1、溫度和氣體動理論溫度和氣體動理論 常見的一些現(xiàn)象：1、一壺水開了，水變成了水、一壺水開了，水變成了水蒸氣。蒸氣。2、溫度降到、溫度降到0以下，液體的水變成了固體的冰塊。以下，液體的水變成了固體的冰塊。3、氣體被壓縮，產(chǎn)生壓強。、氣體被壓縮，產(chǎn)生壓強。4、物體被加熱，物體的溫度升高。、物體被加熱，物體的溫度升高。熱現(xiàn)象熱現(xiàn)象 熱現(xiàn)象是物質(zhì)中大量分子無規(guī)則運動的集體表現(xiàn)。熱現(xiàn)象是物質(zhì)中大量分子無規(guī)則運動的集體表現(xiàn)。熱學是研究與熱現(xiàn)象有關的規(guī)律的科學。熱學是研究與熱現(xiàn)象有關的規(guī)律的科學。大量分子的無規(guī)則運動稱為熱運動。大量分子的無規(guī)則運動稱為熱運動。宏觀法與微觀法相輔相成宏觀法與微觀法相輔相成1.1

2、.宏觀法宏觀法. . 最基本的實驗規(guī)律最基本的實驗規(guī)律邏輯推理邏輯推理( (運用數(shù)學運用數(shù)學) ) - -稱為熱力學。稱為熱力學。2.2.微觀法微觀法. . 物質(zhì)的微觀結構物質(zhì)的微觀結構 + + 統(tǒng)計方法統(tǒng)計方法-稱為統(tǒng)計力學稱為統(tǒng)計力學 其初級理論稱為氣體分子運動論其初級理論稱為氣體分子運動論( (氣體動理論氣體動理論) )熱學的研究方法：熱學的研究方法：優(yōu)點：可靠、普遍。優(yōu)點：可靠、普遍。 缺點：未揭示微觀本質(zhì)。缺點：未揭示微觀本質(zhì)。優(yōu)點：揭示了熱現(xiàn)象的微觀本質(zhì)。優(yōu)點：揭示了熱現(xiàn)象的微觀本質(zhì)。 缺點：可靠性、普遍性差。缺點：可靠性、普遍性差。 熱力學系統(tǒng) 在熱力學中把要研究的宏觀物體（氣體

3、、液體、固體）稱為熱力學系統(tǒng) 簡稱系統(tǒng)。外界：系統(tǒng)以外與系統(tǒng)有著相互作用的環(huán)境孤立系統(tǒng)：與外界不發(fā)生任何能量和物質(zhì)交換的熱力學系統(tǒng)。封閉系統(tǒng)： 與外界只有能量交換而沒有物質(zhì)交換的系統(tǒng)。 熱力學系統(tǒng)描述參量：熱力學系統(tǒng)描述參量：1. 1. 宏觀量宏觀量 從整體上描述系統(tǒng)的狀態(tài)量，一般可以直接測量。從整體上描述系統(tǒng)的狀態(tài)量，一般可以直接測量。 M、V、E 等等-可以累加，稱為可以累加，稱為廣延量。廣延量。P P、T T 等等-不可累加，稱為不可累加，稱為強度量。強度量。如分子的質(zhì)量如分子的質(zhì)量m m、直徑、直徑 d d 、速度、速度 v v、動量、動量 p p、能量、能量 等。等。例如，氣體的壓強

4、是大量分子撞擊器壁的平均效果，它例如，氣體的壓強是大量分子撞擊器壁的平均效果，它與大量分子對器壁的沖力的平均值有關。與大量分子對器壁的沖力的平均值有關。2. 2. 微觀量微觀量 狀態(tài)參量：描述熱力學系統(tǒng)狀態(tài)的物理量。描述氣體的狀態(tài)參量：壓強、體積和溫度垂直作用在單位容器壁面積上的氣體壓力。壓強（P）：帕斯卡（Pa = N/m2） 1標準大氣壓 = 1.01325105（Pa）= 760 mmHg體積（V ）：氣體分子自由活動的空間。國際單位：米3（m3 ）溫度（T）：溫度是表征在熱平衡狀態(tài)下系統(tǒng)宏觀性質(zhì)的物理量。熱力學第零定律： 如果兩個系統(tǒng)分別與第三個系統(tǒng)達到熱平衡，則這兩個系統(tǒng)彼此也處于熱

5、平衡。 兩熱力學系統(tǒng)相互接觸，而與外界沒有熱量交換，當經(jīng)過了足夠長的時間后，它們的冷熱程度不再發(fā)生變化，則我們稱兩系統(tǒng)達到了熱平衡。ABCABC溫度的宏觀定義：表征系統(tǒng)熱平衡時宏觀性質(zhì)的物理量。溫標 溫度的數(shù)值表示法。t 水的冰點 0 水的沸點 100攝氏溫標：熱力學溫標： T K 冰點和沸點之差的百分之一規(guī)定為1 。 絕對零度： T = 0 K t = - 273.15 水三相點（氣態(tài)、液態(tài)、固態(tài)的共存狀態(tài)）273.16 KtT CK)15.273(大爆炸后的宇宙溫度1039 K實驗室能夠達到的最高溫度108 K太陽中心的溫度1.5107 K太陽表面的溫度6000 K地球中心的溫度4000

6、K水的三相點溫度273.16 K微波背景輻射溫度2.7 K實驗室能夠達到的最低溫度（激光致冷）2.410-11 K平衡態(tài) 準靜態(tài)過程平衡態(tài)：一個孤立系統(tǒng)，其宏觀性質(zhì)在經(jīng)過充分長的時間后保持不變（即其狀態(tài)參量不再隨時間改變）的狀態(tài)。注意：如果系統(tǒng)與外界有能量交換，即使系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間變化，也不能斷定系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)。 箱子假想分成兩相同體積箱子假想分成兩相同體積的部分，達到平衡時，兩的部分，達到平衡時，兩側粒子有的穿越界線，但側粒子有的穿越界線，但兩側粒子數(shù)相同。兩側粒子數(shù)相同。粒子數(shù)是宏觀量粒子數(shù)是宏觀量處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的宏觀量，如壓強處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的宏觀量，如壓強P P，不隨時間改

7、變，不隨時間改變， 但不能保證任何時刻大量分子撞擊器壁的情況完全一樣，但不能保證任何時刻大量分子撞擊器壁的情況完全一樣， 這稱為漲落現(xiàn)象，分子數(shù)越多，漲落就越小。這稱為漲落現(xiàn)象，分子數(shù)越多，漲落就越小。上例中兩側粒子數(shù)不可能上例中兩側粒子數(shù)不可能嚴格相同，這里的偏差也嚴格相同，這里的偏差也就是漲落。就是漲落。布朗運動是可觀測的漲落現(xiàn)象之一。布朗運動是可觀測的漲落現(xiàn)象之一。 熱力學過程：熱力學系統(tǒng)的狀態(tài)隨時間發(fā)生變化的過程。P準靜態(tài)過程： 狀態(tài)變化過程進行得非常緩慢，以至于過程中的每一個中間狀態(tài)都近似于平衡態(tài)。 準靜態(tài)過程的過程曲線可以用P -V 圖來描述，圖上的每一點都表示系統(tǒng)的一個平衡態(tài)。(

8、 PB,VB,TB )( PA,VA,TA )PVO( PC,VC,TC )7.4 理想氣體狀態(tài)方程理想氣體：理想氣體：在任何情況下都嚴格遵守在任何情況下都嚴格遵守“波波- -馬定馬定律律”、“蓋蓋- -呂定律呂定律”以及以及“查理定律查理定律”的氣體。的氣體。恒量222111TVPTVP（質(zhì)量不變）（質(zhì)量不變）)(,標準狀態(tài)oooTVPTVP標準狀態(tài)：Pa1001325. 150PK15.273oT33molm104 .22Vmol0VMmV 0mol0000TVPMmTVPTPVm 為氣體的總質(zhì)量。為氣體的總質(zhì)量。M 為氣體的摩爾質(zhì)量。為氣體的摩爾質(zhì)量。理想氣體狀態(tài)方程：RTMmPV 令：

9、令：)KmolJ (31. 8110mol0TVPRR 摩爾氣體常量0mol0000TVPMmTVPTPV代入：ANRk 分子質(zhì)量為分子質(zhì)量為 m0，氣體分子數(shù)為，氣體分子數(shù)為N，分子數(shù)密度，分子數(shù)密度 n。Nmm0ANM0m RTMmPV VNn TNRVNPAMmNNA阿伏伽德羅常數(shù) 123Amol10022. 6N123KJ10381 .玻耳茲曼常量 nkTP 標準狀態(tài)下的分子密度：標準狀態(tài)下的分子密度：稱為洛喜密脫數(shù))m(1069. 23250n標準狀態(tài)：標準狀態(tài)：Pa1001325. 150PK15.2730T氣體分子自由程氣體分子自由程線度線度 10-8m一個分子連續(xù)兩次碰撞之一個

10、分子連續(xù)兩次碰撞之間經(jīng)歷的平均間經(jīng)歷的平均 自由路程叫自由路程叫平均自由程平均自由程 一個分子單位時間里一個分子單位時間里受到平均碰撞次數(shù)叫受到平均碰撞次數(shù)叫平均碰撞頻率平均碰撞頻率 Z單位時間內(nèi)分子經(jīng)歷的平均距離單位時間內(nèi)分子經(jīng)歷的平均距離 v ，平均碰撞平均碰撞 Z 次次 =Zv7.5 氣體分子的無規(guī)則行走 平均碰撞頻率平均碰撞頻率 Z設分子設分子 A 以相對平均速率以相對平均速率 u 運動，其它分子可設為靜止運動，其它分子可設為靜止運動方向上，以運動方向上，以 d 為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子A 碰撞碰撞該圓柱體的面積該圓柱體的面積 就叫就叫 碰撞截面

11、碰撞截面 = d2A ddduu單位時間內(nèi)分子單位時間內(nèi)分子 A 走走 u ，相應的圓柱體體積為，相應的圓柱體體積為 u ， 則則Z = n u 統(tǒng)計理論可計算統(tǒng)計理論可計算 u= 2 vZ = 2 d2 v n平均自由程平均自由程 =Zv= 2 d2 n1= 2 d2 PkT對空氣分子對空氣分子 d 3.5 10 -10 m標準狀態(tài)下標準狀態(tài)下 Z 6.5 10 9s ， 6.9 10 -8 m 氣體容器線度小于平均自由程計算值時，實際平均自由程氣體容器線度小于平均自由程計算值時，實際平均自由程就是容器線度的大小。就是容器線度的大小。u = v - v平方平方u = v + v - 2 v

12、v222取平均取平均u = v + v - 2 v v 2 22各個方向隨機運動，故為零各個方向隨機運動，故為零u = v + v 222相等相等u = 2 v22設設 均方根速率與平均速率的規(guī)律相似，則由上式均方根速率與平均速率的規(guī)律相似，則由上式 u= 2 v分子動理論的基本觀點 按照物質(zhì)結構的理論，自然界所有的物質(zhì)實體都是由分子組成，分子處于永不停息的、雜亂無章的運動之中；分子與分子之間相隔一定的距離，且存在相互作用力。這樣一種關于物質(zhì)結構的理論稱為“分子動理論”。分子熱運動：大量分子的無規(guī)則運動大量分子的無規(guī)則運動7.6 理想氣體的壓強一般氣體分子熱運動的概念：一般氣體分子熱運動的概念

13、： 分子的密度分子的密度 3 3 10101919 個分子個分子/cm/cm3 3 = 3= 3千億千億億；億； 分子之間有一定的間隙，有一定的作分子之間有一定的間隙，有一定的作用力；用力； 分子熱運動的平均速度約分子熱運動的平均速度約 v v = 500m/s = 500m/s ； 分子的平均碰撞次數(shù)約分子的平均碰撞次數(shù)約 z z = 10 = 101010 次次/ /秒秒 。 1. 1. 對單個分子的力學性質(zhì)的假設對單個分子的力學性質(zhì)的假設分子當作質(zhì)點，不占體積；分子當作質(zhì)點，不占體積； （因為分子的線度（因為分子的線度 0 的分子才能與一側器壁發(fā)生碰撞，所以有：StmnIiiddd02i

14、xvtIFddd作用于面元的壓力：Smniid02ixv2ix2ixvv iiiinmnStISFp00dddddm壓強： 222xixiixinnnnnvvv20 xnmpv2222vvvvzyx根據(jù)統(tǒng)計假設：222231vvvvzyxxvyvzvvO 202031vvnmnmpxk32np 20k21vm因為所以這里的壓強只是統(tǒng)計概念這里的壓強只是統(tǒng)計概念kT23k結論： 溫度標志著物體內(nèi)部分子熱運動的劇烈程度，它是大量分子熱運動的平均平動動能的量度。k32np nkTp 20k21vm因為因為kT23方均根速率：方均根速率： MRTmkT3302vkk3232NnVpVk32np kT2

15、3kNkTpV kRMmNMmNARTMmPV 試求氮氣分子的平均平動動能和方均根速率。試求氮氣分子的平均平動動能和方均根速率。設（設（1 1）在溫度）在溫度t t = 1000 = 1000時；（時；（2 2）t t = 0 = 0時。時。解：解：1123kTJ1063. 212731038. 1232023MRT1213v13sm11941028127331. 832223kTJ1065. 52731038. 123212313sm493102827331. 83MRT2223v研究氣體的能量時，氣體分子不能再看成質(zhì)點，研究氣體的能量時，氣體分子不能再看成質(zhì)點，微觀模型要修改微觀模型要修改

16、自由度：自由度：確定一個物體在空間的位置所必需的獨確定一個物體在空間的位置所必需的獨立坐標數(shù)目。立坐標數(shù)目。作直線運動的質(zhì)點：作直線運動的質(zhì)點：一個自由度一個自由度作平面運動的質(zhì)點：作平面運動的質(zhì)點：二個自由度二個自由度作空間運動的質(zhì)點：作空間運動的質(zhì)點：三個自由度三個自由度因為分子不僅有平動動能，還有轉(zhuǎn)動動能，振動因為分子不僅有平動動能，還有轉(zhuǎn)動動能，振動動能。動能。運動剛體的自由度運動剛體的自由度：zyx Czxy1coscoscos222結論：結論：自由剛體有自由剛體有六個六個自由度自由度三個三個平動平動自由度自由度三個三個轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動自由度自由度單原子分子：單原子分子：一個原子構成一個分子

17、一個原子構成一個分子多原子分子：多原子分子：三個以上原子構成一個分子三個以上原子構成一個分子雙原子分子：雙原子分子：兩個原子構成一個分子兩個原子構成一個分子三個自由度三個自由度氫、氧、氮等氫、氧、氮等五個自由度五個自由度氦、氬等氦、氬等六個自由度六個自由度水蒸汽、甲烷等水蒸汽、甲烷等N N個個 原子組成的分子原子組成的分子 總自由度總自由度= = 3N3N，其其中分子整體中分子整體平動自由度平動自由度 =3=3 ，整體轉(zhuǎn)動自，整體轉(zhuǎn)動自由度由度= 3= 3若若 N N 個原子都在一條直線，個原子都在一條直線，整體轉(zhuǎn)動自整體轉(zhuǎn)動自由度由度=2=2 N N 個原子個原子振動自由度振動自由度 = =

18、 3N - 63N - 6，直線型分直線型分子子振動自由度振動自由度= = 3N - 53N - 5單原子分子：單原子分子：kTmmmmzyx232121212120202020kvvvv222231vvvvzyxkTmmmzyx21212121202020vvv能量均分定理：能量均分定理： kTik2“i”為分子自由度數(shù)為分子自由度數(shù) 在溫度為在溫度為T T 的平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的每個自由的平衡態(tài)下，物質(zhì)分子的每個自由度都具有相同的平均動能，其值為度都具有相同的平均動能，其值為 。2kT分子平均動能：分子平均動能：由理想氣體模型由理想氣體模型單原子分子：單原子分子： 121212E = mv

19、x2 + mvy2 + mvz2 12平均熱能平均熱能 = 3 kT 每個平動自由度分配平均能每個平動自由度分配平均能12 kT 剛性雙原子分子剛性雙原子分子除平動能，還有除平動能，還有轉(zhuǎn)動能轉(zhuǎn)動能：1212E轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 = JX x2 + JY y2 z每個轉(zhuǎn)動自由度分配平均能每個轉(zhuǎn)動自由度分配平均能12 kT 非剛性雙原子分子非剛性雙原子分子除平動能、轉(zhuǎn)動能，除平動能、轉(zhuǎn)動能，還有振動能：還有振動能：1212E振動振動 = r 2 + kr 2 每個振動自由度分配平均能每個振動自由度分配平均能 2 倍倍12 kT 振動自由度振動自由度 = 1設平動自由度設平動自由度 t ，轉(zhuǎn)動自由度，轉(zhuǎn)動自

20、由度 r，振動自由度，振動自由度 v，平均總動能：，平均總動能： K=（t + r +2 v） 12 kT 剛性雙原子分子剛性雙原子分子 K=52 kT 單原子分子單原子分子 K=32 kT 非剛性雙原子分子非剛性雙原子分子 K=72 kT 理想氣體內(nèi)能理想氣體內(nèi)能E = N K=（t + r +2 v） N2 kT = （t + r +2 v） 2 RT 理想氣體內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，理想氣體內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，與熱力學溫度成正比。與熱力學溫度成正比。單個分子速率不可預知，大量分子的速率分布是遵循統(tǒng)計規(guī)律，單個分子速率不可預知，大量分子的速率分布是遵循統(tǒng)計規(guī)律，是確定的，這個規(guī)律也叫是確定的，

21、這個規(guī)律也叫麥克斯韋速率分布律。麥克斯韋速率分布律。速率分布函數(shù)：速率分布函數(shù)：按統(tǒng)計假設分子速率通過碰撞不斷改變，不好按統(tǒng)計假設分子速率通過碰撞不斷改變，不好說正處于哪個速率的分子數(shù)多少，但用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)說正處于哪個速率的分子數(shù)多少，但用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例為多少的概念比較合適，這就是分子按速率占總分子數(shù)的比例為多少的概念比較合適，這就是分子按速率的分布。的分布。設總分子數(shù)設總分子數(shù)N N，速率區(qū)間，速率區(qū)間 v v+dvv v+dv，該速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)，該速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù) dNdNv v則則dNvN= f(v)dv速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)速率速率 v v 附近單位速

22、率區(qū)間內(nèi)附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。麥克斯韋速率分布函數(shù)：麥克斯韋速率分布函數(shù)：2223020)2(4)(vvvkTmekTmff(v)vdvNNfdd)(vv玻耳茲曼常量：玻耳茲曼常量：ANRk )KJ (1038. 1123f(v)vv2v1結論：結論：在麥克斯韋速率分布曲線下的任意一塊面積在數(shù)值上在麥克斯韋速率分布曲線下的任意一塊面積在數(shù)值上等于相應速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。等于相應速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。NNfvvvvd)(21歸一化條件：歸一化條件：1d)(0vvf三個統(tǒng)計速率（1）平均速率：）平均速率：設：設：速率為速

23、率為v1的分子數(shù)為的分子數(shù)為 N1個；個； 速率為速率為v2的分子數(shù)為個的分子數(shù)為個 N2 ；。總分子數(shù)：總分子數(shù)：N = N1+ N2 + + Nn NNNNNNnniivvvvv22110)(vvvdfNNdvvMRTMRTkT60. 188v（2）均方根速率：均方根速率：vvvvd)(22fMRTMRTmkT73. 13302v（3）最概然速率：）最概然速率：0)(ddvvf02mkTpvf(v)vpvv2v 在平衡態(tài)條件下，理想氣體分子速率分布在在平衡態(tài)條件下，理想氣體分子速率分布在vp附近的單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占氣體總分子數(shù)的附近的單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占氣體總分子數(shù)的百分比最大。

24、百分比最大。 MRTMRT41. 12f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2溫度越高，速率大的分子數(shù)越多溫度越高，速率大的分子數(shù)越多f(v)vT1T2例例2. 圖為同一種氣體，處于不同溫度狀態(tài)下的速率圖為同一種氣體，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問（分布曲線，試問（1）哪一條曲線對應的溫度高？）哪一條曲線對應的溫度高？（2) 如果這兩條曲線分別對應的是同一溫度下氧氣如果這兩條曲線分別對應的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對應的是氧氣，哪和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對應的是氧氣，哪條對應的是氫氣？條對應的是氫氣？解：解：MkTp2v(1) T1 v 0)

25、0 ( v vo )1、作速率分布曲線。、作速率分布曲線。2、由、由N 和和vo求常量求常量C。3、求粒子的平均速率。、求粒子的平均速率。4、求粒子的方均根速率。、求粒子的方均根速率。Cvov)(vfo解：解：0d)(vvfoCv11d0oCCovvv2dd)(200oCCfovvvvvvvv2212ooovvvv20202231dd)(ooCfvvvvvvvvovv332OD蒸汽源蒸汽源檢測器檢測器R抽氣抽氣抽氣抽氣 Lv= r RLlv = L給定給定 v = v = r lv小孔充分小，改變小孔充分小，改變 ，測，測D上的沉積厚度，就可測氣體速率分布上的沉積厚度，就可測氣體速率分布從小孔

26、出射的氣體分子數(shù)目從小孔出射的氣體分子數(shù)目單位時間內(nèi)打到單位面積上的單位時間內(nèi)打到單位面積上的分子數(shù)目（分子數(shù)密度分子數(shù)目（分子數(shù)密度n） 61nv速率在速率在 v v+dv 的分子數(shù)目的分子數(shù)目瀉流的速率分布率瀉流的速率分布率v dtdAx或或 vdtv(v)dv 61 f(v)dv nv (v) v3 e - m v /2kT 2嚴格推導嚴格推導速度在速度在 v v+dv ，斜柱體內(nèi)的分子數(shù)目，斜柱體內(nèi)的分子數(shù)目 g(v)dv n dA dt vx 只有只有vx0的才打到墻壁的才打到墻壁 (v)dv = n g(vx) vx dvx=n =0+ kT2 m=41nv壓強壓強P= 2mvx(

27、v)dv = n 2mg(vx) vx2 dvx 0+ = n mg(vx) vx2 dvx=nm vx2 = - + 31nm v2(v)dv = n g(v) vx dv 以上推導用到以上推導用到 g(vy)dvy= + - g(vz)dvz=1 + - 二氧化碳氣體的等溫線二氧化碳氣體的等溫線 13等溫線：等溫線： GA部分：與理想氣體的部分：與理想氣體的等溫線相似。等溫線相似。 AB部分：汽液共存。部分：汽液共存。 飽和汽：飽和汽：在汽液共存時在汽液共存時的蒸汽。的蒸汽。BD部分：曲線幾乎與體部分：曲線幾乎與體積軸垂直，反映了液體積軸垂直，反映了液體不易壓縮的性質(zhì)。不易壓縮的性質(zhì)。 21等溫線等溫線: 汽液共存線較短，飽汽液共存線較短，飽和汽壓強較高和汽壓強較高 。結論：結論：飽和汽壓強與飽和汽壓強與蒸汽的體積無關、卻蒸汽的體積無關、卻與溫度有關。與溫度有關。 31.1 時：時：臨界等溫線臨界等溫線 汽液共存線收縮為一拐點，稱為汽液共存線收縮為一拐點，稱為臨界點臨界點 。48.1時：時：其等溫線相似于理想氣體的等軸雙曲線。其等溫線相似于理想氣體的等軸雙曲線。 實際氣體要考慮分子大小和分子之間的