1、第3章 拉普拉斯變換信號與系統第3章 拉普拉斯變換第3章 拉普拉斯變換信號與系統3.1 引言連續、線性、非時變系統的強有力工具從數學角度看， 是求解常系數線性微分方程的工具。其主要優點表現在：（1）同時可以給出微分方程的特解和齊次解；（2）將時域的微積分運算轉換為復頻域的代數運算；（3）某些不滿足狄利赫萊條件的函數，不能進行傅里 葉變換，但可以進行拉氏變換；（4）將時域中卷積運算轉換為變換域中的乘法運算。第3章 拉普拉斯變換信號與系統3.2 拉普拉斯變換引入思想( )F( )j tf t edt( )f t 1( )2j tFed有些函數不滿足絕對可積條件，是因為 減幅太慢。( )f tte

2、用衰減因子 去乘 。( )f t 則應取不同的衰減因子。 如果一個衰減因子不能使得 和 時都能衰減，t t 為了滿足絕對可積條件，滿足狄利赫萊條件第3章 拉普拉斯變換信號與系統拉氏變換定義對函數 進行傅里葉變換，( )tef t以 表示，有：1( )F1( )F( )tj tef t edt()( )jtf t edt令 ，sj以 代替 ，則有： ( )F s1( )F( )F s ( )stf t edt對 即 求傅里葉反變換,有:( )F s1( )F第3章 拉普拉斯變換信號與系統( )tef t11( )2j tFed( )f t ()1( )2jtF s edsj( )f t 1( )

3、2jstjF s e dsj ( )F s ( )stf t edt雙邊拉氏變換記為：( ) ( )bF sLf t1( ) ( )bf tLF s1ddsjjj 第3章 拉普拉斯變換信號與系統在工程實際中，信號大都是有始函數， 時，函數值為零。0t 單邊拉氏變換記為：( ) ( )F sL f t1( ) ( )f tLF s( )F s 0( )stf t edt( )f t 1( )2jstjF s e dsj ( )u t第3章 拉普拉斯變換信號與系統拉氏變換的物理意義復指數分量之和， 拉氏變換的物理意義則是把 分解為 ( )f t傅里葉變換的物理意義是把 分解為許多形式為 的 ( )

4、f tj te許多形式為 的指數分量之和。 ste拉氏變換與傅里葉變換的關系sj0當 時， 拉氏變換傅里葉變換拉氏變換是傅里葉變換的推廣， 傅里葉變換是拉氏變換的特例。第3章 拉普拉斯變換信號與系統3.3 拉普拉斯變換的收斂域limt( )tf t e00例如： 單位階躍信號lim ( )0ttu t e指數信號telimttte e()limtte 00收斂域收斂域概念:使f(t)e-t滿足絕對可積條件的值的范圍成為拉普拉斯變換的收斂域。第3章 拉普拉斯變換信號與系統拉氏變換的收斂域（1）雙邊拉氏變換的收斂域0t 10t 2收斂域收斂域雙邊拉氏變換收斂域存在的條件是：21（2）單邊拉氏變換的

5、收斂域單邊拉氏變換收斂域必定存在，不再說明是否收斂的問題。第3章 拉普拉斯變換信號與系統3.4 常用函數的拉普拉斯變換1.單位階躍函數( )u t ( )L u t0( )stu t edt0stedt01stes1s1( )u ts2.指數函數tetL e0tste edt()0stedt()01stes1s1tes第3章 拉普拉斯變換信號與系統(ntn為正整數） nL t0nstt edt3.冪函數0nsttes10st nnetdts即 nL t依此類推，有：1 nnnL tL ts21nn nL tss1n nss2 1s s1s1!nns1!nnnts1nnL ts第3章 拉普拉斯變

6、換信號與系統sint1sin()2j tj tteej4.正弦函數sinLt1()2j tj tLeej1112j sjsj22s22sints同理可得：22cossts即第3章 拉普拉斯變換信號與系統sintet1()2tj tj teeejsintet5.衰減正弦函數()()1()2jtjteejsintL et()()1()2jtjtLeej1112 j sjsj22()s即22sin()tets同理可得：22cos()tsets第3章 拉普拉斯變換信號與系統sh t1()2ttee22sh tssh t6.雙曲正弦函數22sch ts7.單位沖激函數( ) t ( )Lt0( )stt

7、 edt1( )1t00()sttte 第3章 拉普拉斯變換信號與系統練習：（1）23 ( )5( )tteu t3cos5 ( )tetu t（2）32(cos 4 ) ( )tt u t（3）解：23 ( )5( )tLteu t352s3cos5 ( )tL etu t23(3)25ss32cos 2 ( )L tt u t31 cos42tL t46s121(s2)16ss （1）（2）（3）第3章 拉普拉斯變換信號與系統本章作業 常用函數拉氏變換推導 3-1第3章 拉普拉斯變換信號與系統3.5 拉普拉斯反變換一.部分分式展開法設( )F s ( )( )N sD s11101110m

8、mmmnnnb sbsbsbsasa sa上式中：,iia b均為實數；,m n為正整數且，反變換的條件是 為真分式，( )F s即mn如果mn，則 要先化為真分式。( )F s例如：322421( )32ssF sss2222141032ssss10 ( ) t4( ) t真分式第3章 拉普拉斯變換信號與系統1. 的根為實根且無重根( )0D s 將上式展開為 個部分分式之和：n( )F s 1212nnKKKsPsPsP1niiiKsP系數iK () ( )iis PsP F s( )f t 1( )inPtiiK eu t( )( )( )N sF sD s12( )()()()nN s

9、sPsPsP也是 的極點。 ( )F s( )0D s 的根 稱為特征根，iP第3章 拉普拉斯變換信號與系統例：25( )32sF sss( )f t已知 ，求 。解：25( )32sF sss5(1)(2)sss1212KKss1K 15(1)(1)(2)sssss15(2)sss42K 25(1)sss3 ( )F s 41s32s( )f t 243( )tteeu t第3章 拉普拉斯變換信號與系統練習：25( )21012sF sss( )f t已知 ，求 。解：25( )21012sF sss152 (2)(3)sss1232s23s( )f t 122332( )tteeu t練習

10、：22235( )712ssF sss( )f t已知 ，求 。解：22235( )712ssF sss11192(3)(4)sss2143s254s( )f t 2 ( ) t34(1425) ( )tteeu t第3章 拉普拉斯變換信號與系統可按實根的方法處理， 也可采用配方法。例如：22( )25sF sss1,212pj 特征根22cos()tsets22sin()tets22(1)4ss2. 的根含有共軛復根( )0D s 22( )25sF sss2122 (1)4scos2tet( )f t 1sin2( )2tet u t21(1)4ss第3章 拉普拉斯變換信號與系統例：25(

11、 )(1)(25)sF ssss( )f t已知 ，求 。解：25( )(1)(25)sF ssss11s225AsBss225(1)()sssAsB5s令等號兩端同次項系數相等，即可解出 和AB1 ,0AB ( )F s 21125ssss11s21(1)4ss21(1)4s( )f t tecos2tet1sin2( )2tet u t第3章 拉普拉斯變換信號與系統3. 的根含有重根( )0D s ( )F s 11()rrKsP( )0D s 1P設 有 次重根r1(1)11111()rrKKsPsP11nrrnKKsPsP1,rnKK的求法與單根相同1iK 111()( )()!r i

12、rr is PdsPF srids( )f t 11(1)12111(1)!(2)!rPtrrrKKttKerr1( )inPtii rK eu t 第3章 拉普拉斯變換信號與系統例：解：( )F s 121KKss322(2)Ks312Ks23( )(1)(2)sF ss ss( )f t已知 ，求 。1K 2K 34232K22(2)( )ssF s1231K22(2)( )sdsF sds23(1)sdsds s s222(1)(3)(21)(1)ss sssss54( )F s 3 4s21s21 2(2)s5 42s( )f t 23152()( )424tteteu t第3章 拉普

13、拉斯變換信號與系統3.6 拉普拉斯的基本性質一.線性若11( )( )f tF s22( )( )f tF s則1 1221122( )( )( )( )f tf tF sF s二.時間平移（延時）( )( )f tF s若則000() ()( )stf tt u ttF s e第3章 拉普拉斯變換信號與系統例：( )(2)f ttu t( )F s已知 ，求 。解：( )(2)f ttu t(2) (2)tu t2 (2)u t221ses212ses 2212sses( )F s 三.S域平移( )( )f tF s若則0( )s tf t e0()F ss第3章 拉普拉斯變換信號與系統例

14、：解：例如：22cos()tsets22cossts33( )(5)F ss已知 ，求 。( )f t( )f t 253( )2tt eu t例：(2)( )(4)tf tteu t已知 ，求 。( )F s解：( )f t (4)2(4)(4)ttee u t(4)24(4)tee u t( )F s 2421(1)sees24141sees(42)245(1)ssesS域平移第3章 拉普拉斯變換信號與系統四.尺度變換1()()sftF0( )( )f tF s若則例：解：設 ，求 的拉氏變換。 ( )( )L f tF sttef利用s域平移和尺度變換性質，有：ttL ef1( ()Fs

15、(1)Fs第3章 拉普拉斯變換信號與系統習題：112頁 3-5 2( )(32)f ttut解：( )(32)f ttut1(32) (32)3tut2(32)3ut利用尺度變換和時移性質，有：( )F s 2321 113 3 (3)ses232 1 13 33ses2321ses232 13ses第3章 拉普拉斯變換信號與系統五. 時域微分( )( )f tF s若則( )( )(0 )df tsF sfdt( )nnd f tdt( )( )nnnd f ts F sdt如果初始條件為零，則( )( )df tsF sdt( )ns F s1(0 )nsf2(0 )nsf(1)(0 )n

16、f第3章 拉普拉斯變換信號與系統例如：322421( )32ssF sss2222141032ssss10 ( ) t4( ) t時域微分拉氏變換法求解微分方程時，用到時域微分性質。第3章 拉普拉斯變換信號與系統六.時域積分( )( )f tF s若則0( )( )tF sfds( )tfd0( )fd如果( )tfd則0( )( )fdF sss0( )tfd第3章 拉普拉斯變換信號與系統七. s域微分( )( )f tF s若則( )()( )nnnd F stf tds ( )() ( )dF st f tds 八. s域積分( )( )f tF s若則11( )( )sf tF s d

17、st第3章 拉普拉斯變換信號與系統習題：解：112頁 3-2 61( )(1) ( )tf teu tt1tLe11ss利用S域積分性質，有：( )F s 11111sdsss11lnssslnss lnss11( )( )sf tF s dst第3章 拉普拉斯變換信號與系統習題：112頁 3-2 9( )sin( )tf ttetu t解：sin tL et21(1)1s利用S域微分性質，有：( )() ( )dF st f tds ( )F s 21(1)1ddss222(1)(1)1ss 222(1)(1)1ss第3章 拉普拉斯變換信號與系統九. 初值定理0(0 )lim( )tff t

18、lim( )ssF s設 及 存在并有拉氏變換，則 的初值為：( )f t( )f t( )f t十. 終值定理若 及 有拉氏變換，( )f t( )f t且 的所有極點都位于 ( )sF ss平面的左半平面（原點處可有單極點），則 的終值為：( )f t( )lim( )tff t 0lim( )ssF s第3章 拉普拉斯變換信號與系統穩定條件所有極點位于左半 平面s6( )(2)(5)sF sss習題：解：113頁 3-9 1(0)flim( )ssF s6lim(2)(5)sssss1初值終值( )f 0lim( )ssF s06lim(2)(5)sssss0第3章 拉普拉斯變換信號與系統十一.卷積定理若11( )( )f tF s22( )( )f tF s則1212( )( )( )( )f tf tF s F s1.時域卷積定理2.頻域卷積定理若11( )( )f tF s22( )( )f tF s則12121( )( )( )( )2f t f tF sF sj第3章 拉普拉斯變換信號與系統習題：解：113頁 3-7 172( )4 (1)seF ss s121(1)Ls s1211sLss1 cos ( )t u t1( ) ( )f tLF s1