1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)上機(jī)指導(dǎo)書實(shí)驗(yàn)題目實(shí)驗(yàn)一解方程和方程組與極限運(yùn)算 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）掌握Mathematica軟件的計算器功能；（2）學(xué)會使用Mathematica軟件求各種類型方程（或方程組）的數(shù)值解和符號解；（3）通過本實(shí)驗(yàn)深刻理解極限概念；（4）學(xué)習(xí)并掌握利用Mathematica求極限的基本方法。二、預(yù)備知識（1）方程（或方程組）代數(shù)解法的基本理論，函數(shù)的零點(diǎn)，方程（或方程組）的解及數(shù)值解；（2）本實(shí)驗(yàn)所用命令： 用“= =”連接兩個代數(shù)表達(dá)式構(gòu)成一個方程求方程（組）的代數(shù)解：Solve方程或方程組，變量或變量組求方程（組）的數(shù)值解：NSolve方程或方程組，變量或變量組從初始值開始搜索方程或

2、方程組的解：FindRoot方程或方程組，變量或變量組初值在界定范圍內(nèi)搜索方程或方程組的解：FindRoot方程或方程組，變量或變量組范圍繪圖命令：Plot表達(dá)式，變量，上限，下限，可選項(xiàng) 微分方程求解命令：DSolve微分方程,yx,x（3）極限、左極限、右極限的概念；（4）本實(shí)驗(yàn)所用Mathematica有關(guān)命令：Limitexpr,x->x0 求表達(dá)式在時的極限Limitexpr,x->x0,Direction->1 求左極限Limitexpr,x->x0,Direction->-1 求右極限三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求（1）計算；。（2）對于方程，試用Solve和N

3、solveNSolve分別對它進(jìn)行求解，并比較得到的結(jié)果，體會代數(shù)解即精確解與數(shù)值解的差別。（3）先觀察函數(shù)的圖形，然后選擇一個初始點(diǎn)求解，并且根據(jù)圖形確定在某個區(qū)間中搜索它的零點(diǎn)。（4）求方程組的解，然后代入系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的一組初值，并求解。（5）求微分方程的通解。（6）用 Mathematica軟件計算下列極限：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）。四、實(shí)驗(yàn)操作（1）學(xué)會N和expr/N的使用方法。In1:=546*54564 In2:=N%In3:=4654545676 / N（2）學(xué)會Solve和NSolve的使用方法。I

4、n5:= p=x4-2x3-4x2+3;Solvep=0,xIn6:=NSolvep= =0,x（3）學(xué)會Clear和FindRoot的使用方法In7:=ClearxIn8:=f=Sinx-CosxIn9:=Plotf,x,-4,4In10:=FindRootf,x,1In11:=FindRootf,x,0,1（4）學(xué)會用Solve求解方程組。In12:=Solvea1*x+b1*y=c1,a2*x+b2*y=c2,x,y（5）學(xué)會DSolve的使用方法In13:=DSolvey''x+3y'x+2yx=Expx,yx,x（6）用 Mathematica軟件計算下列極限

5、：（1）In1:= Limit(n3)/(-n3+n2+1),n->Infinity;（2）In2:= LimitTanx,x->Pi/2,Direction->1（3）In3:= LimitTanx,x->Pi/2,Direction->-1（4）In4:=（5）In5:=（6）In6:=（7）In7:=Limit(1+x)a-1)/x,x->0 (*Mathematica也能處理符號極限*)（8）In8:=LimitLimitx2y/(x2+y2),x®¥,y®¥（9）In9:=（10）In10:=（11）In11

6、:=（12）In12:=LimitSin1/x, x->0 (*無極限的例子*)實(shí)驗(yàn)二積分運(yùn)算與微分基本運(yùn)算及函數(shù)的冪級數(shù)展開 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）通過本實(shí)驗(yàn)加深理解積分理論中分割、近似、求和、取極限的思想方法；（2）學(xué)習(xí)并掌握二重積分及線性積分的計算方法；（3）學(xué)習(xí)常用積分命令；（4）掌握求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)方法；（5）學(xué)會使用Mathematica軟件進(jìn)行函數(shù)的冪級數(shù)展開。二、預(yù)備知識（1）定積分的概念、幾何意義，二重積分的概念、二重積分化為定積分的過程及其計算方法；（2）本實(shí)驗(yàn)所用Mathematica有關(guān)命令：無限積分：Integratef,x定積分：Integratef,x，上

7、限，下限（3）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的冪級數(shù)展開式；（4）本實(shí)驗(yàn)所用的Mathematica函數(shù)提示：（a）求導(dǎo)數(shù)（或偏導(dǎo)數(shù)）D表達(dá)式F,x 求F對于變量x的導(dǎo)數(shù)；D表達(dá)式F,x1,x2,. 按順序求F關(guān)于x1，x2,的偏導(dǎo)數(shù)；D表達(dá)式F,x,n 求F對x的n階導(dǎo)數(shù)。（b）冪級數(shù)展開 Series表達(dá)式F,x,x0,n 求F關(guān)于變量x在x0的n階泰勒展式。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求（1）求函數(shù)的原函數(shù)；（2）求；（3）求；（4）求；（5）求。（6）求出被積函數(shù)F(x)=的原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)，并畫出被積函數(shù)、原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的圖形，試分辨出哪一條曲線屬于哪個函數(shù)。（7）對函數(shù)sinx在0點(diǎn)展開10階和2

8、0階，并以圖形方式對比展開的結(jié)果和sinx的差別，并分析階數(shù)高的展式對于原來函數(shù)的逼近程度是否優(yōu)于階數(shù)低的展式。四、實(shí)驗(yàn)操作（1）In1:=Integratea*Sinx2x3,x（2）In2:=Integratea*xn, x（3）In3:=Integratea*xn, x, 0, 1（4）In4:=IntegrateIntegratex*y, y, 2x, x2 + 1, x, 0, 1（5）In5:=Integratex*Cosy,x,0,Pi,y,0,x（6）In1:=f1=(x+1)/(x2+3x+5)In2:=f2=Integratef1,xIn3:=f3=Df1,xIn4:=Pl

9、otf1,f2,f3,x,-1,1（7）In5:=s1=SeriesSinx,x,0,10In6:=s2=SeriesSinx,x,0,20In7:=g1=Normals1In8:=g2=Normals2In9:=Plotg1,Sinx,x,-5,5In10:=Plotg2,Sinx,x,-5,5In11:=Plotg1-g2,x,-5,5實(shí)驗(yàn)三 放射性廢料的處理問題一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康撵柟毯屠斫馕⒎址匠汤碚摷捌鋺?yīng)用。二、預(yù)備知識常微分方程理論和Mathematica解方程的命令。三、問題的提出美國原子能委員會以往處理濃縮放射性廢料的方法，一直是把它們裝入密封的圓桶里，然后扔到水深90多米的海底。生態(tài)

10、學(xué)家和科學(xué)家們表示擔(dān)心，怕圓桶下沉到海底時與海底碰撞而發(fā)生破裂，從而造成核污染。原子能委員會分辯說這是不可能的。為此工程師們進(jìn)行了碰撞實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓桶下沉到海底時的速度超過12.2 m/s，圓桶與海底碰撞會發(fā)生破裂。為避免圓桶碰裂，需要計算圓桶沉到海底時的速度是多少？這時已知圓桶重為239.46 kg，體積為0.2058 m3,海水密度為1035.71 kg/m3。如果圓桶下沉到海底時的速度小于12.2 m/s，就說明這種方法是可靠的；否則就要禁止用這種方法來處理放射性廢料。假設(shè)水的阻力與速度大小成正比，其正比例常數(shù)為0.6。（1）根據(jù)問題建立數(shù)學(xué)模型。（2）根據(jù)數(shù)學(xué)模型求解的結(jié)果，判斷這種處

11、理廢料的方法是否合理？四、問題分析及建立模型圓桶運(yùn)動規(guī)律： (1) （2）其中， 由題設(shè)可得圓桶的位移和速度分別滿足如下微分方程： (3) (4)2、若，類似上面，可得到這時圓桶的速度分別滿足如下微分方程：五、計算過程1、由（1）（2）（3）（4）以及題設(shè)的初始數(shù)據(jù)，通過如下Mathematica程序就可以求出圓筒的位移和速度的方程。源程序：In1:=m = 239.46; w = 0.2058; g = 9.8; p = 1035.71; k = 0.6;DSolvem*s''t = m*g - p*g*w - k*s't, s0 = 0, s'0 = 0,

12、st, tDSolvem*v't = m*g - p*g*w - k*vt, v0 = 0, vt, tOut1=（5）（6）2、由（5）及S(t)=90m，由下面程序得到：t=12.994 ，帶入（6），運(yùn)行如下命令得V=13.772>12.2，此時說明此法處理廢料不行。六、結(jié)果分析在實(shí)際情況中k 與 v 的關(guān)系很難確定，所以上面的模型有它的局限性，且對不同的介質(zhì)比如在空氣中和在水中k 與 v 的關(guān)系就不同。在一般情況下，k應(yīng)是v的函數(shù)，即k=k(v)，至于 是什么樣的函數(shù)很難確定。七、模型推廣這個模型可以推廣到其他方面，比如說一個物體從高空落向地面的道理也是一樣的，盡管物體越

13、高，落到地面的速度也越大，但決不會無限大。實(shí)驗(yàn)四 路程估計問題一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康哪苡脭?shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。二、預(yù)備知識多元函數(shù)的極值求法；線性擬合的最小二乘法原理。三、問題的提出外出旅行或行軍作戰(zhàn)等，都可能涉及到兩地路程的估計問題。當(dāng)身邊帶有地圖時，這似乎是件很容易的事。然而，從地圖上量出的距離卻是兩地的直線距離，你能由此估計出兩地的實(shí)際路程嗎？建立關(guān)于的模型：。（1）要確定與的近似函數(shù)關(guān)系，必須收集若干及與之相應(yīng)的的具體數(shù)據(jù)，通過分析找出規(guī)律。這里將中國地圖中量得四川省彭州市到其他幾個城市的直線距離，并按比例尺（1cm為20km）進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以及從到汽車站了解到的對應(yīng)的實(shí)際路程的有關(guān)數(shù)據(jù)列于表2-2

14、。表2-2 城市間直線距離和實(shí)際路程彭州市成都郫縣都江堰什邡德陽新繁廣漢溫江崇慶州地圖直線距離(cm)1.81.081.551.322.30.751.641.72.38地圖轉(zhuǎn)換距離d(km)3621.63126.4461532.83447.6實(shí)際路程s(km)423058436816435065（2）啟動數(shù)學(xué)軟件，將上表中d與s兩組數(shù)據(jù)，按擬合時所需形式輸入。（3）畫出數(shù)據(jù)散布圖，觀察它們是否大致在一條直線附近。（4）進(jìn)行直線擬合，并在同一圖中顯示擬合直線與數(shù)據(jù)點(diǎn)。觀測擬合情況，并記下所得到的模型（稱為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停＃?）在只作粗略估計的情況下，為便于計算，若將上面得到的模型修改成（簡單模型）行

15、嗎？根據(jù)表中數(shù)據(jù)，取b=3，試畫出簡單模型與樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的圖形，并與（4）所得到的圖形相對照。（6）試計算由兩個模型得到的估計值與實(shí)際值的差（殘差），以大致觀測一下兩個模型的差異。在只作粗略估計的前提下，你愿意用哪個模型？實(shí)驗(yàn)解答四、問題分析與建立模型問題的關(guān)鍵在于收集數(shù)據(jù)，然后描出數(shù)據(jù)散布圖，通過觀測，決定用什么函數(shù)去擬合。由所給數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)它們大致在一條直線附近，故用直線擬合，又因d=0時，S必為零，因此，不妨設(shè)模型為S=ad。五、計算過程1、ln1=x=36,21.6，,31，,26.4，,46，,15，,32.8，,34，,47.6； y=42,30，,58，,43，,68，,16，,43

16、，,50,65； data=Tablexi,yi,i,1,9； shu=ListPlotdata，,PlotStyle®PointSize0.02 （*作數(shù)據(jù)散布點(diǎn)*） s=Fitdata,d,d; (*擬合直線*)Print"s=",s Print“s=”,sPp=Plots,d,0,50 (*作擬合直線圖*) Showshu,p (*在同一圖上觀測擬合效果*)Out6= S=1.42852dOut8= -Graphics- 由此，得出經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蚐=1.42952d將經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ托薷臑楹唵文Ｐ蚐=1.5d-b，其目的很清楚，是為了便于計算，在只作粗略估計的情況下，我們

17、更寧愿這樣作，作為實(shí)踐中的一條經(jīng)驗(yàn)，它比前者更具有優(yōu)勢。式中的b顯然應(yīng)因短程與遠(yuǎn)程而有所不同，這實(shí)際上給我們提出了這樣一個問題：對某值比如50km以內(nèi)的較短路程用一個公式，對較長的路程再用一個公式是否會更好呢？2、a=1.5 b=3 b因路程長短有所不同ln9= m=Plot1.5*d-3,d,0,50;showShowshu,m （*顯示簡單模型與樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的圖形*）Out10:= -Graphics-六、結(jié)果分析 In11:= sp=1.42952*x （*由經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ退愎烙嬛?） ss=1.5*x-3 （*由簡單模型算估計值*） error1=y-sp (*計算殘差值*) error2=y

18、-ss （*計算殘差值*）Out11:=51.5，30.9，44.3，37.7，65.8，21.4，46.9，48.6，68 51.，29.4，43.5，36.6，66.，19.5，46.2，48.，68.4 -9.5，-0.88，14.，5.3，2.2，-5.4，-3.9，1.4，-3. -9.，0.6，14.5，6.4，2.，-3.5，-3.2，2.，-3.4 所得結(jié)果可見：兩個模型的差異并不大，且它們對多數(shù)點(diǎn)都吻合得較好，但也有誤差較大的，分析其原因：一：是我們的模型本身是根據(jù)小樣本而得到，不可能是很精確的；二：是有兩種極端情形（它們的誤差都較大）應(yīng)該注意：（1）路較直，如彭縣成都（誤差為-9）；（2）路線起伏大，如彭縣灌縣，實(shí)際路線是彭縣唐昌灌縣，相當(dāng)于走三角形的兩邊（誤差為+14.5）。這是不是提醒我們，應(yīng)該把與AB垂直的最大偏離h測量出來，并結(jié)合到模型中以提高精度呢？ 實(shí)驗(yàn)上機(jī)要求1、 遵守