1、 本節討論n個未知數n個方程的線性方程組的求解問題 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111 行列式稱為方程組()的系數行列式 nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211() 定理證明v克萊姆法則 如果線性方程組()的系數行列式D不等于零 則方程組()有唯一解 DDx11 DDx22 DDxnn nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111 () nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211 其中Dj (j1 2 n)是把系數行列式D中第j列

2、的元素a1j a2j anj對應地換為方程組的常數項b1 b2 bn后所得到的n階行列式 例 1 解線性方程組06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx 提示 克萊姆法則 如果線性方程組的系數行列式D不等于零 則方程組有唯一解xj Dj /D(j1 2 n) 因為 解 D27 D1812781 1D D10124231710562614231710562610598 克萊姆法則 如果線性方程組的系數行列式D不等于零 則方程組有唯一解xjDj/D(j1 2 n)提示 27108 D 2D05987105626110121012423171056261 因為

3、D27D2108D181 解 例 1 解線性方程組06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx 克萊姆法則 如果線性方程組的系數行列式D不等于零 則方程組有唯一解xjDj/D(j1 2 n)提示 2727 D 3D05986261101242311012423171056261 因為 D27D327D2108D181 解 例 1 解線性方程組06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx 克萊姆法則 如果線性方程組的系數行列式D不等于零 則方程組有唯一解xjDj/D(j1 2 n)提示 2727 D1012423171056

4、261 4D0598101242317105 因為 D27D427D327D2108D181 解 例 1 解線性方程組06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx 所以 所給方程組的唯一解為克萊姆法則 如果線性方程組的系數行列式D不等于零 則方程組有唯一解xjDj/D(j1 2 n) 因為 D27D427D327D2108D181311DDx 311DDx 422DDx 422DDx 133DDx 133DDx 144DDx 解 例 1 解線性方程組06745296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx 提示 例2 設曲線ya0a1

5、xa2x2a3x3通過四點(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系數a0 a1 a2 a3 把四個點的坐標代入曲線方程 得線性方程組 解 36416432793484233210321032103210aaaaaaaaaaaaaaaa (41)(31)(21)(42)(32)(43)12因為D12 D4321169416427811111提示 例2 設曲線ya0a1xa2x2a3x3通過四點(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系數a0 a1 a2 a3 把四個點的坐標代入曲線方程 得線性方程組36416432793484233210321032103210aaaaaa

6、aaaaaaaaaa 1D334343211694164278136 解 因為D12 D13612 D4321169416427811111提示 例2 設曲線ya0a1xa2x2a3x3通過四點(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系數a0 a1 a2 a3 把四個點的坐標代入曲線方程 得線性方程組36416432793484233210321032103210aaaaaaaaaaaaaaaa 18 2D3343169416427811111 解 因為D12D218D13612 D4321169416427811111提示 例2 設曲線ya0a1xa2x2a3x3通過四點(1 3)

7、、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系數a0 a1 a2 a3 把四個點的坐標代入曲線方程 得線性方程組36416432793484233210321032103210aaaaaaaaaaaaaaaa 24 3D334364278111114321 解 因為D12D324D218D13612 D4321169416427811111提示 例2 設曲線ya0a1xa2x2a3x3通過四點(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系數a0 a1 a2 a3 把四個點的坐標代入曲線方程 得線性方程組36416432793484233210321032103210aaaaaaaaaaaaa

8、aaa 因為D12D46D324D218D1366 4D33431694111114321 解 12 D4321169416427811111 例2 設曲線ya0a1xa2x2a3x3通過四點(1 3)、(2 4)、(3 3)、(4 3) 求系數a0 a1 a2 a3 把四個點的坐標代入曲線方程 得線性方程組36416432793484233210321032103210aaaaaaaaaaaaaaaa 因為D12D46D324D218D136 解 所以方程有唯一解 30a 即曲線方程為 32212233xxxy 30a 231a 231a 22a 22a 214a 討論 常數項均為零的線性方

9、程組稱為齊次線性方程組問齊次線性方程組有什么樣的解?v推論 如果線性方程組()的系數行列式D0 則方程組()一定有解 且解是唯一的 v推論 如果線性方程組()無解或有兩個不同的解 則它的系數行列式必為零 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa 22112222212111212111 () nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211 提示 0 0 0 22112222121 1212 111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa () nnnnnnaaaaaaaaaD 212222111211 v推論 如果齊次線性方程組()的系數行列式D0 則齊次線性方程組()沒有非零解 v定理2 如果齊次線性方程組()有非零解 則它的系數行列式必為零 齊次線性方程組