1、1(1) 點電荷的場強點電荷的場強02041rrqE0221041rrqqF庫侖定律庫侖定律0qFE電場強度電場強度(2) 場強疊加原理場強疊加原理nEEEE21電場強度的計算電場強度的計算復復 習習(3) 電荷連續分布的電荷連續分布的 帶電體的電場帶電體的電場)(30)(4qqrrdqEdE)(體分布體分布dVdq )(面分布面分布dSdq )(線線分分布布dldq 電電荷荷分分布布23高斯高斯（CarlFriedrichGauss，17771855） 德國數學家、天文學德國數學家、天文學家、物理學家家、物理學家高斯在數學上的建樹頗高斯在數學上的建樹頗豐，有豐，有 “數學王子數學王子” 美稱

2、。美稱。 因家境貧寒，父親靠短工為生，在一位貴族資因家境貧寒，父親靠短工為生，在一位貴族資助下與助下與17951798年入格丁根大學學習。年入格丁根大學學習。 1777年年4月月30日生于布倫日生于布倫瑞克。童年時就聰穎非凡，瑞克。童年時就聰穎非凡，10歲歲發現等差數列公式而發現等差數列公式而令教師驚嘆。令教師驚嘆。4 大學一年級（大學一年級（19歲歲）時就解決了幾何難題：）時就解決了幾何難題：用直尺與圓規作正十七邊形圖。用直尺與圓規作正十七邊形圖。1799年年以論文以論文所有單變數的有理函數都可以解成一次或二次所有單變數的有理函數都可以解成一次或二次的因式這一定理的新證明的因式這一定理的新證

3、明獲得博土學位。獲得博土學位。 1807年年起任格丁根大學數學教授和天文臺臺起任格丁根大學數學教授和天文臺臺長，一直到逝世。長，一直到逝世。1838年年因提出地球表面任一點因提出地球表面任一點磁勢均可以表示為一個無窮級數，并進行了計算磁勢均可以表示為一個無窮級數，并進行了計算，從而獲得英國皇家學會頒發的科普利獎章。，從而獲得英國皇家學會頒發的科普利獎章。 1855年年2月月23日在格丁根逝世。日在格丁根逝世。5(1)物理學和地磁學：物理學和地磁學：關于靜電學、溫差電和摩擦關于靜電學、溫差電和摩擦電的研究、利用絕對單位（長度、質量和時間）法則量電的研究、利用絕對單位（長度、質量和時間）法則量度非

4、力學量以及地磁分布的理論研究。度非力學量以及地磁分布的理論研究。(2)光學光學 ：利用幾何學知識研究光學系統近軸光線利用幾何學知識研究光學系統近軸光線行為和成像，建立高斯光學。行為和成像，建立高斯光學。(3)天文學和大地測量學中：天文學和大地測量學中：如小行星軌道的計算，如小行星軌道的計算，地球大小和形狀的理論研究等。地球大小和形狀的理論研究等。(4)試驗數據處理：試驗數據處理：結合試驗數據的測算，發展了結合試驗數據的測算，發展了概率統計理論和誤差理論，發明了最小二乘法，引入高概率統計理論和誤差理論，發明了最小二乘法，引入高斯誤差曲線。斯誤差曲線。 (5)高斯還創立了電磁量的絕對單位制。高斯還

5、創立了電磁量的絕對單位制。高斯高斯長期從事于數學并將數學應用于物理學、長期從事于數學并將數學應用于物理學、天文學和大地測量學等領域的研究，天文學和大地測量學等領域的研究，主要成就：主要成就：6規定規定：1、電場線、電場線 ( Electric Field Line ) （電場的幾何描述）（電場的幾何描述） 2）通過垂直于電場方向單位面積的電場線條數等通過垂直于電場方向單位面積的電場線條數等 于該點電場強度的于該點電場強度的。 1）曲線上每一點的切線方向表示該點場強的曲線上每一點的切線方向表示該點場強的； dSdNE/EdSE電場線密集的地方場強大。電場線密集的地方場強大。電場線稀疏的地方場強小

6、，電場線稀疏的地方場強小，dS7+8+9+10qq211+ + + + + + + + + + + + 12電場線的特性電場線的特性 1） 電場線起始于正電荷電場線起始于正電荷(或無窮遠處或無窮遠處)， 終止于負電荷，終止于負電荷，不會不會在沒有電荷處在沒有電荷處中斷中斷； 2） 電場線不相交。電場線不相交。 3） 靜電場電場線不閉合。靜電場電場線不閉合。 電場線的這些性質是由電場線的這些性質是由靜電場的基本性靜電場的基本性質質和和場的單值性場的單值性決定的。可用靜電場的基本性決定的。可用靜電場的基本性質方程加以證明。質方程加以證明。13（Electric Flux）定義：定義：通過電場中某一

7、通過電場中某一曲面的電場線數，叫做曲面的電場線數，叫做通過這個面的通過這個面的電通量電通量。 均勻電場均勻電場 ， 垂直平面垂直平面 SEESeES cos 均勻電場均勻電場 ， 與平面夾角與平面夾角EES ESenSS=ESnSE，14E 非均勻電場非均勻電場，S 為任意曲面為任意曲面SSEdcosdee SSEdeSEddenSS ddSd為面元矢量為面元矢量dS 有兩個法線方向，有兩個法線方向，d 可正可負。可正可負。En為通過為通過 S 面的電通量。面的電通量。15E1dS22E11ESSSESEdcosde EdsSEcosdde0d,2e220d,2e11 為為封閉曲面封閉曲面S閉

8、合面上各面元的閉合面上各面元的外法線方向為正向外法線方向為正向。表示穿出與穿入閉合曲面的電場線的條數表示穿出與穿入閉合曲面的電場線的條數之差，也就是凈穿出閉合曲面的電場線的總條數。之差，也就是凈穿出閉合曲面的電場線的總條數。e電場線穿電場線穿出出閉合面為閉合面為正正通量，通量，電場線穿電場線穿入入閉合面為閉合面為負負通量。通量。2dS16解：解：下下右右左左后后前前eeeeee下下后后前前eee 0dsSE左左左左左左左左ESESsSEcosd e左左右右右右右右ESESsSE cosd e0 eeeeee下下右右左左后后前前例：例：一個三棱柱體處在電場強度一個三棱柱體處在電場強度 的的勻強電

9、場中。勻強電場中。求：求：通過此三棱柱體表面的電通量。通過此三棱柱體表面的電通量。1CN200iExyzEonnn1718二、靜電場中的高斯定理二、靜電場中的高斯定理（Gauss Law）niiSqSE10e1d內內 在真空中在真空中的靜電場內，的靜電場內，通過任一通過任一閉合閉合曲面的電曲面的電場強度通量，等于場強度通量，等于該曲面所包圍的該曲面所包圍的所有電荷的代數所有電荷的代數和除以和除以 。0（與（與面外面外電荷無關，電荷無關，稱為稱為）請思考：請思考：1 1）高斯面上的高斯面上的 與那些電荷有關與那些電荷有關 ？ Es2 2）哪些電荷對閉合曲面哪些電荷對閉合曲面 的的 有貢獻有貢獻

10、？e高斯定理可用高斯定理可用庫侖定律庫侖定律和和場強疊加原理場強疊加原理導出。導出。1、高斯定理、高斯定理19高斯定理的導出高斯定理的導出dS結果與球面半徑無關，結果與球面半徑無關，即以點電荷即以點電荷q 為中心的任一球為中心的任一球面，不論半徑大小如何，通過球面的電通量都相等。面，不論半徑大小如何，通過球面的電通量都相等。E204rqE 022044qrrq0cosdSESdESSeSSdSrqdSE2041）點電荷位于球面點電荷位于球面 中心中心SSr+ +q202）點電荷在任意閉合曲面點電荷在任意閉合曲面 內內S 和和 包圍同一個點電荷。由于電場線的連續性，包圍同一個點電荷。由于電場線的

11、連續性，通過兩個閉合曲面的電場線的數目是相等的，所以通過兩個閉合曲面的電場線的數目是相等的，所以SS0qSdEeSeqSS通過通過 的電通量：的電通量：S即：即：通過任一個包圍點通過任一個包圍點電荷的閉合曲面的電通電荷的閉合曲面的電通量與曲面無關，結果都量與曲面無關，結果都等于等于0qR21q2dS2E0dd111SE0dd222SE0dd211dS1E3）點電荷在閉合曲面之外點電荷在閉合曲面之外0SeSdE22iq1q2q1kqnq4）在點電荷系的電場中，在點電荷系的電場中，通過任意閉合曲面的電通量通過任意閉合曲面的電通量nkkiiEEEEEE11面內電荷產生面內電荷產生面外電荷產生面外電荷

12、產生SeSdE SiSdE00001qqk)(內內iq01)()(外外內內iSiSSdESdE )(內內iq)(內內iSeqSdE01ESd23對連續帶電體，高斯定理為：對連續帶電體，高斯定理為：表明：表明：電力線從正電荷發出，穿出閉合曲面，電力線從正電荷發出，穿出閉合曲面，所以所以正電荷是靜電場的源頭正電荷是靜電場的源頭。表明：表明：有電力線穿入閉合曲面而終止于負電荷，有電力線穿入閉合曲面而終止于負電荷，所以所以負電荷是靜電場的尾負電荷是靜電場的尾。dqSdES01 00eiq00eiqniiSqSE10e1d內內 高斯定理高斯定理靜電場是有源場。靜電場是有源場。說明：說明：24niiSqS

13、E10e1d 高斯定理高斯定理總總 結結iq1q2q1kqnqESd1）高斯面上的電場強度高斯面上的電場強度為為所有所有內外電荷的總電場強度。內外電荷的總電場強度。2）僅高斯面僅高斯面內內的電荷對高斯面的電場強度的電荷對高斯面的電場強度通量通量有貢獻。有貢獻。4）反映了靜電場的基本性質反映了靜電場的基本性質靜電場是靜電場是有源場。有源場。3）穿進穿進高斯面的電場強度通量高斯面的電場強度通量為負為負，穿出為正穿出為正。正電荷是發出電場線的源頭，負電荷是吸收電場線的閭尾。正電荷是發出電場線的源頭，負電荷是吸收電場線的閭尾。25問題：問題：如果高斯面上如果高斯面上 E 處處為零，則該面內必處處為零，

14、則該面內必無無凈凈電荷。電荷。2）如果高斯面內無電荷，則高斯面上如果高斯面內無電荷，則高斯面上 E 處處為零。處處為零。如果高斯面內無電荷，則高斯面上如果高斯面內無電荷，則高斯面上 E 不一定為零不一定為零。3）如果高斯面上如果高斯面上 E 處處不為零，則該面內必有電荷。處處不為零，則該面內必有電荷。如果高斯面上如果高斯面上 E 處處不為零，則該面內不一定有電荷。處處不為零，則該面內不一定有電荷。4）高斯面內的電荷代數和為零時，則高斯面上各點的高斯面內的電荷代數和為零時，則高斯面上各點的 場強一定為零。場強一定為零。 高斯面內的電荷代數和為零時，則高斯面上各點的高斯面內的電荷代數和為零時，則高

15、斯面上各點的 場強不一定處處為零。場強不一定處處為零。)(1內內sioSqSdE 1）如果高斯面上如果高斯面上 E 處處為零，則該面內必無電荷處處為零，則該面內必無電荷。261S2S3Sqq01e1dqSES02e03eq 在點電荷在點電荷 和和 的靜電場中，做如下的三的靜電場中，做如下的三個閉合面個閉合面 求求通過各閉合面的電通量。通過各閉合面的電通量。,321SSSqq討論討論 將將 從從 移到移到2qABePs點點 電場強度是否變化電場強度是否變化？穿過高斯面穿過高斯面 的的 有否變化有否變化？2q2qABs1qP*27例：例：一點電荷位于邊長為一點電荷位于邊長為 a 的立方體的頂角上，

16、的立方體的頂角上，求：求：通過該立方體表面總的電通量。通過該立方體表面總的電通量。解：解： 頂角所在的三個面上的通量為零。頂角所在的三個面上的通量為零。其余三個面上直接計算困難其余三個面上直接計算困難考慮用考慮用 8 個這樣的立方體個這樣的立方體將點電荷擁在中心。將點電荷擁在中心。其外表面上的電通量為：其外表面上的電通量為：由對稱性：由對稱性：0324eq SeSdE0q28)(內內iSeqSdE01如均勻帶電的球體、球面、球殼。如均勻帶電的球體、球面、球殼。如均勻帶電的長直柱體、柱面。如均勻帶電的長直柱體、柱面。如均勻帶電的無限大平面、平板。如均勻帶電的無限大平面、平板。 高斯定理的一個重要

17、應用是：高斯定理的一個重要應用是： 計算帶電體周圍電場的電場強度。計算帶電體周圍電場的電場強度。常見的具有對稱性分布的源電荷有：常見的具有對稱性分布的源電荷有：求解的關鍵是選取適當的高斯面。求解的關鍵是選取適當的高斯面。 只有在場強分布具有一定的只有在場強分布具有一定的對稱性對稱性時，才能比時，才能比較方便應用高斯定理求出場強。較方便應用高斯定理求出場強。291）分析場強分布的對稱性分析場強分布的對稱性，找出場強的方向，找出場強的方向和場強大小的分布。和場強大小的分布。2）選擇適當的高斯面選擇適當的高斯面，并寫出通過該高斯面，并寫出通過該高斯面的電通量。的電通量。3）求出高斯面所包圍的電量求出

18、高斯面所包圍的電量。4）按高斯定理按高斯定理求出場強求出場強。 用高斯定理計算場強的步驟：用高斯定理計算場強的步驟：)(內內iSeqSdE0130如何選取高斯面：如何選取高斯面：2）高斯面必須通過所求的場點；高斯面必須通過所求的場點；3）高斯面的形狀必須簡單規則，以便于計算穿高斯面的形狀必須簡單規則，以便于計算穿過該面的電通量。過該面的電通量。4）使高斯面上各點的場強大小相等，方向與高使高斯面上各點的場強大小相等，方向與高斯面法線方向一致。斯面法線方向一致。 或或高斯面上某一部分各點的場強方向與高斯面法高斯面上某一部分各點的場強方向與高斯面法線方向垂直，該部分的通量為零。而另一部分各點的線方向

19、垂直，該部分的通量為零。而另一部分各點的場強大小相等，方向與高斯面法線方向一致。場強大小相等，方向與高斯面法線方向一致。1）高斯面必須是高斯面必須是閉合曲面；閉合曲面；)(內內iSeqSdE0131注意注意 高斯定理在任何電荷分布情況下都成立，但高斯定理在任何電荷分布情況下都成立，但只有少數幾種高度對稱電荷分布的系統，其場強只有少數幾種高度對稱電荷分布的系統，其場強才能用高斯定理簡單地計算出來。才能用高斯定理簡單地計算出來。這是因為：這是因為： 已知電荷分布，利用高斯定理求場強，已知電荷分布，利用高斯定理求場強，意味著要解上面的意味著要解上面的積分方程積分方程！ 但如果電荷分布具有的對稱性，能

20、使場強這但如果電荷分布具有的對稱性，能使場強這個物理量從積分號下提出來，左面只剩下面積積個物理量從積分號下提出來，左面只剩下面積積分，問題就簡單地解決了。分，問題就簡單地解決了。)(內內iSeqSdE0132OR+r1Sr2s例：均勻帶電球面的電場強度例：均勻帶電球面的電場強度 一半徑為一半徑為 , 均勻帶電均勻帶電 的的薄球殼（面）。薄球殼（面）。求：求：球面內外任球面內外任意點的電場強度。意點的電場強度。RQ解：解：均勻帶電球面的電場分布具均勻帶電球面的電場分布具有球對稱性。有球對稱性。由高斯定理：由高斯定理：SEdS cos0/qi內內球對稱時的高斯定理可寫為：球對稱時的高斯定理可寫為：

21、內內ioqrE14224 rE 取半徑取半徑 r 的同心球面為高斯面，的同心球面為高斯面，高斯面上場強大小相等，方向與面元高斯面上場強大小相等，方向與面元一致。一致。33OR+0d1SSE0E02dQSESr1S20 4rQE 02 4QErr2s20 4RQrRoE（1）Rr 0Rr（2）內內ioqrE14234例：例：均勻帶電球體，已知均勻帶電球體，已知 q、R。求：求：任意點的電場強度任意點的電場強度。解：解：RqEr R 時：時：電量電量 qqi由高斯定理由高斯定理024qrE場強場強204rqE 電通量電通量r24rESdESe36RqR204Rqo均勻帶電球體均勻帶電球體場強場強大小分布曲線大小分布曲線204,rqERr304,RqrERrorE37例：例：兩同心均勻帶電球面，半徑為兩同心均勻帶電球面，半徑為 R1 和和 R2 ，分別帶電分別帶電 q1 和和 q2 。求：求：空間電場分布。空間電場分布。 解：解：由對稱性可知，電場方向是沿徑向向外的。由對稱性可知，電場方向是沿徑向向外的。24rqEo 內內;42rEo 224:rERro q1q1+q2R R1 :由球對稱時的高斯定理：由