1、- 20 -熱力學與統計物理·知識點第1章 熱力學的根本規律1. 熱力學的平衡狀態熱力學的研究對象是由大量微觀粒子組成的有限宏觀系統.與系統發生相互作用的其他物體稱為外界.按照系統與外界的相互作用狀態，可將系統分為以下三種：孤立系：與外界既不發生質量交換，也不發生能量交換的系統；閉系：可與外界發生能量交換，而不發生質量交換的系統；開系：可與外界發生能量、質量交換的系統.熱力學平衡態：當一個孤立系經過足夠長的時間，將會到達這樣一種狀態，在這種狀態下，系統的各種宏觀性質在長時間內部發生變化，稱之為熱力學平衡態.狀態參量：在熱力學平衡態下，系統的各種宏觀性質不再變化而擁有固定值，用這些固定

2、值就可以確定系統的宏觀狀態.一般情況下，描述一個系統的狀態參量有：熱學參量溫度、幾何參量體積、力學參量壓強和電磁參量、.2. 物態方程描述系統的狀態參量之間關系的方程稱為物態方程，以簡單的固液氣系統為例，其物態方程可表示為：另外，定義幾個與物態方程有關的物理量：等壓膨脹系數：；等容壓力系數：；等溫壓縮系數：.根據物態方程，可得關系式：;故可得三個系數之間的關系為：.氣體的物態方程理想氣體狀態方程：.實際氣體的范德瓦爾斯方程：，其中為壓強修正項，是體積修正項。簡單固體與液體的物態方程對于簡單固體和液體，可通過實驗測得體脹系數和等溫壓縮系數，它們的特點如下：固體和液體的膨脹系數是溫度的函數，與壓強

3、近似無關。和的數值都很小，在一定的溫度范圍內可以近似看成常量。由此可得，物態方程為：。順磁性固體將順磁性固體置于磁場中，順磁性固體會被磁化。磁化強度，磁場強度與溫度的關系：。實驗測得一些順磁性固體的磁物態方程為：；另一些順磁性固體的磁物態方程為：，其中，和是常量，其數值因不同的物質而異。3. 功氣體準靜態過程的體積功：。液體外表張力做功：，為單位長度的外表張力。電介質準靜態過程中電位移改變時外界所作的功為：。磁介質準靜態過程中磁感應強度改變時外界所作的功：。4. 熱力學第一定律假設系統經歷一個無窮小的過程，那么系統內能的增量與外界做功和外界傳熱的關系為：。熱力學第一定律說明，做功與熱量傳遞在改

4、變系統內能上是等效的。5. 熱容與焓熱容：一個系統溫度升高所吸收的熱量，即，熱容是一個廣延量，用表示物質的熱容，成為摩爾熱容。系統在等容過程的熱容用符號表示：。系統在等壓過程中的熱容用符號表示：；引入狀態函數焓：，那么有。6. 氣體的內能從微觀角度看，在沒有外場的情形下，氣體無規那么運動的能量包括分子的動能、分子之間相互作用的勢能以及分子內部運動的能量。根據焦耳的自由膨脹實驗，理想氣體的內能只是溫度的函數，與體積無關，即從微觀上看，理想氣體的內能只是分子的動能。于是可得：； ；。根據焓的定義：，可得，再設，得：，邁耶公式。7. 理想氣體的準靜態過程等溫過程：；等容過程：；等壓過程：；絕熱過程：

5、。 注： 系數可通過測定空氣中的聲速獲得。聲音在空間中傳播時，介質空間會發生周期性的壓縮與膨脹，自然導致壓強的變化。由于氣體的導熱系數很小，因此在聲音傳播過程中，熱量傳導很難發生，故可認為是絕熱過程，因此根據牛頓的聲速公式可得其中為氣體密度，為單位質量氣體的體積。8. 熱力學第二定律克勞修斯表述：不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其它變化。開爾文表述：不可能從單一熱源吸收熱量使之完全變成有用的功而不引起其它變化。熱力學第二定律的開爾文表述說明，第二類永動機不可能造成。所謂第二類永動機是指能夠從單一熱源吸熱，使之完全變成有用功而不引起其它影響的機器。9. 卡諾循環與卡諾定理卡諾循環：卡諾

6、循環過程以理想氣體為研究對象研究熱功轉化的效率問題，由兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成。在整個循環中，氣體從高溫熱源吸收熱量，對外做功，其效率為：?？ㄖZ定理：所有工作于兩個一定溫度之間的熱機，以可逆機的效率為最高。推論：所有工作于兩個一定溫度之間的可逆熱機的效率相等。根據卡諾定理，工作于兩個一定溫度之間的熱機的效率不可能大于可逆熱機的效率，即由此可得克勞修斯不等式：，等號只適用于可逆循環過程其中為熱機從高溫熱源吸收的熱量，也定義為熱機從低溫熱源吸收的熱量數值為負數。將克勞修斯不等式推廣到個熱源的情形，可得：，對于更普遍的循環過程，應將求和號換成積分號，即。10. 熵與熱力學根本方程根據克勞修斯不

7、等式，考慮系統從初態經可逆過程到達終態，又從狀態經另一可逆過程回到狀態。在上述循環過程中，有可見，在可逆循環過程中，與路徑無關，由此定義狀態函數熵，從狀態A到狀態B的熵變定義為：注：僅對可逆過程，才與路徑無關。對不可逆過程，B和A兩態的熵變仍沿從A態到B態的可逆過程的積分來定義。在這種情形下，可逆過程與不可逆過程所引起的系統狀態變化相同，但外界的變化是不同的。對前面熵變等式取微分：，表示無窮小的可逆過程中的熵變。根據熱力學第二定律，可得可逆過程中，結合熱力學第一定律可得熱力學的根本微分方程：假設系統與外界之間除了體積功，還有其他形式的功，可將上式表示為 熱力學第二定律的數學表示：，注：根據克勞

8、修斯不等式和熵的定義，可知在任意無窮小過程中，。熵增加原理：系統在絕熱條件下，熵永不減少，即等號只適用于可逆過程。11. 自由能與吉布斯函數約束在等溫條件下的系統，定義狀態函數：。根據熱力學第二定律可得，等溫條件下，說明在等溫條件下，系統自由能的增加量不大于外界對系統做的功。在等溫等容過程中可得：，即等溫等容條件下，系統的自由能永不增加，或者表述為在等溫等容條件下的不可逆過程朝著使系統自由能減少的方向進行。約束在等壓條件下的系統，定義狀態函數：。同理可得：等溫等壓條件下，即等溫等壓條件下，系統的吉布斯函數永不增加，或者表述為等溫等壓條件下的不可逆過程朝著使系統吉布斯函數減少的方向進行。第2章

9、均勻物質的熱力學性質1. 內能、焓、自由能和吉布斯函數的全微分熱力學根本方程即為內能的全微分形式：，根據偏導數關系可得：；內能確實定：。注：熵確實定：。焓的全微分形式為：，同理可得：；焓確實定：。注：熵確實定：。自由能的全微分形式為：，同理可得：。吉布斯函數的全微分形式為：，同理可得：。其中，式稱為麥克斯韋關系。2. 氣體的節流過程和絕熱膨脹過程氣體從高壓處通過多孔塞不斷地流到低壓處，并到達定常狀態，這個過程叫做節流過程。在節流過程中，多孔塞兩邊的溫度發生了明顯變化，這個效應稱為焦耳-湯姆孫效應。經分析得，在節流過程中，氣體的焓值不斷，定義表示焓不變條件下，溫度隨壓強的變化率，那么根據可得：上

10、式給出了焦湯系數與物態方程和熱容的關系。對理想氣體，故，說明理想氣體在節流過程前后溫度不變；對實際氣體，假設，那么氣體在節流過程前后溫度降低，稱為制冷區；假設，那么氣體在節流過程前后溫度升高，稱為制溫區。利用節流過程的降溫作用可使氣體降溫液化節流膨脹制冷效應。氣體的絕熱膨脹過程，熵保持不變，那么定義表示絕熱過程中溫度隨壓強的變化率，同上可得，上式說明，在絕熱條件下，隨著氣體體積膨脹和壓強降低，氣體的溫度必然下降。氣體的絕熱膨脹過程可用來使氣體降溫并液化絕熱膨脹制冷效應。3. 熱輻射的熱力學理論受熱的固體會輻射電磁波，稱為熱輻射。一般情形下，熱輻射的強度和強度隨頻率的分布于輻射體的溫度和性質都有

11、關。當輻射體對電磁波的吸收和輻射到達平衡，熱輻射的特性將只取決于溫度，與輻射體的其他特性無關，稱為平衡輻射?？紤]一個封閉的空窖，窖壁保持一定的溫度。窖壁將不斷向空窖發射并吸收電磁波，當窖內輻射場與窖壁到達平衡后，二者具有相同的溫度，顯然空窖內的輻射就是平衡輻射。窖內的平衡輻射包含各種頻率和沿著各個方向的電磁波，這些電磁波的振幅和相位是無規的。窖內平衡輻射是空間均勻和各項同性的，它的內能密度和內能密度按頻率的分布只取決于溫度。電磁理論中，關于輻射壓強與輻射能量密度的關系為：；由此根據熱力學公式可得窖內平衡輻射的熱力學函數為：.根據熱力學根本方程，可得空窖輻射的熵為：，由上式可知，可逆絕熱過程中輻

12、射場的熵不變，此時有.假設在窖壁上開一小孔，定義單位時間通過小孔的單位面積輻射出的能量，稱為輻射能量密度.描述輻射能量密度與輻射內能密度的關系稱為斯特藩玻爾茲曼定律，即，其中稱為斯特藩常量.基爾霍夫定律：，其中，稱為物體對頻率在附近的電磁波的面輻射強度；為物體對頻率在附近的輻射能量的吸收系數.注：吸收系數為1的物體稱為絕對黑體，此時有.4. 磁介質的熱力學磁介質中磁場強度和磁化強度發生改變時，外界所做的功為：，當熱力學系統只包括介質而不包括磁場時，功的表達式只取第二項，即，其中，是介質的總磁矩.忽略磁介質的體積變化，可得熱力學根本方程為，類比于理想氣體，即，.絕熱去磁制冷：根據吉布斯函數，可得

13、：，上式說明，在絕熱條件下減小磁場，磁介質的溫度降低，稱為絕熱去磁制冷效應.第3章 單元系的相變1. 熱動平衡判據孤立系統的熵判據：或熵增加原理；等溫等容系統的自由能判據：或等溫等容系統自由能永不增加；等溫等壓系統的吉布斯函數判據：或等溫等壓系統的吉布斯函數永不增加.均勻系統的熱動平衡條件：，即整個系統的溫度和壓強均勻.平衡的穩定性條件：，注：考慮系統與子系統簡的變化，假設子系統的溫度由于漲落或外界影響而升高，那么子系統通過向系統其他局部傳熱使溫度降低；同樣，假設子系統的體積增大，那么子系統與系統其他局部的壓強差會使子系統的體積減小，從而使系統的平衡處于穩定.2. 開系的熱力學根本方程單元系是

14、指化學上純的物質系統，只含有一種化學組分.如果系統不是均勻的，可以分為假設干個均勻的局部，該系統稱為復相系.例如，冰、水和水蒸氣共存構成一個單元三相系.物質的量發生變化的系統，其吉布斯函數的全微分可表示為：，其中右方第三項代表由于物質的量改變引起的吉布斯函數的變化.定義，表示在溫度、壓強不變的條件下，增加物質時引起的吉布斯函數的改變，成為化學勢.由于吉布斯函數是廣延量，可得化學式與摩爾吉布斯函數的關系為：；對單位物質的量系統的吉布斯函數可以寫為：.物質的量發生變化的系統的其他特性函數：關于的特性函數為內能，其全微分形式為：；關于的特性函數為焓，其全微分形式為：；關于的特性函數是自由能，其全微分

15、形式為：；關于的特性函數是巨熱力勢，其全微分形式為：.3. 單元復相系的平衡熱力學條件考慮一個單元兩相系，這個單元兩相系構成一個孤立系統.用和分別表示這兩個相，用和分別表示兩個相的內能，體積和物質的量.孤立系的總內能，總體積和總物質的量是恒定的，即設想系統發生一個虛變動，引起兩相的熵變為：，假設復相系處于平衡條件下，那么熵為極大值，即.由此可得復相系的平衡熱力學條件為：熱平衡條件力學平衡條件相變平衡條件假設復相系平衡條件未能滿足，那么系統朝著熵增大的方向轉變，即.4. 單元復相系的平衡性質第6章 近獨立粒子的最概然分布1. 粒子運動狀態的經典描述設粒子的自由度為，那么粒子的運動狀態可用廣義坐標

16、和廣義動量來描述，粒子的能量是廣義坐標和廣義動量的函數，即.為了描述粒子的運動狀態，用這變量構成一個維的空間，稱為空間，粒子在某一時刻的運動狀態就表示為空間中的一個點.自由粒子自由粒子不受力的作用而在三維空間中做自由運動，自由度為3，它的能量就是它的動能，即.線性諧振子粒子在線性回復力的作用下做簡諧運動，振動的圓頻率為.對自由度為1的線性諧振子，任意時刻的能量與粒子的位置和動量有關，即.轉子粒子繞原點做轉動，它的能量就是它的動能，可用球坐標表示，即.假設考慮到粒子到原點的距離不變，那么能量表示為：；引入與共軛的動量：，可將轉子的能量寫為：其中，是轉子相對于原點的轉動慣量.2. 粒子運動的量子描

17、述量子力學的觀點中，微觀粒子滿足波粒二象性，有；波粒二象性的粒子滿足不確定關系，即不能同時具有確定的坐標與動量，分別用和表示坐標和動量的不確定度，那么有.在量子力學中，微觀粒子的運動狀態稱為量子態，量子態由一組量子數表征，這組量子數的數目等于粒子的自由度數.線性諧振子圓頻率為的線性諧振子，能量的可能值為：，；線性諧振子的自由度為1，是表征諧振子運動狀態和能量的量子數.轉子量子理論中，轉子的能量為：量子理論中，轉子的角動量是分立的，對一定的，角動量在本征方向的投影只能取分立值：，轉子的運動狀態由兩個量子數表征，能量只取決于量子數，因此轉子的自由度為.自旋角動量根本粒子具有內稟的角動量，稱為自旋角

18、動量，其平方的數值等于，其中稱為自旋量子數，可以是整數或半整數.自旋角動量的狀態由自旋角動量的大小自旋量子數及自旋角動量在本征方向的投影確定，其中投影的大小表示為：，因此，自旋角動量的自由度為.電子的自旋角動量和自旋磁矩電子的自旋磁矩與自旋角動量之比為：；電子在外磁場中的能量為：.自由粒子根據“箱歸一化條件，設自由粒子處于邊長為的正方體容器中，那么自由粒子的三個動量分量的可能值為：；其中，為表征自由粒子運動狀態的量子數.自由粒子能量的可能值為：，自由粒子的運動狀態由量子數表征，能量只取決于.假設粒子處于宏觀大小的容器中運動，這時要考慮在體積內，在動量區間，和內的自由粒子量子態數：，再根據，可得

19、處于能量區間中的粒子狀態數為：.3. 系統微觀運動狀態的描述系統的微觀運動狀態就是它的力學運動狀態.全同粒子組成的系統就是由具有完全相同內稟屬性相同的質量、電荷、自旋等的同類粒子組成的系統；近獨立粒子組成的系統是指系統中粒子之間相互作用很弱，系統的總能量等于各個粒子的能量之和，即.系統微觀運動狀態的經典描述設粒子的自由度為.第個粒子的力學運動狀態由這個變量表示，考慮由個粒子組成的系統，那么系統微觀運動狀態確實定需要個變量，即.單個粒子的運動狀態可用空間中的一個點表示，那么對于整個系統在某一時刻的運動狀態可用空間中點表示.如果交換兩個代表點在空間中的位置，相應的系統的運動狀態是不同的.系統微觀運

20、動狀態的量子描述微觀粒子的全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多個全同粒子的系統中，將任何兩個全同粒子加以交換都不改變整個系統的微觀運動狀態.假設全同粒子可以分辨，確定由全同近獨立粒子組成的系統的微觀運動狀態歸結為確定每個粒子的個體量子態；假設全同粒子不可分辨，那么歸結為確定每個量子態上的粒子數.自然界中的粒子分為兩類：玻色子和費米子，其中自旋量子數是半整數的屬于費米子，自旋量子數是整數的屬于玻色子.a. 由費米子組成的系統稱為費米系統，遵從泡利不相容原理，即在含有多個全同近獨立費米子的系統中，一個個體量子態最多可容納一個費米子；b. 由玻色子組成的系統稱為玻色系統，粒子是不可分辨的，每個

21、個體量子態可容納的玻色子個數沒有限制.4. 分布與微觀狀態數以表示粒子的能級，表示能級的簡并度，個粒子在各能級的分布如下：能級： 簡并度：經典粒子表示為： 粒子數：以符號表示系統的一個分布，它給出了系統中每個能級上的粒子數，為了確定系統的微觀運動狀態，還要清楚個粒子如何占據能級的各個簡并態的.對于具有確定的的系統，分布滿足約束條件：，對于玻爾茲曼系統，粒子是可分辨的,且每個量子態上可容納的粒子數沒有限制，因此可以得到與分布相應的系統的微觀狀態數為：,其中最概然分布為：,其中由約束條件確定.對于玻色系統，粒子是不可分辨的，每個量子態上可容納的粒子數沒有限制，因此可得與分布相應的系統微觀狀態數為：

22、,其中最概然分布為：.對于費米系統，粒子不可分辨，每個量子態上只能容納一個粒子，因此可得與分布相應的微觀運動狀態數為：,其中最概然分布為：.注：對于三種系統的最概然分布，假設滿足條件，那么玻色分布和費米分布近似于玻爾茲曼分布，這個條件稱為經典極限條件或非簡并性條件.考慮個體量子態問題或者平均粒子數問題，設處在能量的量子態上的粒子數為，那么各種系統的最概然分布可表示為：玻爾茲曼系統： 玻色系統：； 費米系統：.第7章 玻爾茲曼統計1.熱力學量的統計表達式定域系統和滿足經典極限條件的玻色系統和費米系統都滿足玻爾茲曼分布.定義配分函數：或積分形式那么系統的熱力學量的統計表達式如下：內能：由玻爾茲曼分

23、布的內能表達式，可得：.外界對系統的廣義作用力為：玻爾茲曼關系：.熵的統計表達式：.2. 理想氣體的狀態方程利用統計力學求解熱力學問題，首先要找到配分函數.理想氣體的配分函數為：然后，再利用熱力學量的統計表達式，得到相關熱力學量：3. 麥克斯韋分布律 根據玻爾茲曼分布，可以推導出麥克斯韋分布律氣體分子的速度分布律.以理想氣體為研究對象，氣體分子為自由粒子.在體積為的容器中，分布在動量區間內的微觀狀態數為：；那么分布在內的分子數為：而氣體分子的總數為：因此可得，動量在范圍內的分子數為：以表示單位體積內的分子數，那么在單位體積內，速度在內的分子數為：，上式便是麥克斯韋速度分布律,其中滿足：.利用速

24、度空間的球坐標轉化，可得速率分布律：，分析速率分布律，可得以下特征數：最概然速率：；平均速率：；方均根速率：.計算單位時間內碰到單位面積器壁上的分子數，稱為碰壁數.以表示在時間內碰到面積上，速度在范圍內的分子數.這分子數就是位于以為底、以為軸線、以為高的柱體內，速度在范圍內的分子數.所以有：故可得單位時間內碰到單位面積上的分子數為：，也可以表示為：4. 能均分定理能均分定理：對于處在溫度的平衡狀態的經典系統，粒子能量中每一個平方項的平均值等于.單原子分子只有平動，其能量為，根據能均分定理，溫度時，單原子分子的平均能量為：.故單原子分子的內能為：；定容熱容：；定壓熱容：.雙原子分子的能量為：如果

25、不考慮相對運動，式中有5個平方項，根據能均分定理，雙原子分子的平均能量為：，雙原子分子的內能、等容熱容和等壓熱容分別為：固體中的院子可以在平衡位置附近做微振動，假設各原子的振動是簡諧運動，每個原子的能量為：只有兩個平方項，而由于每個原子有三個自由度，根據能均分定理，每個原子的平均能量為：，能均分定理得到的固體熱容理論，在高溫和室溫時與實驗符合得很好，但在低溫時，難以解釋固體熱容隨溫度迅速降低，當溫度為絕對零度時，熱容也變為零.那么固體的內能、等容熱容分別為：固體熱容之間的關系為：平衡輻射問題考慮一個封閉的空窖，窖壁原子不斷地向空窖發射并從窖壁吸收電磁波.經過一定的時間，空窖內的電磁輻射與窖壁到

26、達平衡，稱為平衡輻射，二者具有共同的溫度.空窖的輻射場可以分解為無窮多個單色平面波的疊加，如果采用周期性邊界條件，單色平面波的電場分量可以表示為：其中是圓頻率，是波矢.的三個分量的可能值為：.具有一定波矢和一定偏振的單色平面波可以看做輻射場的一個自由度，它以圓頻率隨時間做簡諧變化，因此相當于一個振動自由度.在體積內，在的圓頻率范圍內，輻射場的振動自由度數為：.根據能均分定理，每一個振動自由度的平均能量為.所以在體積內，在范圍內平衡輻射的內能為：此式稱為瑞利-金斯公式.5. 理想氣體的內能與熱容經典統計的能均分定理得到的關于理想氣體內能和熱容的結論與實驗結果大體相同，但有幾個問題沒有得到合理的解

27、釋：原子內的電子對氣體的熱容為什么沒有奉獻；雙原子分子的振動在常溫范圍內為什么對熱容沒有奉獻；低溫下氫的熱容所得結果與實驗結果不符.本節以雙原子分子為例，講述理想氣體內能和熱容的量子統計理論.暫不考慮原子中電子的運動，在一定近似下雙原子分子的能量可以表示為平動能、振動能和轉動能之和：，以、和分別表示平動能、振動能和轉動能的簡并度，那么配分函數可表示為：考慮平動對內能和熱容的奉獻：，因此，.考慮振動對內能和熱容的奉獻：，利用等比數列公式，因此，引入振動特征溫度，可得，常溫下，因此內能與熱容在常溫下可表示為：，引入特征溫度，令因此，因此，可得常溫下，振動自由度對熱容的奉獻接近于零.其原因，可以理解

28、為，常溫范圍內，雙原子分子的振動能級間距遠大于，因此振子吸收能量躍遷到激發態的概率極小，導致幾乎所有振子全部凍結在基態.當溫度升高時，它們幾乎不吸收能量.考慮轉動對內能和熱容的奉獻：，因此內能和熱容可表示為：這正是能均分定理的結果.這是易于理解的，在常溫范圍內，轉動能級間距遠小于，因此變量可以看成準連續變量.在這種情形下，量子統計和經典統計得到的轉動熱容相同.6. 固體熱容的愛因斯坦理論經典統計的能均分定理難以解釋固體在低溫時的熱容變化問題，愛因斯坦首先用量子理論分析固體熱容問題，成功地解釋了固體熱容隨溫度下降的實驗事實.固體中原子的熱運動可看成振子的振動，愛因斯坦假設這個振子的頻率相同.振子

29、的能級為：，固體中每一個振子都定域在其平衡位置振動，振子是可分辨的，遵從玻爾茲曼分布.配分函數為：因此，固體的內能和熱容可表示為：引入振動特征溫度，那么固體熱容可表示為：根據上式，可看出固體的熱容隨溫度降低而減小，且作為的函數是一個普適函數.討論上式在高溫和低溫范圍的極限結果.當時，可得，結果與能均分定理結果一致.當時，可得當溫度趨于絕對零度時，固體的熱容也趨于零，結果很好的符合了實驗事實.第8章 玻色統計和費米統計1. 熱力學的統計表達式n為數密度，為德布羅意波長.第7章 根據玻爾茲曼分布討論了定域系統和滿足經典極限條件非簡并條件的近獨立粒子系統的平衡性質.非簡并條件可表示為：或.對于滿足上

30、述條件的氣體稱為非簡并氣體，對于非簡并氣體，均可用玻爾茲曼分布處理.對于不滿足上述條件的氣體稱為簡并氣體，需要用玻色分布或費米分布處理.玻色系統引入巨配分函數，其定義為：，取對數得，.內能的統計表達式為：；系統的平均粒子數為：；外界對系統的廣義作用力為：；熵的統計表達式為：.費米系統對于費米系統，只要將配分函數改為：，前面的熱力學量的統計表達式完全適用.2. 弱簡并理想玻色氣體和費米氣體本節討論弱簡并即氣體的或很小但不可忽略的情形.為簡單起見，不考慮分子的內部結構，因此只有平動自由度，分子的能量為：.在體積內，在能量范圍內可能的微觀狀態數為：,其中是由于粒子可能有自旋而引入的簡并度.系統的分子

31、數滿足：；系統的總動能滿足：；引入，經過計算可得，其中，第一項為哪一項根據玻爾茲曼分布得到的內能，第二項是由微觀粒子全同性原理引起的量子統計關聯所導致的附加內能.又可得，費米氣體的附加內能為正，玻色系統的附加內能為負，可以理解為量子統計關聯使費米粒子間出現等效的排斥作用，玻色粒子間出現等效的吸引作用.3. 玻色-愛因斯坦凝聚弱簡并理想玻色費米氣體性質的討論，讓我們看到了全同性帶來的量子統計關聯對宏觀性質的影響.當理想玻色氣體的時，將會出現獨特的玻色-愛因斯坦凝聚現象.考慮由個全同、近獨立的玻色子組成的系統.假設粒子的自旋為零，根據玻色分布，處在能級的粒子數為：，顯然處在任一能級的粒子數都不能為

32、負值，這要求所有能級必須滿足.以表示粒子的最低能級，那么上述要求可是表示為：即，理想玻色氣體的化學勢必須低于粒子最低能級的能量.如果取最低能級的能量為零即，那么上式也可表示為：.化學勢由公式確定，為溫度和粒子數密度的函數.由上式可知，在粒子數密度給定的情形下，溫度越低，化學勢必然越高.將求和用積分代替，可得.化學勢隨著溫度降低而升高，當溫度降低到某一臨界溫度時，將趨于.臨界溫度由下式確定：，可解得，臨界溫度為：，上述關于臨界溫度確定的式子僅在臨界溫度時適用，當時，應用下式代替：其中，第一項為溫度時，處在能級上的數密度，第二項是處在激發態的數密度.計算可得：，在絕對零度時，粒子將盡可能地占據能量最低的狀態，對于玻色系統，一個量子態可容納的粒子數目不受限制，因此絕對零度下玻色子將全部處在的最低能級.在時，就有宏觀量級的粒子在能級凝聚，這一現象稱為玻色-愛因斯坦凝聚.理想玻色氣體出現凝聚現象的條件是：4. 光子氣體在前面，已經通過熱力學理論論證了，平衡輻射的內能密度和內能密度的頻率分布只是溫度的函數，并證明內能密度與絕對溫度的四次方成正比.在經典統計中國，利用能均分定理所