1、會計學1大學高數導數與微分大學高數導數與微分2極限反映函數值在某個過程中的變化趨勢。連續性反映函數在某個范圍內是否出現間斷。導數反映對于自變量的變化，函數值的變化快慢。微分反映對于自變量的微小變化，函數值的變化。34解：解：1）先求平均速度）先求平均速度52）再求瞬時速度）再求瞬時速度67891011函數在 點可導的充要條件是在該點的左右導數均存在且相等。0 x12利用導數的定義求導數的一般步驟利用導數的定義求導數的一般步驟131415xxcos)(sin同理：同理：xxsin)(cos3 3、導數的幾何意義、導數的幾何意義xyMyx00,yxN, xfy OT由此可知特別地函數在某點可導與該

2、點存在切線的關系為：可導必有切線，有切線未必可導。17181.函數在某點可導，則在該點必連續。函數在某點可導，則在該點必連續。2.函數在某點連續，在該點未必可導。函數在某點連續，在該點未必可導。函數在某點可導是在該點連續的充分不必要條函數在某點可導是在該點連續的充分不必要條件；函數在某點連續是在該點可導的必要不充件；函數在某點連續是在該點可導的必要不充分條件。分條件。1920212223242526即：反函數的導數等于直接函數導數的倒數。2728即：復合函數對最底層自變量的導數等于最高層變量對中間變量的導數乘以中間變量對最底層自變量的導數。2930例例:求下列函數的導數求下列函數的導數3132

3、3334221169xy)323, 2(例14 求橢圓在點處的切線方程. 求導得：x解：兩端對自變量, 092162yyxyxy169)323, 2(又點位于橢圓上，由導數的幾何意義知：243233xy故所求切線方程為：03843yx即：432xy所求切線的斜率為：3536解：兩邊取對數得：xxylnsinln兩邊對x求導數得： ,sinlncos1xxxxyyxxxxyysinlncosxxxxxyxsinlncossin即：xxxxy4ln3ln2ln1ln21ln1xyycos1解：設，則兩邊取自然對數得：1y在xxxxyy4131211121111則121(1)(2)(3)(4)xxy

4、xx39xxxxxxxxy432141312111211xxxxxxxxxycos43214131211121即：所以：40cossinxatybtt 4例 求橢圓在處的切線方程. ddsin ,cosddxyatbttt 解：因為dcoscot ,dsinttyybtbtxxata 所以4ddtybxa 故,224cos4aaxt224sin4bbytt 4又當時，2222axabby由點斜式得所求切線方程為：02abaybx即：41例19sinst.s ，求tscostssin2 解：44yx sin ,.2sin)(nxyn例20 設求證： 1、微分的定義導數反映的是函數相對于自變量的變

5、化快慢的程度（變化率的大?。?，即： 當 時的極限.微分是討論自變量發生了很小變化的情況下函數改變量 本身的.0 xyxy46引例面積的改變量大小 0 x如圖，正方形金屬薄片受熱發生變化其邊長由 變化到 ，問此薄片的面積改變了多少？ xx0 x2xxx0 xx020 xS 0 x設此薄片的面積為 ，則 是邊長 的函數薄片受熱面積的改變量為：SSx2,Sx202020)(2)(xxxxxxS第一部分稱為 的線性部分，它表示陰影面積，是主要部分；x第二部分為 的高階無窮?。ㄈ?），是次要部分.x0 x其中：xxS020d2Sxx故可以用第一部分近似代替面積的增量，即：稱這個近似值為面積S的微分，記為

6、49yxAoxx()Axf)(050)(lim00 xfxyxxxxfy)(0d(sin2 )yxxxx2cos2d( )dyfxx上式表明函數的微分等于該函數的導數與自變量微分的乘積. 上式兩邊除以 ，得：dxd( )dyfxx注意由微分定義可知，只要求出導數，微分也就求出來了，因此，求微分的問題，可歸結為求導數的問題，故求導法又叫微分法.3、微分的幾何意義函數在某點的微分等于曲線在該點切線的縱坐標的增量。 OxyMN xfy Txx00 xyxPQ dy所以根據函數的和、差、積、商的求導法則，得到函數的和、差、積、商的求微分法則.57 1)d0C 12)ddxxx3)d sincos dx

7、xx4)d cossin dxxx 5)dlndxxaaax6)ddxxeex17)d logdlnaxxxa18)d lndxxx5829)d tansecdxxx210)d cotcscdxxx 11)d secsec tan dxxxx12)d csccsc cot dxxxx 2113)d arcsind1xxx2114)d arccosd1xxx 2115)d arctand1xxx2116)dcotd1arcxxx 591)d()dduvuv2)d()dd ,d()duvuvv uCuCu2dd3)duv uuvvv603）復合函數微分法則( )ddttx又d( )( )dyyfx

8、tt因為d( )( )dyfxtt于是d( )dyfxx所以若 為自變量 的復合函數：)(xfy t)(tx61解：2ddln(1)xye例21 設 ，求2ln(1)xyed . y221d(1)1xxee2221d1xxexe2212 d1xxexxe222d1xxxexe621 31 3dd coscos dxxyexxe1 31 3sin dcos( 3)dxxexxxex 1 3sin3cosdxexxx 解法一：)cos3(sincos3131xxeeyxx1 3dsin3cosdxyexxx 解法二：先求導，再寫出微分表達式1.例22 設 ，求1 3cosxyexd . y即：xx

9、fxfxxfy)()()(0005、微分在近似求值中的應用000( )() ()()f xf xfxxx 642013. 0)(cmRRvv65解：)3606sin( 0330sino360)(sin6sin6xx5076. 036023213606cos6sin66則函數 xf在開區間ba,內至少存在一點，使得： 0f四、中值定理、羅彼塔法則（一）中值定理67ABabyxOCC68解6970CyABab xO(如圖) 從上圖可知:羅爾定理是該定理特例. 71733、柯西中值定理74則至少一點),(ba使得： 其實：拉格朗日定理也是柯西中值定理的特例.75 三個中值定理有從特殊到一般的關系。羅

10、爾定理可視為拉格朗日中值定理的特例，而拉格朗日中值定理又可視為柯西中值定理的特例，但同時柯西中值定理也可視為拉格朗日中值定理的參數方程形式。因此，在應用中拉格朗日中值定理更為廣泛 76,sinlim0 xxx等等xxxcotlnlim0如：未定式,00的極限 定理2.7 若稱此求函數極限的法則為洛必達法則 78更進一步地:bxaxxsinsinlim0解babxbaxaxcoscoslim0)(sin)(sinlim0bxaxx79解12333lim221xxxx原式解203cos1limxxx原式23266lim1xxx12333lim221xxxx61xxx6sinlim080如:xxxx

11、xsinsinlimlimxxxxxeeee答案：1811111111 )(00ln10010ln0*ln00eee 解nxxx1lnlim00原式101limnxnxxnxnx1lim00lim0nxnx83解xxxxcossincos1lim2原式xxxcossin1lim20sincoslim200 xxx84解xxxeln00lim0原式10lnlim0 xxxe210limxxxe1lim0 xxe注意：在利用羅彼塔法則的同時，也利用一些別的方法，如等價無窮小或重要極限等，可使運算變得更簡捷. 10 e85解30tanlimxxxx原式2200031seclimxxxxxxx6tan

12、sec2lim200031tanlim310 xxx86在使用洛必達法則求未定式的極限時，需要注意：1)每次使用都需檢驗是否滿足洛必達法則的條件；2)隨時化簡，并注意同其它求極限方法并用；如圖： xyOxyO則有如下定理：89理解90 xy3xy O91解 92解93A.求函數的定義域，找出無定義的點； B.求函數的導數，找出導數為零的點和不可導點；C.用這些點將定義域分成部分區間； D.在每一部分區間內討論函數導數的正負，從而確定函數在該區間內的單調性. 943395這是一種非常典型的題目，須掌握其方法.96(二）函數極值、最值 971）極值是一個局部概念，是函數局部范圍內的最值，而不是區間

13、或定義域內的最值； 2）極值不一定唯一； 3）極值點可能是間斷點，不可導點，或導數為零的點，但不可能為端點（如圖） 98Oxyab xfy 導數為零的點稱為函數的駐點. 此外，從圖中還可以看出：在函數取得極值的點處，若有切線（可導）的話，該切線是水平的；但是，有水平切線的點未必是極值點，這就有： ABCDEFGHIJ990)()(lim)(00000 xxxfxfxfxx100那么如何判斷某點是否取得極值呢？101x0 xyO102 3139632xxxxxf1033104注意若二階導不存在，或為零，或計算太復雜時，則用第一充分條件或定義判定. 10522) 1(6)(xxxf) 15)(1(

14、6)(22 xxxf待續續107總結求函數極值的步驟為： 方法： 2、最值109 ) 1)(2(612662xxxxxf解：110在實際應用中，往往根據問題的性質可以確定函數在其定義域內存在最值.此時如果函數在其定義域內只有一個駐點，那么不必討論該點是不是極值點，就可斷定函數在該點的函數值就是所要求的最值. 111112可見：xy1x2xO1x2xyO（三）函數的凹凸性和拐點113114凸的115曲線凹凸性的判定方法：116117連續曲線凹凸性的分界點稱為曲線的拐點. 拐點只能是二階導數為0的點或二階導不存在的點.118總結判定函數凹凸性的步驟：（1）求定義域；（2）求二階導等于0的點和不存在

15、的點， 并用這些 點將定義域分成若干開區間；（3）判別二階導在每個開區間內的符號，從而確定 曲線的凹凸性，同時也確定這些點是否拐點. 1191203121曲線的漸近線有三種：水平漸近線、鉛直漸近線、斜漸近線. （四）函數曲線的漸近線122112lim)(lim22xxxxxfaxx212lim12lim)(lim2xxxxxxaxxfbxxx又（五）函數作圖的一般步驟127128極小拐點極大+ + + +0- - - -+ +0- - - -0+ +xyy 圖形y1313131,31,311 ,31, 1凸凸凹凹129（5）273231xy，271631xy，01xy， （4）130 xyO2732,312716,3185,23111131xyO2732,312716,3185,23111132xyO2732,312716,3185,23111133123xxxyxyO2732,312716,3185,23111134135拐點極大+0-0+-xyy 圖形y3-363,3 , 36 , 3, 6凸凸凸凹136yx3lim又137xyO31138139140 1)d0C 12)ddxxx3)d sincos dxxx4)d cossin