =B

2、AM = iAB301iSAB3轉動剛度iSAB轉動剛度lABEIM =ABM =-iAB1ilABEIM =AB10轉動剛度思考：BA0ABS?ABS9-2 力矩分配法的基本原理 第4頁/共50頁利用結點B的力矩平衡條件MB=0，得圖示連續梁，力偶MB使結點B產生轉角 B 。BBBABAiSM4BBBCBCiSM3(a)取結點B為隔離體0BCBaBMMMBBCBABCBABSSMMM)()(BBACM BM BM BCM BAB2分配系數桿端彎矩為9-2 力矩分配法的基本原理 第5頁/共50頁 S(B) 為匯交于結點B的各桿件在B端的轉動剛度之和。 近端彎矩MBA、MBC為)(BBBCBAB

3、BSMSSM轉角為:BBBABBBABAMSSSMSM)()(BBBCBBBCBCMSSSMSM)()(可見：各桿B 端的彎矩與各桿B 端的轉動剛度成正比。9-2 力矩分配法的基本原理 第6頁/共50頁BA、BC 分別稱為各桿近端彎矩的分配系數。)(BBABASS)(BBCBCSS令 ,近端彎矩BBBABBBABAMSSSMSM)()(BBBCBBBCBCMSSSMSM)()(BBCBCBBABAMMMM稱為分配 彎矩。可以寫成9-2 力矩分配法的基本原理 第7頁/共50頁 思考：匯交于同一結點的各桿桿端的分配系數之和(B) 應等于多少？BAABBAABMCMM21BACBCBMCM 0ABB

4、AABMMC3傳遞系數遠端彎矩（傳遞彎矩） 稱為由A 端向B 端的傳遞系數。上述計算過程可歸納為： 結點B作用的力偶，按各桿的分配系數分配給各桿的近端；遠端彎矩等于近端彎矩乘以傳遞系數。BBACM B9-2 力矩分配法的基本原理 第8頁/共50頁與遠端支承情況有關ABi14i2iABi13iABi1i9-2 力矩分配法的基本原理 第9頁/共50頁 例9-1 結構的A端、B端，C端的支撐及各桿剛度如圖所示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。 解:當結點B轉動時，A支座只阻止A端發生線位移，相當于固定鉸，故 0,3BABAClEIS21,4BCBCClEISC支座既阻止C 端的線位

5、移，也可以阻止C 端轉動，其作用與固定端一樣，因此(a)llAEIDlEIEIBC(b)ADBBCEIEIEI(a)llAEIDlEIEIBC(b)ADBBCEIEIEID支座不能阻止D點垂直BD軸的轉動，所以 0,0BDBDCS9-2 力矩分配法的基本原理 第10頁/共50頁 例9-2 圖示梁的AC為剛性桿段，CB桿段EI=常數，求SAB及CAB AB28C4B2SABS28108iiiiii=1ACEI=llB il/l= iBCil當666Aa)CEI=llB il/l= iBCi666當lc)AB28=1C4B2SABS28108iiiiii 解: 當A端轉角=1時，截面C 有豎向位移

6、 =l=l及轉角=1 。CB段的桿端彎矩為iMCB 10iMBC 8iMSABAB 28 72288ABC 梁AB彎矩圖是直線變化的，按直線比例可得CEI= il/l= iBCil當666llAB9-2 力矩分配法的基本原理 第11頁/共50頁 解: 當A 轉角=1時，因為AC 剛性轉動，C 點向下的位移=l=l ，所以EI=lll=13 iCABBCASAB3 i/l=3 iACBiliSAB33133iiCAB 例9-3 圖示梁的AC 桿為剛性桿段，CB 桿段EI=常數。求SAB ,CAB。EI=lll=1CAa)BBCASAB3 i/l=3 iACB3 i9-2 力矩分配法的基本原理 第

7、12頁/共50頁 解:當A 端轉動=1時，因AB桿是剛性轉動，所以B 產生向下的豎向位移=l=l ，彈簧反力FyB=k=EI/l2 。則 例9-4 圖示梁AB為剛性，B支座為彈性支承，其彈性剛度 k=EI/l3 ,求SAB ,CAB。ilEIlFSyBAB 00iCABlk=3EI/lAB =kyBF AB=l=1BASABEI/lF yB9-2 力矩分配法的基本原理 第13頁/共50頁4不平衡力矩固定狀態:ABm10EImkNq/12 Cm10EIABmkNq/12 CB uBM12/2qluBM-不平衡力矩，順時針為正固端彎矩-荷載引起的單跨梁兩端的桿端彎矩，繞桿端順時針為正。mkNqlM

8、FAB.10012/2 mkNMFBA.100 0 FCBFBCMM9-2 力矩分配法的基本原理 第14頁/共50頁ABCuBMB 放松狀態: 需借助分配系數, 傳遞系數等概念求解BuBMFBAMFBCMFBCFBAuBMMM mkN .100 9-2 力矩分配法的基本原理 第15頁/共50頁6060ABmkN.40CmkN /20mkNMuB.1004060 60mkN.40uBMABm4EImkN.40Cm6EImkN /20例.求不平衡力矩9-2 力矩分配法的基本原理 第16頁/共50頁二、力矩分配法基本思想以圖示具體例子加以說明AB1l2l1EI2EICMMAB1l2l111/lEIi

9、 222/lEIi C211134iir 11rC14i23i01111pRZr9-2 力矩分配法的基本原理 第17頁/共50頁)34/(211iiMZ MR P1P1RCM)34/(4211iiiMMCA )34/(3212iiiMMCB 114/2iiMMCAAC 23/0iMMCBBC 0FM9-2 力矩分配法的基本原理 第18頁/共50頁uFF1)(CCBCApMMMRMFCACACAMMM FCBCBCBMMM FACCACAACMCMM FBCCBCBBCMCMM 固端彎矩分配彎矩CiM固端彎矩傳遞彎矩iCM9-2 力矩分配法的基本原理 第19頁/共50頁9-2 力矩分配法的基本原

10、理 第20頁/共50頁例. 計算圖示剛架, 作彎矩圖iSA41 解:2/13441 iiiiA AB1Clql2CEI qlliSB31 iSC 18/33431 iiiiB 8/1341 iiiiC 8/2qlql2q4/2ql4/2qlq確定分配系數確定固端彎矩9-2 力矩分配法的基本原理 第21頁/共50頁000 FM分配傳遞M結點桿端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/8-1/41/41/8163 649 643 323 064303211 161641 643 643AB1Clql2CEI qll6416433211161）圖（2qlM9-2 力矩分配法的基本原理 第22

11、頁/共50頁解 （1）計算結點B處各桿端的分配系數由SBA=4i ， SBC=3i 有分配系數為ABC9 kN/m80 kN6 m3 m3 m74344iiiSS)B(BABA73343iiiSS)B(BCBC一、力矩分配法計算單剛結點的連續梁例：用力矩分配法計算圖示的連續梁的內力。9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第23頁/共50頁結點B的不平衡力矩為 （2）計算固端彎矩（查表8-1） mkN2712691222qlMFABmkN2712691222qlMFBAmkN90166803163FlMFBC0FBCMmkN63FBCFBAuBMMM（3）進行彎矩分配與傳遞 3 m3 m6

12、m80 kN9 kN/mABC9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第24頁/共50頁分配系數47 37 固端彎矩27 -27-900分配與傳遞36 27 最后彎矩180注意：結點B應滿足平衡條件。06363BM80 kN9 kN/mABC將以上結果疊加，即得最后的桿端彎矩。-963-6309-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第25頁/共50頁 根據各桿桿端的最后彎矩即可利用疊加法作出連續梁的彎矩圖。 思考：用力矩分配法計算的只有一個剛結點結構的結果是精確解嗎？12088.596340.5圖(kN m)M3 m3 m6 m80 kN9 kN/mABCmkN9ABMmkN63BCMmk

13、N63BAM9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第26頁/共50頁 二、具有多個結點轉角的多跨連續梁1.先將所有剛結點固定，計算各桿固端彎矩； 2.輪流放松各剛結點，每次只放松一個結點，其他結點仍暫時固定，這樣把各剛結點的不平衡力矩輪流進行分配與傳遞，直到傳遞彎矩小到可略去時為止。這種計算桿端彎矩的方法屬于漸近法。 只需依次對各結點使用上述方法便可求解。步驟:3. 最后累加固端、分配和傳遞得結果。9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第27頁/共50頁6 m6 m12 m25 kN/m12 m0123400 kNEIEIEI21444) 1 (1010iiiSS21444) 1 (1

14、212iiiSS74344)2(2121iiiSS73343)2(2323iiiSS 例：用力矩分配法計算圖示的三跨連續梁的內力。EI=常數 解: (1) 首先引用剛臂將兩個剛結點1、2固定。(2)計算結點1、2處各桿端的分配系數。 結點1的分配系數為結點2的分配系數為9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第28頁/共50頁mkN 300121225122201qlMFmkN 300121225122210qlMFmkN 600812400812FlMFmkN 600812400821FlMF03223FFMMmkN 300600)(300F12F10u1MMM(3) 計算固端彎矩(4)

15、計算結點的不平衡力矩結點1的不平衡力矩為結點2的不平衡力矩為12 m25 kN/m400 kNEIEIEI21036 m12 m6 mmkN 600MMF23F212uM (5) 按輪流放松結點，進行彎矩分配與傳遞。9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第29頁/共50頁1/2 1/24/73/72310-600-300-193+300+60000+150 +150-386 -2890+75+96.5+96.5+48.2+75+48.2-27.5 -20.7-13.8+6.9+6.9+3.4+3.4-1.5-1+0.5-1.9+0.5+0.2+0.2-0.1-0.1+553.9-553.9

16、+311.3-311.3-173.20固 端 彎 矩MF結 點 1分 配 傳 遞結 點 2分 配 傳 遞結 點 1分 配 傳 遞結 點 2分 配 傳 遞結 點 1分 配 傳 遞結 點 2分 配 傳 遞結 點 2分 配 傳 遞結 點 1分 配 傳 遞最 后 彎 矩1/2 1/24/7 3/7固端彎矩MF -300+300 -600+60000結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞結點分配傳遞最后彎矩+150 +150+75+75-386 -2890-193+96.5 +96.5+48.2+48.2-27.5 -20.7-13.8+6.9 +6.9+3

17、.4+3.4-1.9 -1.5-1.0+0.5 +0.5+0.2+0.2-0.1 -0.1-173.2+553.9 -553.9 +311.3 -311.309-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第30頁/共50頁 (6) 計算桿端最后彎矩最后，將各桿端的固端彎矩和歷次所得到的分配彎矩和傳遞彎矩總和加起來，便得到各桿端的最后彎矩，根據各桿桿端的最后彎矩作彎矩圖(略)。本節敘述的方法同樣可適用于無結點線位移的剛架。9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第31頁/共50頁例： 用力矩分配法做圖示結構的彎矩圖。各桿EI=常數。4kN/m4m6m6kN/m8m6kN/m6m4kN/mBD 此結

18、構有兩個對稱軸，根據對稱軸處的變形情況可簡化為取1/4結構進行計算。原結構桿件DB的彎矩可由靜力平衡方程求出。 解:9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第32頁/共50頁6 m4 m2 m6 kN/mi=31.511DACi=i=4 . 05 . 7335 . 13333111111111iiiissscADDCADDDS2 . 05 . 7/5 . 111111sssCADAAS0.43/7.511CsssCADCS1111, 1, 0111CADCCCmkN 2786682F/21qlMD1. 計算結點“1”的分配系數 令EI=6 傳遞系數2. 求固端彎矩mkNF324363221q

19、lMAmkNF164666221qlMA9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第33頁/共50頁 4. 將固端彎矩和分配彎矩、傳遞彎矩的結果相加得最后彎矩，根據各桿桿端的最后彎矩利用疊加法作出剛架的彎矩圖。-17-21+27+20.4+29-32+1-31+2-20.40.2-1-160D1C1ADAC0+2(kN m )8313129172M291728312931293. 進行分配、傳遞 9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第34頁/共50頁 (1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定結點，只考慮除變形外的其他因素，然后再令結構發生變形，使結構達到最后的變形

20、狀態。 (2)實現最后的內力和變形狀態的方法不同。位移法的最后變形狀態是一次性完成的，內力是由廣義荷載和變形各自作用的結果相疊加來實現的；力矩分配法則是經循環運算、逐步修正，將各結點反復輪流地固定、放松，才使各結點的不平衡力矩逐漸趨近于零，桿端力矩也就逐步修正到精確值。力矩分配法與位移法的比較9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第35頁/共50頁A(a)FBCFal/2ll/2FaMB(b)1M2M=FaF8FM （2）結點有外力偶的結構。當結點上有外力偶時，為正確計算該處不平衡力矩，宜取該結點為隔離體，畫出集中力偶和固端彎矩的實際方向，則由結點的力矩平衡方程求出不平衡力矩，不平衡彎矩以

21、逆時針旋轉為正。幾種情形下約束力矩的計算 （1）帶懸臂的結構。求圖a 所示連續梁結點B 的不平衡力矩，可將懸臂端的F 等效平移到支座C上（圖b），桿BC 的C 端彎矩為M，B 端的傳遞彎矩為M/2，得B 端的約束力矩MB=Fl/8+M/2。9-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第36頁/共50頁 例：求圖a所示連續梁結點B的不平衡力矩。163122FlqlMMB解：由圖b可得結點B的不平衡力矩為ll/2l/2(a)qACBMF12ql2MBM316 FlMB(b) Fl1632ql129-3 用力矩分配法計算連續梁和無側移剛架第37頁/共50頁本章作業：9-1， 9-49-6，9-7第38

22、頁/共50頁一、力矩分配法的基本思路 力矩分配法適用于連續梁和無結點線位移的剛架。力矩分配法與位移法的基本理論是一致的，即認為結構最后的內力狀態是由荷載單獨作用（此時不考慮結點位移，即把結點位移約束住）和結點位移單獨作用下 （放松約束，使結構產生變形）產生的內力相疊加的結果。 但二者的不同之處在于用位移法計算時，我們把結構的最后變形看作是由初始狀態一次性完成的；力矩分配法則是每次只完成一部分變形，經過幾次循環之后才逐漸達到最后的變形值，因而結構在總變形下產生的總內力也應當是由這幾次變形各自產生的內力相疊加。 本章總結第39頁/共50頁例：圖示結構中各桿EI 相同，求分配系數BA 。 BCAD3

23、m4m4m解：43EISBD54EISBA0BCS3116BA注意：本題需正確求解SBC 。，所以本章總結第40頁/共50頁A(a)FBCFal/2ll/2FaMB(b)1M2M=FaF8FM （2）結點有外力偶的結構。當結點上有外力偶時，為正確計算該處不平衡力矩，宜取該結點為隔離體，畫出集中力偶和固端彎矩的實際方向，則由結點的力矩平衡方程求出不平衡力矩，不平衡彎矩以逆時針旋轉為正。1. 幾種情形下約束力矩的計算 （1）帶懸臂的結構。求圖a 所示連續梁結點B 的不平衡力矩，可將懸臂端的F 等效平移到支座C上（圖b），桿BC 的C 端彎矩為M，B 端的傳遞彎矩為M/2，得B 端的約束力矩MB=F

24、l/8+M/2。本章總結第41頁/共50頁 例：求圖a所示連續梁結點B的不平衡力矩。163122FlqlMMB解：由圖b可得結點B的不平衡力矩為ll/2l/2(a)qACBMF12ql2MBM316 FlMB(b) Fl1632ql12本章總結第42頁/共50頁（3）支座沉降 例：求圖a所示連續梁有支座沉降時，結點C 的約束力矩。 =13DCEIl3l22BEI(a)A36CMEI33l22l22(b)EI23322236lEIlEIMC解：本章總結第43頁/共50頁 (1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的，即都是先固定結點，只考慮除變形外的其他因素，然后再令結構發生變形，使結構達到最后的變形狀態。 (2)實現最后的內力和變形狀態的方法不同。位移法的最后變形狀態是一次性完成的