1、備戰2021年九年級中考復習數學高分沖刺訓練幾何綜合：四邊形綜合（五）1如圖，在ABC中，ACB90°，A30°，BC6cm，CD是中線點P從點C出發以4cm/s速度沿折線CDDB勻速運動，到點B停止運動過點P作PQAC，垂足為點Q，以PQ為一邊作矩形PQMN，且MQPQ點M，C始終位于PQ的異側，矩形PQMN與ACD的重疊部分面積為S（cm2），點P的運動時間為t（s）（1）當點N在邊AB上時，t s（2）求S與t之間的函數關系式（3）當矩形PQMN與ACD的重疊部分為軸對稱圖形時，直接寫出t的取值范圍2如圖，在RtABC中，ACBC4，ACB90°，正方形BD

2、EF的邊長為2，將正方形BDEF繞點B旋轉一周，連接AE、BE、CD（1）請判斷線段AE和CD的數量關系，并說明理由；（2）當A、E、F三點在同一直線上時，求CD的長；（3）設AE的中點為M，連接FM，試求線段FM長的最大值3如圖所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，G、A、B在同一直線上，點E在AD上，連接DG，BE（1）證明：BEDG；（2）發現：當正方形AEFG繞點A旋轉，如圖所示，判斷BE與DG的數量關系和位置關系，并說明理由；（3）探究：如圖所示，若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，且AD2AB，AG2AE時，判斷BE與DG的數量關系和位置關系是否與（2）的結論相同，并說明

3、理由4如圖1，ABCD為正方形，將正方形的邊CB繞點C順時針旋轉到CE，記BCE，連接BE，DE，過點C作CFDE于F，交直線BE于H（1）當60°時，如圖1，則BHC ；（2）當45°90°，如圖2，線段BH、EH、CH之間存在一種特定的數量關系，請你通過探究，寫出這個關系式： （不需證明）；（3）當90°180°，其它條件不變（如圖3），（2）中的關系式是否還成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出你認為成立的結論，并簡要證明5四邊形ABCD中，點E是AB的中點，F是AD邊上的動點連結DE、CF（1）若四邊形ABCD是矩形，AD12，CD10

4、，如圖（1）請直接寫出AE的長度；當DECF時，試求出CF長度（2）如圖（2），若四邊形ABCD是平行四邊形，DE與CF相交于點P探究：當B與EPC滿足什么關系時，成立？并證明你的結論6我們把對稱中心重合，四邊分別平行的兩個正方形之間的部分叫“方形環”，易知方形環四周的寬度相等一條直線l與方形環的邊線有四個交點M、M、N、N小明在探究線段MM與NN 的數量關系時，從點M、N向對邊作垂線段ME、NF，利用三角形全等、相似及銳角三角函數等相關知識解決了問題請你參考小明的思路解答下列問題：（1）當直線l與方形環的對邊相交時，如圖1，直線l分別交AD、AD、BC、BC于M、M、N、N，小明發現MM與N

5、N相等，請你幫他說明理由；（2）當直線l與方形環的鄰邊相交時，如圖2，l分別交AD、AD、DC、DC于M、M、N、N，l與DC的夾角為，你認為MM與NN還相等嗎？若相等，說明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函數表示）7定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做神奇四邊形順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形叫做中點四邊形（1）判斷：在平行四邊形、矩形、菱形中，一定是神奇四邊形的是 ；命題：如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，則四邊形ABCD是神奇四邊形此命題是 （填“真”或“假”）命題；神奇四邊形的中點四邊形是 ；（2）如圖2，分別以RtACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形AC

6、FG和正方形ABDE，連接BE，CG，GE求證：四邊形BCGE是神奇四邊形；若AC2，AB，求GE的長；（3）如圖3，四邊形ABCD是神奇四邊形，若AB6，CD，AD、BC分別是方程x2（k+4）x+4k0的兩根，求k的值8如圖，平面直角坐標系中，菱形ABCD的邊長為4，ABC60°，對角線AC與BD的交點E恰好在y軸上，點G是BC中點，直線AG交BD于F（1）點F的坐標為 ；（2）如圖1，在x軸上有一動點H，連接FH，請求出FH+DH的最小值及相應的點H的坐標；（3）如圖2，若點N是直線AC上的一點，那么在直線AG上是否存在一點M，使得以B、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若

7、存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由9如圖，正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E，點F分別在線段OB，線段AB上，且AFOE，連接AE交OF于G，連接DG交AO于H（1）如圖1，若點E為線段BO中點，AE，求BF的長；（2）如圖2，若AE平分BAC，求證：FGHG；（3）如圖3，點E在線段BO（含端點）上運動，連接HE，當線段HE長度取得最大值時，直接寫出cosHDO的值10已知矩形ABCD中，點E為AD上一點（1）連接BE、CE，BCE的平分線與AD交于點H，HG垂直平分BE如圖1，若AE8，BE10，求EHC的面積；如圖2，若ECD30°，求證：BC+CEHC

8、；（2）如圖3，若ABCD6，ADBC8，連接CE，將CDE沿CE翻折，使點D恰好落在對角線AC上的點F處，將AFE繞點A順時針旋轉90°，再沿AB方向向下平移至AFB處（點E與點B重合），將AFB繞著點B順時針旋轉一個角（0°180°），在旋轉過程中，設直線AF分別交直線AC、BC于點P、Q，是否存在這樣的P、Q兩點，使得CPQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出CQ的長度；若不存在，請說明理由參考答案1解：（1）如圖1中，在RtABC中，BC6cm，ACB90°，A30°，AB2BC12cm，ACBC6cm，ADDB，CDAB6cm，PNAC，

9、解得t，故答案為（2）如圖21，當0t時，重疊部分是矩形PQMN，CDAD，AACD30°PQPC×4t2t，MQPQ，SS矩形PQMNt×2t2t2如圖22，當t時，重疊部分是五邊形PQMEF，CQPCcos30°2t，ACBCtan60°6AMACMQCQ6t2t63t，MEAM tan30°（63t）63t，ENMNME2t（63t）5t6，NFEN tan60°（5t6），SS矩形PQMNSENF2t2（5t6）（5t6）t2+30t18如圖3，當t3時，重疊部分是五邊形QMEDFAPAD+DPCD+DP4t，PQA

10、Psin30°2tNPMQPQt，ENNPtan30°t，DPAPAD4t6，SS矩形PQMNSENPSDFP2t2tt（4t6）2t2+12t9（3）觀察圖象可知當0t時，滿足條件，如圖23中，當DEDF時，也滿足條件，可得62t4t6解得t2，綜上所述，滿足條件的t的值為0t或t22解：（1）結論：AECD理由：在RtABC中，ACBC4，ACB90°，ABCEBD45°，ABECBD，四邊形BDEF是正方形，ABC是等腰直角三角形，ABECBD，AECD；（2ACBC4，ACB90°，ABBC4，當A、E、F三點在一直線上時，AFB90&

11、#176;，AF2，如圖1，當AE在AB左上方時，AEAFEF22，AECD，CDAE，如圖2，當AE在AB右下方時，同理，AEAF+EF2+2，CD+，綜上所述，當A、E、F三點在一直線上時，CD的長為或+；（3）如圖3，延長EF到G使FGEF，連接AG，BG，則BFG是等腰直角三角形，BGBF2，設M為AE的中點，連接MF，MF是AGE的中位線，AG2FM，在ABG中，ABBGAGAB+BG，2AG6，FM3，FM的最大值為33解：（1）證明：四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，AEAG，ABAD，BADEAG90°，ABEDAG（SAS），BEDG；（2）BEDG，BEDG

12、如圖1中，四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，AEAG，ABAD，BADEAG90°，BAEDAG，在ABE和DAG中，ABEDAG（SAS），BEDG；ABEADG，延長BE交AD于T，交DG于HATB+ABE90°，ATB+ADG90°，ATBDTH，DTH+ADG90°，DHB90°，BEDG（3）數量關系不成立，DG2BE，位置關系成立如圖2中，延長BE交AD于T，交DG于H四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形，BADDAG，BAEDAG，AD2AB，AG2AE，ABEADG，ABEADG，DG2BE，ATB+ABE90°

13、;，ATB+ADG90°，ATBDTH，DTH+ADG90°，DHB90°，BEDG4解：（1）作CGBH于G，如圖1所示：四邊形ABCD是正方形，CBCD，BCD90°，由旋轉的性質得：CECB，BCE60°，CDCE，BCGECGBCE30°，CFDE，ECFDCFDCE，GCH（BCE+DCE）×90°45°；故答案為：45°；（2）BH+EHCH；理由如下：作CGBE于G，如圖2所示：DCEC，DCFECFHCB+BCG+ECG，BCEC，BCGECG，DCFHCB+2BCG，DCF+H

14、CB2HCB+2BCG90°，HCB+BCG45°，HHCG45°，CGH是等腰直角三角形，CH 2GH，BH+EHBH+BH+BG+EG2GHCH，即：BH+EHCH（3）當90°180°，其它條件不變，（2）中的關系式不成立，BHEHCH；理由如下：作CGBH于G，如圖3所示：同（1）得：BHC45°，CGH是等腰直角三角形，CHGH，BGEGBE，BHEHBG+GHEHBG+EGEHEH2GHCH5解：（1）四邊形ABCD是矩形，ADBC，ABCD，AADC90°AD12，CD10，BC12，AB10點E是AB的中點，

15、AEAB5DECF，DPCDPF90°，DFC+DCF90°，DFC+FDP90°，DCFFDPAADC，CFDDEA，在RtAED中，由勾股定理，得ED13，CF答：CF的長度為；（2）當B+EPC180°時，成立證明：四邊形ABCD是平行四邊形，BADC，ADBC，B+A180°，B+EPC180°，AEPCFPD，FDPEDA，DFPDEA，BADC，B+EPC180°，EPC+DPC180°，CPDCDF，PCDDCF，CPDCDF，即當B+EPC180°時，成立6解（1）在方形環中，MEAD，N

16、FBC，ADBC，在MME與NNF中，MMENNF（AAS）MMNN；（2）法一NFNMEM90°，FNNEMM，NFNMEM，MENF，tan（或）當45°時，tan 1，則MMNN；當45°時，MMNN，則tan（或）法二在方形環中，D90°MEAD，NFCD，MEDC，NFMEMMENNF在RtNNF與RtMME中，sin，cos，即tan（或）當45°時，MMNN；當45°時，MMNN，則tan（或）7解：（1）菱形的對角線互相垂直，菱形是神奇四邊形；ABAD，CBCD，AC是BD的垂直平分線，四邊形ABCD是神奇四邊形；如圖

17、，已知：四邊形ABCD是神奇四邊形，點E，點F，點G，點H分別是AD，DC，BC，AB的中點，點E，點F，點G，點H分別是AD，DC，BC，AB的中點，EFACHG，BDEHFG，四邊形EFGH是平行四邊形，四邊形ABCD是神奇四邊形，ACBD，又EFACHG，BDEHFG，EFEH，四邊形EFGH是矩形，故答案為矩形（2）如圖2，連接CE，BG交于點N，CE交AB于M，四邊形ACFG是正方形，四邊形ABDE是正方形，ABAE，ACAG，CAGBAE90°，GABCAE，GABCAE（SAS），AECABG，AEM+AME90°，ABG+BMN90°，BNM90&

18、#176;，CEBG，四邊形BCGE是神奇四邊形；AC2，AB，BC1，四邊形ACFG是正方形，四邊形ABDE是正方形，AC2，AB，CGAC2，BEAB，GC2CN2+GN2，BE2BN2+NE2，BC2CN2+BN2，GE2GN2+NE2，CG2+BE2BC2+GE2，GE；（3）四邊形ABCD是神奇四邊形，同（2）中的證明方法，可得AD2+BC2AB2+CD2，AB6，CD，AD2+BC241，AD、BC分別是方程x2（k+4）x+4k0的兩根，AD+BCk+4，ADBC4k，AD2+BC241（AD+BC）22ADBC，（k+4）28k41，k15，k25（不合題意舍去），k58解：（

19、1）如圖1中，四邊形ABCD是菱形，ABC60°，ABBCCDAD4，ABCADC60°，CABD，EDCEDA30°，CED90°，ECCD2，ECD60°，EOC90°，CEO30°，OCEC1，OEOC，C（1，0），E（0，），D（3，0），AEEC，BEDE，A（1，2），B（3，2），直線BC的解析式為yx，直線BD的解析式為yx+，AGBC，直線AG的解析式為yx+，由，解得，F（1，）故答案為（1，）（2）如圖11中，過點D作射線DM，使得ODM30°，點點H作HKOM于K，過點F作FJDM于JD（

20、3，0），ODK30°，F（1，），直線DM的解析式為yx，FJDM，直線FJ的解析式為yx+，由，解得，J（，），FJ3，在RtDHK中，KDH30°，KHDH，FH+DHFH+HKFJ，FH+DH3，FH+DH的最小值為3，此時點H的坐標為（，0）（3）如圖2中，過點C作CMBF交AG于M，連接BM，CFABC是等邊三角形，AGBC，BGCG，BFGCMG，BGFCGM，BGFCGM（AAS），BFCM，BFCM，四邊形BFCNM是平行四邊形，當點N與C重合時，四邊形BFNM是平行四邊形，此時N（1，0），M（3，）根據對稱性可知，當點N與N關于點A對稱時，四邊形BFM

21、N是平行四邊形，此時N（3，4），M（5，），如圖3中，當BF是平行四邊形的對角線時，BMAC，直線BM的解析式為yx+5，直線AG的解析式為yx+，由，解得，M（5，0），綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（3，）或（5，）或（5，0）9解：（1）四邊形ABCD是正方形，OAOB，ABOA，點E為線段BO中點，OEBEOBOA，OE2+OA2AE2，且AE，OE2+4OE25，OE1，AFOE1，OBOA2，AB2，BFABAF21；（2）如圖，延長HG交AB于M，四邊形ABCD是正方形，OABOBAOADODA45°，ACBD，AODOBO，AE平分BAC，BAEEAO22.5&#

22、176;，DEA67.5°DAE，ADDEAB，ABAFDEOE，BFDOBO，BFOBOF67.5°，AEOBOF67.5°，AOFEAO22.5°，EGGO，AGGO，AGGE，又ADDE，DMAE，ADGEDG22.5°，AMD67.5°BFO，FGGM，BAEEAO，AGAG，AGHAGM90°，AGMAGH（ASA），GMGH，GFGH；（3）如圖，連接BH，點E在OB上運動，BOH90°，BHEH，當點E與點B重合時，HE的長度有最大值，如圖，過點F作FNBD，AOBODO，ACBD，ABOB，OEAF，BFOBOB（1）OB，ABD45°，FNBD，FNBNOB，DNBDBN2OBOBOB，DFOB，cosHDO10（1）解：如圖1中，連接BH四邊形ABCD是矩形，AD90