1、第一型線積分與第一型線積分與面積分面積分第一型線積分與第一型線積分與面積分面積分6.16.1第一型線積分第一型線積分1 1曲線形物體的質量曲線形物體的質量設曲線形物體在設曲線形物體在 oxy面上是一段面上是一段曲線弧曲線弧 L， 它的端點為它的端點為 A、B，其線密度為連續函數，其線密度為連續函數),(yxf， 求該物體的質量求該物體的質量 m. oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L分割分割,121inlMMM ,),(iiil .),(iiiisfm 求和求和.),(1 niiiisfm 取極限取極限.),(lim10 niiiidsfm 近似近似,max 1inisd 令令

2、2 2第一型曲線積分的定義第一型曲線積分的定義 設設 L 為為oxy面上的一條光滑（或分段光滑）曲線弧，面上的一條光滑（或分段光滑）曲線弧， ),(yxf在在 L 上上有界有界. .任取點列任取點列121 , , , nMMM，把，把 L 分為分為小小 n段段) , , 2 , 1(nili ，并以，并以iils 表示表示 的弧的弧 長長. . 任取任取iiis ),(，作和式，作和式 ) ,( 1 niiiisf ，設，設 max1inisd ，如果當，如果當時時 0d，和式的極限總存在，和式的極限總存在， 則稱此極限為則稱此極限為),(yxf在曲線弧在曲線弧 L 上上的的第一型曲線積分第一

3、型曲線積分 niiiidLsfsyxf10 ),(limd ),( 被積函數被積函數弧長元素弧長元素積分弧積分弧第一型曲線積分的性質第一型曲線積分的性質. d),(d),(d),( ),( LLLsyxgsyxfsyxgyxf , d),(d),(d),( 21 LLLsyxfsyxfsyxf則有則有為常數為常數又又可積可積設設 , , , , gf)( 1 線性性質線性性質性質性質則有則有首尾相接成首尾相接成與與設設 , 21LLL)( 2 可加性可加性性質性質. d 的的長長度度LsL 3 性質性質. d),( 21 LLLsyxf簡記為簡記為.d),( ),( LsyxfLyxf為為上上

4、對對弧弧長長的的曲曲線線積積分分記記在在閉閉曲曲線線第一型曲線積分的計算第一型曲線積分的計算,d)()(d22ttytxs .d)()()(),(d),(22ttytxtytxfsyxfL .d)(1),(d),( ,d)(1d , , )( )( 22yyxyyxfsyxfyyxsydycyxxLLdc 為為參參數數則則取取給給出出由由方方程程若若.d)(1)(,d),( ,d)(1d , , ) ( )( . 222xxyxyxfsyxfxxysxbxaxyyLLba 為參數為參數則取則取給出給出由方程由方程若若 d)()(sin)(,cos)(d ),(22 fsyxfLttztytxt

5、ztytxfszyxfLd)()()()(),(),(d ),(222 ,d41d , ,10 :22xxsxyxxyBO 解解：BOABOAL oxABy1 x2xy 0 y,dd , 0 ,100 :xsyxyOA ,dd , ,101 :ysyyyxAB xxxyyxd41dd 01 0 21 0 1 0 ).755(121)155(121320 oxABy1 x2xy 0 y OAABBOLsyd 故故yoxAB,dd)(cos)sin(d22tttts 2422dcosdttesxeLyx.)221(e ,cos 22texeyx 被被積積函函數數.) 22 ,22 ( 1 ) 1

6、0, ( ,d . 22222處處的的一一段段劣劣弧弧到到沿沿圓圓周周是是從從其其中中計計算算例例 ByxALsxeLyx解法解法 2 2 L的極坐標方程為的極坐標方程為 1 ，24 ， ,ddd22 s.)221(dcosd 2422eesxeLyx yoxAB,cos 22 exeyx 被被積積函函數數 1 22221d1d22yyyesxeLyxyoxAB解法解法 3 3 L：21 yx ，122 y， .)221(e ,12yyxy ,1dd1d22yyyxsy ,1 222yexeyx 被被積積函函數數 .1 , 142)21(22xzyx).20( .cos221 ,sin2 ,c

7、os221 ttztytx其參數方程為其參數方程為. 1 29 , d)( . 3 222222的的交交點點與與平平面面為為球球面面其其中中計計算算例例 zxzyxLszyxL,d2d)sin2()cos2()sin2(d222ttttts LLsszyxd 29 d)( 222故故.18d229 20 t LLsxysd 2d12 Lsxy d)212(L關于關于y軸對稱，被積函數軸對稱，被積函數xy關于關于x為奇函數為奇函數 .12012aa （代入（代入L的方程）的方程） Lsxyyxd)243(22. d)243( , , 134 . 42222的的值值求求其其周周長長為為為為橢橢圓圓設設例例 LsxyyxayxL而而平平面面0 zyx通通過過原原點點， . 0d )(31ddd szyxsysxszLLLLszyxszsxsyLLLLd )(31ddd222222 LsRd312,3223132RRR .32ddd)( 322RsyszsyzLLL 故故22200()d3si