1、第三節(jié)self induction and multual induction線圈中兩種典型的電磁感應(yīng)線圈中兩種典型的電磁感應(yīng)自感自感電動(dòng)勢1回路里回路里 di/dt 0 L。直流電路在直流電路在ON、off開關(guān)的瞬間才出現(xiàn)開關(guān)的瞬間才出現(xiàn) L。2LL L大，大， L大大阻礙電路變化的阻力大；阻礙電路變化的阻力大；L小，小， L小小阻礙電路變化的阻力小。阻礙電路變化的阻力小。 L對(duì)電路對(duì)電路“電磁慣性電磁慣性”的量度的量度。結(jié)論：結(jié)論：3 L的定義的定義:iL dtdiLL 或或：自感電動(dòng)勢例例例例. 兩根平行輸電導(dǎo)線，中心距離為兩根平行輸電導(dǎo)線，中心距離為d，半徑為，半徑為a， 求：兩導(dǎo)線單

2、位長度上的分布電感（求：兩導(dǎo)線單位長度上的分布電感（da）。）。解：解： 如圖，設(shè)導(dǎo)線中有電流如圖，設(shè)導(dǎo)線中有電流I。單位長度上的磁通量：單位長度上的磁通量： sdB adaodrrI 2aadIo ln IL aado ln adoln ad dIIrdr adaodrrdI 2互感互感電動(dòng)勢例r12解：解：分析分析:,iiM2211122112rniMo 圓環(huán)中圓環(huán)中: 12 12 B B1 1 r2 = o on i1 r2 設(shè)螺線管通有設(shè)螺線管通有i1，則，則B1= 0 0ni1。dtdiMM 112iM 221iM dtdidtdiiiM221112221112 例例. 長直螺線管單

3、位長度上有長直螺線管單位長度上有n 匝線圈，另一半徑為匝線圈，另一半徑為r 的圓環(huán)放在螺線管內(nèi)的圓環(huán)放在螺線管內(nèi), 環(huán)平面與管軸垂直。求環(huán)平面與管軸垂直。求M？注：注：1o 原則上可對(duì)任一線圈產(chǎn)生磁場計(jì)算另一線圈的磁原則上可對(duì)任一線圈產(chǎn)生磁場計(jì)算另一線圈的磁 通量通量 M = /i。2o 互感在電工和無線電技術(shù)中應(yīng)用廣泛互感在電工和無線電技術(shù)中應(yīng)用廣泛 如如:變壓器，互感器變壓器，互感器互感往往也是有害的互感往往也是有害的但很多實(shí)際問題中但很多實(shí)際問題中M很難算出。很難算出。例解：解：設(shè)兩線圈中電流分別為設(shè)兩線圈中電流分別為I1、I2，當(dāng)它們隨時(shí)間變化時(shí)，當(dāng)它們隨時(shí)間變化時(shí)兩線圈中兩線圈中感應(yīng)

4、電動(dòng)勢分別為感應(yīng)電動(dòng)勢分別為兩線圈并聯(lián)，有兩線圈并聯(lián)，有i2i1i ，和，和III21 dtdIMdtdIL211i1 （1）dtdIMdtdIL122i2 （2）將（將（1）式兩邊乘）式兩邊乘L2：)dtdIM(MdtdILLdtdILMdtdILLL2i111222112i2 )MLdtdIM-dtdILL2i12112 （ 對(duì)（對(duì)（2）進(jìn)行同樣操作得）進(jìn)行同樣操作得)MLdtdIM-dtdILL1i22212 （ )MLdtdIM-dtdILL2i12112 （ )MLdtdIM-dtdILL1i22212 （ 兩式相加：兩式相加：i21212)M2LLdtdI)M-LL- （dtdIM

5、2LLM-LL21212i 由自感定義：由自感定義：M2LLM-LLdtdIL21212i 1）法拉第）法拉第+楞次楞次2）洛倫茲（非靜電力）積分求動(dòng)生）洛倫茲（非靜電力）積分求動(dòng)生3）感應(yīng)電場（非靜電力）積分求感生）感應(yīng)電場（非靜電力）積分求感生4）三部曲：）三部曲：a） 求磁通鏈求磁通鏈 b）求）求L或或Mc）求）求dI/dt求感應(yīng)電動(dòng)勢的幾種方法：求感應(yīng)電動(dòng)勢的幾種方法：試題（試題（2007.01.14， 大學(xué)物理（下）大學(xué)物理（下）在長直導(dǎo)線旁有一矩形共面線圈，當(dāng)矩形共面線圈通電流在長直導(dǎo)線旁有一矩形共面線圈，當(dāng)矩形共面線圈通電流i=I0sin t時(shí)，時(shí)， 求長直導(dǎo)線的感應(yīng)電動(dòng)勢的表達(dá)

6、式。并指求長直導(dǎo)線的感應(yīng)電動(dòng)勢的表達(dá)式。并指出出t=0時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢的方向。時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢的方向。iabc解：解：當(dāng)長直導(dǎo)線中有電流當(dāng)長直導(dǎo)線中有電流 I 時(shí)，該電時(shí)，該電流在矩形線圈中引起的磁通量為流在矩形線圈中引起的磁通量為abIccdrrIsdBbaln2200長直導(dǎo)線和矩形線圈之間的互感系數(shù)為長直導(dǎo)線和矩形線圈之間的互感系數(shù)為abcIMln20當(dāng)矩形共面線圈通電流當(dāng)矩形共面線圈通電流i=I0sin t時(shí)，時(shí)，長直導(dǎo)線的感應(yīng)電動(dòng)勢為：長直導(dǎo)線的感應(yīng)電動(dòng)勢為：tabcIdtdiMicosln200T=0時(shí)時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢方向向上感應(yīng)電動(dòng)勢方向向上試題（試題（2007.12.23， 大學(xué)物理（下）大

7、學(xué)物理（下）在長直導(dǎo)線旁有一共面的在長直導(dǎo)線旁有一共面的N匝直角三角形線圈，三角形兩匝直角三角形線圈，三角形兩直角邊邊長為直角邊邊長為a，如圖所示。當(dāng)三角形線圈通電流，如圖所示。當(dāng)三角形線圈通電流i=I0sin t時(shí)，時(shí)， 求長直導(dǎo)線的感應(yīng)電動(dòng)勢的表達(dá)式。求長直導(dǎo)線的感應(yīng)電動(dòng)勢的表達(dá)式。aaa解：該電流在線圈中引起的全磁通為：解：該電流在線圈中引起的全磁通為：)2ln1 (2)(2020aINdxaxxINSdBNaa4分分長直導(dǎo)線和長直導(dǎo)線和直角三角形線圈的互感系數(shù)為直角三角形線圈的互感系數(shù)為)2ln1 (20aNIM3分分長直導(dǎo)線長直導(dǎo)線的互感電動(dòng)勢為的互感電動(dòng)勢為taINdtdiMico

8、s)2ln1 (2003分分aaa一半徑為一半徑為R的大圓環(huán)與一半徑為的大圓環(huán)與一半徑為r的小圓環(huán)共面、同心且的小圓環(huán)共面、同心且Rr。如。如在小環(huán)中通以電流在小環(huán)中通以電流I=I0sint，求大環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢的大小。，求大環(huán)中感應(yīng)電動(dòng)勢的大小。試題（試題（2005.12， 大學(xué)物理（下）大學(xué)物理（下） 202rRIBSdSB RrIM220 tIRrdtdiM cos0202 試題（試題（2008.12， 大學(xué)物理（下）大學(xué)物理（下）OO60MNb1）求小圓柱空腔內(nèi)任一點(diǎn)）求小圓柱空腔內(nèi)任一點(diǎn)P的感的感應(yīng)電場的大小和方向應(yīng)電場的大小和方向2）求）求MN的感應(yīng)電動(dòng)勢的大小的感應(yīng)電動(dòng)勢的大小提示

9、：提示：一無限長圓柱，偏軸平行地挖出一小圓柱空間，兩圓柱的軸線之一無限長圓柱，偏軸平行地挖出一小圓柱空間，兩圓柱的軸線之間的距離為間的距離為OO=b， 如圖所示為垂直于軸線的截面。在兩圓柱如圖所示為垂直于軸線的截面。在兩圓柱面面的之間有圖示方向均勻磁場且隨時(shí)間增強(qiáng)。的之間有圖示方向均勻磁場且隨時(shí)間增強(qiáng)。 B=kt，在小圓柱空腔，在小圓柱空腔內(nèi)放置一長為內(nèi)放置一長為 l 的導(dǎo)體棒的導(dǎo)體棒MN，它與軸線垂直且與，它與軸線垂直且與OO連線的夾角連線的夾角為為60在空腔內(nèi)假設(shè)等強(qiáng)度反向磁場在空腔內(nèi)假設(shè)等強(qiáng)度反向磁場解：（解：（1）圓柱管軸線上）圓柱管軸線上B可視為實(shí)心導(dǎo)體柱與沿空心柱可視為實(shí)心導(dǎo)體柱與

10、沿空心柱的反向電流的疊加：的反向電流的疊加： eaIBBB20021 e與圓柱軸線垂直與圓柱軸線垂直)()(2222222rRIrrrRIrjI IaRr earRIrB2)(0222 例例. 半徑為半徑為R的無限長圓柱載流直導(dǎo)體管，管內(nèi)空心部分的無限長圓柱載流直導(dǎo)體管，管內(nèi)空心部分半徑為半徑為r, 兩軸間距為兩軸間距為a, 電流電流I沿軸線方向流動(dòng)，并且載面沿軸線方向流動(dòng)，并且載面上電流是均勻分布。求（上電流是均勻分布。求（1）圓柱載流直導(dǎo)體管軸線上）圓柱載流直導(dǎo)體管軸線上B=？（2）管內(nèi)空心部分軸線上）管內(nèi)空心部分軸線上B=？（3）求空腔內(nèi)）求空腔內(nèi)B：實(shí)心導(dǎo)體柱：實(shí)心導(dǎo)體柱：I（2）同理

11、，管內(nèi)空心部分軸線上）同理，管內(nèi)空心部分軸線上B：0eR2aIBBB2021 e2)rR(Iae2ajeR2aRj0220202 IaRrII”實(shí)心導(dǎo)體柱：實(shí)心導(dǎo)體柱：（3）求空腔內(nèi)）求空腔內(nèi)B：IdR1R2xyR1R2roproB1B2B)RR(Ij2221 無空腔柱內(nèi)磁場：無空腔柱內(nèi)磁場：)Rr(r2jrR2IB1oo0o21R011 令令I(lǐng)R1 是填充后大圓柱的電流是填充后大圓柱的電流令令I(lǐng)R2 是假想的小圓柱的反向電流是假想的小圓柱的反向電流)Rr(r2jrR2IB2oo0o22R022 oojj)Rr(r2jrR2IB1oo0o21R011 )Rr(r2jrR2IB2oo0o22R0

12、22 )rj2Bo01 （ )rj2Bo02（ y0 x0oo021ejd2eOOj2)rr(j2BBB xyR1R2roproB1B2Bdooy22210y0e)RR(dI2ejd2B j -j jjLR電路電路由一自感線圈由一自感線圈L，電阻，電阻R，與電源，與電源 組成電路。組成電路。求：電鍵求：電鍵K接接a上一段時(shí)間后，又接到上一段時(shí)間后，又接到b上，回路上，回路 里里 i 的變化。的變化。RLab Ka，i I，L上產(chǎn)生上產(chǎn)生 L ,反抗反抗 i 增加。增加。,dtdiLL 總總= + L。即：即： + L=iR積分可得：積分可得：LRtCeRi C為積分常數(shù)。為積分常數(shù)。由初始條件

13、：由初始條件：t=0, i=0, 則則C= /R。)1 (LRteRi iRdtdiL LiLRdtdiK L t ， t=L/R令令 = L/R，i 從從0 0.63I 所需時(shí)間。所需時(shí)間。L大，大， 大，大，i 增長慢，增長慢， L 阻力大，阻力大，電磁慣性大！電磁慣性大！L小，小， 小，小，i 增長快增長快 ， L 阻力小阻力小, 電磁慣性小！電磁慣性小！=0.63I)11 (eRi Ri =I時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)iRI I63. 0tRL11 RL22 )1 (LRteRi 討論討論iI 后，后，K b。（相當(dāng)于電路加了階躍電壓（相當(dāng)于電路加了階躍電壓 0）自感電動(dòng)勢將使電流維持一段時(shí)間。

14、自感電動(dòng)勢將使電流維持一段時(shí)間。dtdiLL 積分可得：積分可得：LRtCei 由初始條件：由初始條件：t =0，i = /R =I。 LRteRi 即：去掉電源時(shí)，電流仍按指數(shù)遞減，即：去掉電源時(shí)，電流仍按指數(shù)遞減， 遞減快慢仍由遞減快慢仍由 =L/R來表征。來表征。t= 時(shí)，時(shí)，i=0.37I 大，大，i 衰減慢。衰減慢。 小，小，i衰減快。衰減快。itRI I37. 0 小小 大大RLab K LiRL iRdtdiL 得：得：C= /R1 LR電路在階躍電壓的作用下，電流不能突變，電路在階躍電壓的作用下，電流不能突變， =L/R 標(biāo)志滯后時(shí)間。標(biāo)志滯后時(shí)間。L有平穩(wěn)電流作用。有平穩(wěn)電流

15、作用。2 自感在電工及無線電技術(shù)中應(yīng)用很廣泛，自感在電工及無線電技術(shù)中應(yīng)用很廣泛， 但在大自感電路里也是有害的但在大自感電路里也是有害的。結(jié)論：結(jié)論：iRI I63. 0tRL11 RL22 02）能量從何而來！能量從何而來！dtdL 導(dǎo)線移動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢導(dǎo)線移動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢 i i。而要維持。而要維持I I不不變，電源力必須克服變，電源力必須克服 L L作功，從而將外電源的能量轉(zhuǎn)變作功，從而將外電源的能量轉(zhuǎn)變?yōu)榇拍茉隽亢痛帕ψ鞴刹糠帧Ｒ韵伦鞒龆孔C明：為磁能增量和磁力作功兩部分。以下作出定量證明：dtdLIdtdiL 外電源克服外電源克服 L L作功，則作功，則 L L作負(fù)

16、功。作負(fù)功。 dqAL外外 IdtdtdLI LLdLI2 LLI 2 adadIlnln002ddI ln20.WA 磁磁力力ddIA ln220磁力磁力ddIW ln220 Li 0能量守恒能量守恒.ln0adL 23WmL解：設(shè)電纜通有電流解：設(shè)電纜通有電流I，則兩圓柱面間的磁場為：則兩圓柱面間的磁場為：rIBHrIB 2,2HdVBWm 2122IWLm abr 同軸電纜，兩圓柱面半徑分別為同軸電纜，兩圓柱面半徑分別為a、b，充滿，充滿 磁介質(zhì)磁介質(zhì) ，求單位長度，求單位長度Wm與與L。例例. rdrrIrI22221。abIln42 abIIln4222 abln2 221LIWm

17、22IWLm 完例例例題1用電磁感應(yīng)原理測長直螺線管用電磁感應(yīng)原理測長直螺線管 L1中的中的 BGKL1L2RBdN 匝匝長直螺線管剖面長直螺線管剖面K 接通正向電流，探測線圈接通正向電流，探測線圈 L 2 中磁通中磁通m= N B (d / 2 )2K 扳到接通反向電流扳到接通反向電流 , , L 2 中磁通變化中磁通變化m= 2 N B (d / 2 )2i = =mtt2 N B (d / 2 )2(1)用用“沖擊電流計(jì)沖擊電流計(jì)” G 可測得遷移電量可測得遷移電量 qqi =IR = Rt(2)(1)、(2) 聯(lián)立解得聯(lián)立解得B =N d 22 q R234abcd感應(yīng)電場是非保守場，

18、感應(yīng)電場力做功與路徑有關(guān)。感應(yīng)電場是非保守場，感應(yīng)電場力做功與路徑有關(guān)。5入射電子入射電子線線圈圈接電源接電源I？可取順時(shí)針流向，可取順時(shí)針流向，并處于增強(qiáng)狀態(tài)。并處于增強(qiáng)狀態(tài)。這時(shí)，這時(shí)，Ei感應(yīng)電場感應(yīng)電場 的方向能加速負(fù)電荷的方向能加速負(fù)電荷 。 是負(fù)電荷沿圖示的圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力方向。是負(fù)電荷沿圖示的圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力方向。 也正好也正好B洛洛F= ( -e )v 電子感應(yīng)加速器電子感應(yīng)加速器（用感應(yīng)電場加速電子）（用感應(yīng)電場加速電子）先思考一個(gè)問題先思考一個(gè)問題線圈中的線圈中的 I欲加速下圖的入射電子欲加速下圖的入射電子可取什么流向可取什么流向？要增強(qiáng)還是要減弱要增強(qiáng)還是要減弱？BF洛洛-eEiEiv增強(qiáng)，使增強(qiáng)，使6實(shí)際的電子感應(yīng)加速器，磁場實(shí)際的電子感應(yīng)加速器，磁場 B 是由是由交變電源勵(lì)磁的電磁鐵所產(chǎn)生的。下圖分析表明，交變電源勵(lì)磁的電磁鐵所產(chǎn)生的。下圖分析表明，若電子入射方向一定，在一個(gè)交變周期中，只有若電子入射方向一定，在一個(gè)交變周期中，只有四分之一周期能滿足所設(shè)計(jì)的電子加速運(yùn)動(dòng)軌道四分之一周期能滿足所設(shè)計(jì)的電子加速運(yùn)動(dòng)軌道的要求。的要求。BFEivBFEivBFEivBFEivtIB mO O第一個(gè)第一個(gè)4T其余的時(shí)間都不能滿足要求其余的時(shí)間都不能滿足要求 加速后的電子加速后的電子束，是以脈沖形束，是以脈沖形式輸出的。其速式輸出的。其速度可高于度可高于