1、第四章分離變量法一、分離變量法的精神和解題要領1 .分離變量法的精神將未知函數按多個單元函數分開，如，令u(x,y,z,t)X(x)Y(y)Z(z)T(t)從而將偏微分方程的求解問題轉化為若干個常微分方程的求解2 .分離變量法的解題步驟用分離變量法求解偏微分方程分 4 步(1)分離變量：將未知函數表示為若干單元函數的乘積，代入齊次方程和齊次邊界條件，得到相應的特值問題和其它常微分方程。(2)求解特征值問題(3)求解其它常微分方程，并將求得的解與特征函數相乘，得到一系列含有任意常數的分離解(如 un,n1,2,)。(4)疊加(如uUn)用初始條件和非齊次邊界條件確定系數(即任意常數)，從而得到偏

2、微分方程定解問題的解。3 .特征值問題在用分離變量法求解偏微分方程的定解問題時， 會得到含有參數的齊次常微分方程和齊次邊界條件(或自然邊界條件)組成的定解問題，這類問題中的參數，必須依據附有的邊界條件取某些特定的值才能使方程有非零解。這樣的參數，稱為特征值，相應的方程的解，稱為特征函數，求解這類特征值和相應的特征函數的問題，稱為特征值問題。常涉及到的幾種特征值問題：(1)X(x)X(0)X(x)0X(l)0特征值22n特征函數 Xn(x)Cn-nsinxln1,2,X(x)X(x)0X(0)X(l)0特征值(np)2,特征函數Xn(x)Cncosnpxn0,1,2,(3)X(x)X(x)0X(

3、0)X(l)0特征值1n-n(2-)2,特征值函數Xn(x)Cnsin-xn0,1,2,(4)X(x)X(x)0X(0)X(l)04 .有界弦的自由振動解考慮長為 l 兩端固定弦的自由振動2UttaUxx(0 xl,t0)u(0,t)u(l,t)0(t0)ut0(x)Utt0(x)0 xl1.分離變量：令 u(x,t)x(x)T(t)則原偏微分方程化為：2XT(t)a2X(x)T(t)a2TX上面等式左端是 t 的函數，而右端是 x 的函數，而 t 和 x 是相互獨立的，因此要上式成立，故只有兩邊都是常數，此等式才成立。TXaT三2即 TaT0,XX0代入邊界條件X(0)T(t)0X(l)T(

4、t)0由于 T(t)是 t 的任意函數，它不可能恒為零，故只可能有X(0)X(l)02.特征值問題考慮定解問題X(x)X(x)0(1)X(o)X(l)0討論：若(i=0,則(1)的解為 X(x)c1xc2由 X(0)0 得 c20,由 X(l)0 得 CI0 于是X(x)0可見不能為零若科0,則方程(1)的解為特征值為(5)特征值11n-n-(2)2,特征值函數Xn(x)Cncosxn0,1,2,)()02)()2m,特征函數m()AmcosmBmSinmm0,1,2,X(x)c1exc2exGc20由邊界條件得c112lc1ec2e0解之得 ci=c2=0,于是 X(x)0 可見(1 不能大

5、于 0。若科0,記 w=-k2則(1)的解為X(x)cisinkxc2coskx由邊界條件有c20Gsinkl0因為 c2=0,故 ci不能為零，故只能是 sinkl=0。這要求 kl=nnn=0,1,2,但 n 不能為零，否則 k=0,又得到零解，而且土 n 給出的兩個解只相差一個負號，即線性相關，故Knn=1,2,綜上，得到特征值為k2(n)2n=1,2,其相應的特征值函數為Xn(x)Cnsin+xn=1,2,3。 .關于 T(t)的方程的通解n2將特征值(丁)2代入至于 T(t)的方程得T(t)(*-)2T(t)0其通解為：anna.Tn(t)Ancos1Bnsin1ll其中 An和 B

6、n為任意常數nanan故un(x,t)Xn(x)Tn(t)(AncosptBsinpt)sinx,n1,2,.4。.有界弦的自由振動解由疊加原理有_na_nanu(x,t)un(x,t)Xn(x)Tn(t)(AncostBsint)sinxBn(x)sinn-xdx0u(x,0)(x)Ut(x,0)(x)nAnsinx1l、n.)sindnx()sin丁dNnsin彳一x振動的簡諧振動的疊加。例 1：求下解問題令 AnNncosnBnNnsinn而則：u(x,t)Nncos(ntn)sinn-x1l這表明有界弦的振動是一系列以不同的固有頻率n,不同的初相位n,不同的振幅(x)(x)Bnn1na

7、.nxsin這恰好是(x),(x)的正弦展開，于是:AnBnUn(x,t)Nn.nxsincos(ntn)解：此題屬于有界弦的振動,uttu(0,t)U(x,0)Uxx0u(,0)3sinxUt(x,0)0(2)3sinx,(x)0于是有:U(x,t)nana.(AncostBnsint)sin1ll(AncosnatBnsinat)sinnx1其中：An/、 n,2(x)sin-xdx03sinxsinnxdxu(x,t)3cosatsinx更簡單的方法：u(x,t)(AncosnatBnsinnat)sinnxn1且 u(x,0)3sinxut(x,0)0Ansinnx3sinxn1Bnn

8、a0n13n1由 fourier 級數展開形式的唯一性知 AnBn0n0例 2:求定解問題utDuxx0 x,t0u(0,t)u(,0)0u(x,0)sinx2sin3x解：沒有現成的公式可套，直接采用分離變量法求解(1)分離變量：u(x,t)X(x)T(t)則有：X(x)T(t)DX(x)T(t)即JJ12DT(t)X(x)于是原來的偏微分方程化為兩個常微分方程X(x)x(x)0T(t)DT(t)0由邊界條件：X(0)T(t)X()T(t)0 得 X(0)X()0(2)求解特征值問題則得 n2,特征函數(3)將 n2代入 TX(x)X(x)0X(0)X()0Xn(x)Cnsinnx(t)DT

9、(t)0 得代入初始條件 ansinnxsinx2sin3xn1比較系數得：a11,a32an0(n1,3)于是：u(x,t)eDtsinx2eaDtsin3x(二)非齊次方程一純強迫振動考慮有界弦、桿的純強迫振動2UttaUxxf(x,t)0 xl,t0u(0,t)u(l,0)0t0u(x,0)ut(x,0)00 xl由于方程中非齊次項 f(x,t)的出現，故若直接以 u(x,t)X(x)T(t)代入方程，不能實現變量分離，于是聯想到非齊次線性常微分方程求解的常數變易方法。1 .對應齊次方程的特征函數2uttaUXXux0uxl通過分離變量，得到特征值值問題X(x)x0X(0)X(l)0由此

10、求得特征函數Xn(x)Cnsinnxn=1,2,2 .Tn(t)的方程的解仿常數變易法，令u(x,t)Tn(t)sin-xn1l代入原方程得Tn(t)(n)2Tn(t)sinnxf(x,t)n1ll將上面等式右端 f(x,t)至于變量 x 展開成 Fourier 級數解之得Tn(t)bnen2Dt(4)疊加:u(x,t)anen1n2Dt.sinnxnfn(t)sinxn1l，一.2.n其中fn(t)70f(x,t)sinxdx即Tn(t)(口 a)2Tn(t)sinxfn(t)sln-xn1lln1l比較系數：Tn(t)(的2Tn(t)fn(t)Tn(0)slnx0由初始條件n1lTn(0)

11、slnx0n1lTn(t)(羊)T(t)fn(t)Tn(0)Tn(0)0知 Tn(0)Tn(0)0采用常數變易法，則有3.原方程的解為Tn高0fn()slnT(tRn=1,2,u(x,t)n1nan()sin(t)dsin-xl例 3:求下列定解問題uta2UxxAsintUxX00uXx.0ut00解：求對應齊次方程的特征值2UtaUxxUxx0Uxxl0對應的齊次方程的特征值問題為：X(x)X(x)0X(0)X(l)0求解得特征值函數為:Xn(x)Cnncos一xln=0,1,2-n令 uTn(t)cosxn0lnTn(0)cosxn0l比較兩邊 Fourier 展開的系數有:T0(t)A

12、sintT0(0)0na2Tn(t)()2Tn(t)0ln=1,2,-Tn(0)0A.T0(t)1cost；Tn(t)0n=1,2,-Au(x,t)一(1cost)2UttaUxxf(x,t)例 4:u(x,0)Ut(x,0)0U(0,t)u(l,0)0另外具有非零初始條件的處理2UttaUxxf(x,t)例 5：u(0,t)u(l,t)0u(x,0)(x)Ut(x,0)(x)令 u(x,t)uIuII其中 uI滿足I2IuttaUXXuI(0,t)uI(l,t)0UI(x,0)(x)UtI(x,0)(x)uII滿足II2IIUttaUxxuII(0,t)uII(l,t)0uII(x,0)(x

13、)UtII(x,0)(x)（三）非齊次邊界條件的處理前面兩節討論的問題都是齊次邊界條件，但大多實際并非都是齊次的，因此需要討論非齊次邊界條件問題。代入方程得:Tn(t)(*2Tn(t)n0lnxcoslAnsintn=0引入新的未知函數（x,t）和輔導函數（x,t）,令(x,t)u(x,t)(x,t)其滿足齊次邊界條件2.輔助函數（x,t）的選取g(t)條件，即過(0,g(t),(l,h(t)兩點h(t)的曲線有無窮多個，取最簡單的直線(t)A(t)xB(t)B(t)得：A(t)g(t)h(t)g(t)這樣原方程化為:對于其它類型的非齊次邊界條件問題:Utt2auxxg(t),(x),uth(

14、t)(x)u(x,t)(x,t)(x,t)若能找到函數（x,t）,具備性質g(t),則新函數h(t)故有(x,t)h(t)g(t)v人g(t)ttxx-(xl(x)2tt-a0(x,0),這是強迫振動問題,其求解方法前面已講過。xx)(x)-t(x,0)(1)g(t)lh(t)(x,t)h(t)xg(t)(2)g(t),h(t)1.邊界條件的齊次化：為此對于任意的 t,在 x 平面上,滿足(x,t)g(t)xh(t)g(t)l其中(3)則選例:解:(x,t)g,21h(t)2u2xg(t)xl,th(t)g(t)x設 u(x,t)(x,t)(x,t)(x,t)滿足則可取(x,t)xtt,It(

15、x,t)u(x,t)(x,t)u(x,t)xtIt原方程變形為:22a2x0,(xl)上式的特征函數Xn(x)cosx2ln1,2,其中 fn(x,t)Tn(t)l0。Tn(t)COS1(2n1)x入2l2(2n1)24l222Tn(t)x)cos(2x2lcos(2x2l8l(2n1)22fnCOS312l1,2,Tn(0)0丁,、32l2Tn(t)4a2(2n1)42,、3212v(x,t)an(2n1)xcos2l原問題的解為:一、矩形區域上 Laplace 方程的邊值問題uxxuyy00 xa,0ybux00,uxa00ybuy0f(x),uyb00 xa由于有一組邊界條件是齊次的，故

16、可以采用分離變量法。令 u(x,y)X(x)Y(y),代入方程X(x)Y(y)X(x)Y(y)即得兩上常微分方程：X(x)X(x)0Y(y)Y(y)0利用齊次邊界條件有X(x)X(x)0X(0)0,X(a)02得特征值為nn1,2,a特征函數為Xn(x)Bnsinxn1,2,anyny而YnCne工Dne工n1,2,利用疊加原理有:Tn(t)(2n1)24l-222aTn(t)(2n8l221)n1,2,(四)某些區域上二維u(x,t)(xl)tv(x,t).Laplace 方程的分離變量法(2n1)22a24T2(2n1)22a21e4l211(2n1)4nyny，、，f- f-、 nu(x

17、,y)(aneabnea)sinxnia由另一組邊界條件：.nx 一.bn)sinf(x)a二、圓域上 Laplace 方程的邊值問題c22axxUyy0 xyx2y2a2f1(x,y)半徑為 a 的薄圓盤，上下兩面絕熱，若已知圓盤邊緣上的溫度，求圓盤上穩定的溫度分布。利用極坐標2u1U12u2-22uaf()其中f()f1(acos,asin)設 u(,)R()()代入方程2R()R()()R()()即2R()R()R()0()()0根據題設條件，由于(，)與(，2)表示同一點，故應有u(,)u(,2)稱之為周期性邊界條件，由此可得()(2)由周期性條件有()()0()(2)僅為 0 時上式才能非零解(ann1anbnnf(x)sinax.-dxnbaneabne求出 an,。物理意義:a,02()Acos.Bsin、由題()(2)Acos、Bsin、Acos(2)Bsin.(nnn2n0,1,2,n()AncosnBnsinnn0,1,2,此時關于 R()的方程為：2R()R()n2R()0n0,1,2,