1、質數與合數第3講對于自然數和（），若沒有余數，則是的倍數，是的約數。特殊地，是任意非零自然數的倍數。質數：除了和本身，沒有其他約數的自然數叫質數。合數：除了和本身，還有其他約數的自然數叫合數。特殊地，既不是質數也不是合數。最小的合數是，最小的質數是，且是唯一的偶質數。質因數：如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因數。互質數：公約數只有1的兩個自然數，叫做互質數。分解質因數：把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。知識要點阿拉伯數字無疑是人類歷史上最偉大的發明之一，其本身蘊含的規律更是數學學科中最璀璨的明珠！質數和合數的分類產生了哥德巴赫猜想等世界著名的命題，學

2、習質數和合數，窺探數字的奧秘！編寫說明【例1】 對個不同質數求和，和為，則最大的質數是多少？【分析】 七個質數若全部是奇數，則和一定是奇數，而是偶數，則七個質數中必定含有唯一的偶質數，所以最小的質數是，從開始，最小的七個連續質數是，和為，所以題中的七個質數只能是從開始的七個連續質數，最大為。【溫馨提示】是唯一的偶質數，是偶數中的“叛徒”，所以質數也經常與奇偶性相結合，主要考察“”.【拓展】 已知、都是質數，且，求、的值。【分析】 ，所以、應該都是奇數，所以是唯一的偶質數，依此可求得：，.【例2】 從小到大寫出5個質數，使后面數都比前面的數大12。這樣的數有幾組？【分析】 考慮到質數中除了2以外

3、其余都是奇數，因此這5個質數中不可能有2；又質數中除了2和5，其余質數的個位數字只能是1、3、7、9。若這5個質數中最小的數其個位數字為1，則比它大24的數個位即為5，不可能是質數；若最小的數其個位數字為3，則比它大12的數個位即為5，也不可能為質數；由此可知最小的數其個位數字也不可能是7和9，因此最小的數只能是5，這5個數依次是5，17，29，41，53。這樣的數只有一組。說明：除了2和5，其余的質數個位數字只能是1，3，7或9。這是此題的突破口。老師可以只推算個位數字就可以否定1、3、7、9，然后剩下個位數字是2和5，就很容易找到5。【拓展】 如果某整數同時具備如下三條性質： 這個數與1的

4、差是質數，這個數除以2所得的商也是質數，這個數除以9所得的余數是5，那么我們稱這個整數為幸運數。求出所有的兩位幸運數。【分析】 法一：由條件可知，所求的數是偶數，因此可設所求的幸運數是質數的兩倍，即此幸運數為2，則的所有可能取值為5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是2-1的所有可能取值為9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根據題目條件，2-1應為質數，因此2-1只可能為13，37，61或73。再由條件知2-1除以9所得的余數應為4，于是2-1只可能是13，從而這個幸運數只能是2=14。法二：從條件入手，符合條件的

5、偶數有：14，32，50，68，86，再由條件排除掉32，50，68，最后由條件排除掉86，所以這個幸運數是14。 【例3】 四個連續自然數的乘積是3024，這四個自然數中最大的一個是多少？【分析】 分解質因數，考慮其中最大的質因數7，說明這四個自然數中必定有一個是7的倍數。若為7，因3024不含有質因數5，那么這四個自然數可能是6、7、8、9或7、8、9、10（10仍含有5，不行），經檢驗6、7、8、9恰符合。【溫馨提示】根據乘積求因數，是分解質因數的一個重要運用.【拓展】 2004720的計算結果能夠整除三個連續自然數的乘積，這三個連續自然數之和最小是多少？【分析】 首先分解質因數，200

6、4720=2222357167，其中最大的質因數是167，所以所要求的三個連續自然數中必定有167本身或者其倍數。165=3511，166=283，168=22237，169=1313，所以165166167，166167168，167168169都沒有4個2，不滿足題意。說明167不可行。嘗試334=1672，335=567，336=222237，334335336=2222235767167，包括了2004720中的所有質因數，所以這組符合題意，以此三數之和最小為1005。【拓展】 甲數比乙數大5，乙數比丙數大5，三個數的乘積是6384，求這三個數。【分析】 將6384分解質因數，6384

7、，則其中必有一個數是19或19的倍數；經試算，1951427，195242223，恰好1419246384，所以這三個數即為14，19，24。一般象這種類型的題，都是從最大的那個質因數去分析。如果這道題里19不符合要求，下一個該考慮38，再下一個該考慮57，依此類推。【例4】 一個長方體的長、寬、高是連續的3個自然數，它的體積是39270立方厘米，那么這個長方體的表面積是多少平方厘米?【分析】 方法一：3927023571117，為三個連續自然數的乘積，所以33、34、35為滿足題意的長、寬、高則長方體的表面積為：2（長寬寬高高長）2（333434353533） 6934(平方厘米)方法二：3

8、927023571117，為三個連續自然數的乘積，考慮質因數17，如果17作為長、寬或高顯然不滿足當17與2結合即34作為長方體一條邊的長度時有可能成立，再考慮質因數7，與34接近的數3236中，只有35含有7，于是7與5的乘積作為長方體的一條邊的長度而39270的質因數中只剩下了3和1l，所以這個長方體的大小為333435長方體的表面積為：2（+）2（119011551122）234676934(平方厘米)【拓展】 在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質數，那么這個長方體的體積是多少? 【分析】 如上圖，設長、寬、高依次為、，有正面和上面的和為 ，而

9、當時，當兩個質數的和為奇數，則其中必定有一個數為偶質數，則; 當時，則，為不是質數，所以不滿足題意所以它們的乘積為【例5】 只同樣的瓶子內分別裝有一定數量的油每瓶和其他各瓶分別合稱一次，記錄千克數如下：，已知只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質數，求最重的兩瓶內有多少油?【分析】 由于每只瓶都稱了三次，因此記錄數據之和是4瓶油(連瓶)重量之和的3倍，即4瓶油(連瓶)共重(8+9+10+11+12+13)3=21(千克)而油重之和及瓶重之和均為質數，所以它們必為一奇一偶，由于2是唯一的偶質數，只有兩種可能：(1)油重之和為19千克，瓶重之和為2千克，每只瓶重千克，最重的兩瓶內的油為13-2=1

10、2(千克)(2)油重之和為2千克，瓶重之和為19千克，每只瓶重千克，最重的兩瓶內的油為13-2=(千克)，這與油重之和2千克矛盾因此最重的兩瓶內共有12千克油【例6】 從20以內的質數中選出6個，然后把這6個數分別寫在正方體木塊的6個面上，并且使得相對兩個面的數的和都相等。將這樣的三個木塊擲在地上，向上的三個面的三個數之和可能有多少種不同的值？【分析】 小于20的質數有2，3，5，7，11，13，17，19，其中5+19=7+17=11+13。每個木塊擲在地上后向上的數可能是六個數中的任何一個，三個數的和最小是5+5+5=15，最大是19+19+19=57，經試驗，三個數的和可以是從15到57

11、的所有奇數，所有可能的不同值共有22個。【拓展】 有些自然數能夠寫成一個質數與一個合數之和的形式，并且在不計加數順序的情況下，這樣的表示方法至少有13種，那么所有這樣的自然數中最小的一個是多少？【分析】 在所有的質數中，從小到大第13個質數是41，因此在13種分解方法中，質數最大的那一組至少是。按題目要求分拆45有如下12種方法：按題目要求分拆46有如下7種方法：按題目要求分拆47有如下14種方法 ： 因此滿足題意的最小自然數是47。【練習1】 4個一位數的乘積是360，并且其中只有一個是合數，那么在這4個數字所組成的四位數中，最大的一個是多少？【分析】 將360分解質因數得360=22233

12、5，它是6個質因數的乘積。因為題述的四個數中只有一個是合數，所有該合數必至少為63=3個質因數的積，又只有3個2相乘才能是一位數，所以這4個乘數分別為3，3，5，8，所組成的最大四位數是8533。【練習2】 9個連續的自然數，它們都大于80，那么其中質數最多有多少個?【分析】 大于80的自然數中只要是偶數一定不是質數，于是奇數越多越好，9個連續的自然數中最多只有5個奇數，它們的個位應該為1，3，5，7，9但是大于80且個位為5的數一定不是質數，所以最多只有4個數經驗證101，102，103，104，105，106，107，108，109這9個連續的自然數中101、103、107、109這4個數

13、均是質數也就是大于80的9個連續自然數，其中質數最多能有4個【練習3】 用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數字組成質數，如果每個數字都要用到并且只能用一次，那么這9個數字最多能組成多少個質數?【分析】 要使質數個數最多，我們盡量組成一位的質數，有2、3、5、7均為一位質數，這樣還剩下1、4、6、8、9這5個不是質數的數字未用有1、4、8、9可以組成質數41、89，而6可以與7組合成質數67所以這9個數字最多組成了2、3、5、41、67、89這6個質數【練習4】 在放暑假的8月份，小明有五天是在姥姥家過的。這五天的日期除一天是合數外，其它四天的日期都是質數。這四個質數分別是這個合數減去1

14、，這個合數加上1，這個合數乘上2減去1，這個合數乘上2加上1。問：小明是哪幾天在姥姥家住的？【分析】 由題意可知這個合數最大是16，16以內相差2的質數有3和5、5和7、11和13，那么對應合數是4，6，12。經檢驗這個合數是6，四個質數分別是5，7，11，13。【練習5】 若將17拆成若干個的質數之和，使得這些質數的乘積盡可能大，那么這個最大的乘積是多少？【分析】 根據整數拆分原則：多拆3，少拆2，不拆1拆分后乘積最大。若要使17拆成的不同質數的乘積盡可能大，應該將17分解為5個3和1個2，所以最大乘積是333332=486。對于此類整數分拆的題，可以適當歸納一下：當這個數是3的倍數時，全部

15、拆成3；當這個數除以3余1時，可拆成若干個3和兩個2，如16可拆成4個3和兩個2；當這個數除以3余2時，可拆成若干個3和一個2。【練習6】 三個連續自然數的乘積是，求這三個數是多少？【分析】 分解質因數：，可知這三個數是、和。設定目標美國汽車大王亨利福特，在12歲的那一年，隨著父親駕著馬車到城里，偶然間見到一部以蒸汽做動力的車子，他覺得十分驚奇，并在心中想著：既然可以用蒸汽做動力，那么用汽油應該也可以，我要試試！雖然是個遙不可及的夢想，但是從那時起，他便為自己立下了10年內完成一輛用汽油做動力的車子。 他告訴父親說：“我不想留在農場里當一輩子的農民，我要當發明家！” 然后他就離開家鄉到工業大城

16、底特律去，當一名最基本的機械學徒，逐漸對于機械有了更深入的認識。工作之余，他一直沒有忘記他的夢想，每天勞累地從工廠下班后，仍孜孜不倦地從事他的研發工作。29歲那一年，他終于成功了！在試車大會上，有記者問他說：“您成功的要訣是什么?”福特想了一下說：“因為我有遠大的目標，所以成功！”澳大利亞館澳大利亞將在上海世博會園區內自行建設一座占地面積達4800平方米的國家展館，其主題是“戰勝挑戰：針對城市未來的澳大利亞智能化解決方案”，通過探討環境保護以及城市化和全球化等人類面臨的共同挑戰，以及展示澳大利亞自然風光，向參觀者呈獻“世界上最適宜居住地”澳大利亞如何締造城市建設和自然環境之間可持續發展的和諧。

17、 上期答案：高強在天平的兩端各放上兩個小球，有次品的那段要重一些，肯定要比另一端低。然后，高強在天平的兩端各拿走一個小球，如果這時的天平還是不平衡，仍然一端高一端低，那么天平上低的那端的小球就是次品；如果天平是平衡的，那么從剛才低的那端拿走的小球就是次品。金幣與銀幣在一個國家有一個美麗而聰明的公主，一個王子來向公主求婚。公主聲明要嫁給最聰明的人，為了考驗王子的智慧，公主吩咐仆人端來兩個盆，一個盆裝著10個金幣，另一個盆里則裝著10個銀幣，金幣和銀幣的大小完全一樣。公主讓人把王子的眼睛用布蒙上，然后說：“現在，我要讓人將兩個盆的位置隨意調換，請你隨意選一個盆，并從里面挑出一枚硬幣。如果你選中的是

18、金幣，我就嫁給你；如果你選中的是銀幣，我不但不會嫁給你，還要將你趕出宮殿。”王子想了想，問道：“在蒙上眼睛之前，我能不能任意調換盆里的硬幣組合呢？”“當然可以。”公主同意了。 王子應該怎樣調換硬幣，娶到公主的把握才能最大呢？ 動物中的數學“天才”蜜蜂蜂房是嚴格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱錐形的底，由三個相同的菱形組成。組成底盤的菱形的鈍角為109度28分，所有的銳角為70度32分，這樣既堅固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，誤差極小。丹頂鶴總是成群結隊遷飛，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精確地計算還表明“人”字形夾角的一半即每邊與鶴群前進方向的夾角為54度44分8秒！而金剛石結晶體的角度