1、螞蟻爬行的最短路徑1.一只螞蟻從原點 0 出發來回爬行，爬行的各段路程依次為：+5,-3,+10,-8,-9,+12,-10.-5,5 米為最短路徑.13.如圖，直四棱柱側棱長為 4cm,底面是長為 5cm 寬為 3cm 的長方形.一只螞蟻從頂點 A出發沿棱柱的表面爬到頂點 B.求：(1)螞蟻經過的最短路程；(2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復爬行同一條棱)的最長路程.解：(1)AB 的長就為最短路線.然后根據若螞蟻沿側面爬行，則經過的路程為 VC5+3)3-F42=VB0(cm)；若螞蟻沿側面和底面爬行，則經過的路程為 d(4+3 尸+52=#再(cm),或(4+5+3*二#53(cm)所以螞蟻經

2、過的最短路程是 VT5cm.(2)5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最長路程是 30cm.點，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為14.如圖，在一個長為 50cm,寬為 40cm,高為 30cm 的長方體盒子的頂點 A 處有一只螞蟻,它要爬到頂點 B 處去覓食，最短的路程是多少？圖I圖2圖3解：圖 1 中，=/=40vsa80.4cm.圖 2 中，=l/94+30”=3QVI0m94.7cm.圖 3 中，AB=倔再萬招=20 小胃 7Z5cm.采用圖 3 的爬法路程最短，為 2OVH5cm15 .如圖，長方體的長、寬、高分別為 6cm,8cm,4cm.一只螞蟻沿著長方體

3、的表面從點 A爬到點 B.則螞蟻爬行的最短路徑的長是。解： 第一種情況： 把我們所看到的前面和上面組成一個平面,則這個長方形的長和寬分別是 12cm和 6cm,則所走的最短線段是 V123+62=6VScm;第二種情況：把我們看到的左面與上面組成一個長方形，則這個長方形的長和寬分別是 10cm 和 8cm,所以走的最短線段是=.也 cm;第三種情況：把我們所看到的前面和右面組成一個長方形,則這個長方形的長和寬分別是 14cm 和 4cm,所以走的最短線段是=2-cm；三種情況比較而言，第二種情況最短.16 .如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為 20cm、3cm、2cm.A 和 B

4、 是這個臺階上兩個相對的端點，點 A 處有一只螞蟻，想到點臺階面爬行到點 B 的最短路程為 cm解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為 20cm,寬為(2+3)X3cm,則螞蟻沿臺階面爬行到 B 點最短路程是此長方形的對角線長.可設螞蟻沿臺階面爬行到 B 點最短路程為 xcm,由勾股定理得：x2=202+(2+3)X32=252,解得 x=25.故答案為 25.17 .如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于是這個臺階的兩個相對的端點，A 點上有一只螞蟻，想到 B 點去吃可口的食物.請你想一想,這只螞蟻從 A 點出發，沿著臺階面爬到 B 點，最短線路是 cm。因為 AC=3X3+1X

5、3=12,BC=5,所以 AB2=AC2+BC2=169,所以 AB=13(cm),所以螞蟻爬行的最短線路為 13cm.B 處去吃可口的食物，則螞蟻沿著5cm,3cm 和 1cm,A 和 B答：螞蟻爬行的最短線路為 13cm.18 .（2011 湃眇卜）如圖，長方體的底面邊長分別為 2cm 和 4cm,高為 5cm.若一只螞蟻從.PQ=13.故答案為：13.19 .如圖，一塊長方體醇寬 AN=5cm,長 ND=10cm,CD 上的點 B 距地面的高 BD=8cm,地面上 A 處的一只螞蟻到 B 處吃食，需要爬行的最短路徑是多少?解：如圖 1,在磚的側面展開圖 2 上，連接則 AB 的長即為 A

6、 處到 B 處的最短路程.解：在 RtAABD 中,P 點開始經過 4 個側面爬行一圈到達 Q 點,則螞奴爬行的最短路徑長為cm.解:.PA=2X(4+2)4cmP=12,QA=50AB,8D因為 AD=AN+ND=5+10=15,BD=8,所以 AB2=AD2+BD2=152+82=289=172.所以 AB=17cm.故螞蟻爬行的最短路徑為 17cm.20 .（2009?佛山）如圖，一個長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角 A 處沿著木柜表面爬到柜角 CI處.（1）請你畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑;（2）當 AB=4,BC=4,CCI=5 時，求螞蟻

7、爬過的最短路徑的長;（3）求點 BI到最短路徑的距離.解：（1）如圖，木柜的表面展開圖是兩個矩形 ABCIDI和 ACCIAI.故螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的 AICI和 ACI.（2 分）（2）螞蟻沿著木柜表面經線段 AIBI到 CI,爬過的路徑的長是11=d4?+（4+5），=也療.（3 分）螞蟻沿著木柜表面經線段 BBI到 CI,爬過的路徑的長是上二也 4+4 尸+5?=/.（4 分）1I12,故最短路徑的長是匕二磁.（5分）（3）作 BIEACI于 E,則BiE=j?總 4=冼？5 二患幗為所求,卜分）21.有一圓柱體如圖，高 4cm,底面半徑 5cm,A 處有一螞蟻，若螞

8、蟻欲爬行到 C 處，求螞蟻爬行的最短距離.備用圖AF=265=10 兀 AD=5TT.AC=AD2+CD2=16m.故答案為：16cm.解：AB=、52122=13m623.如圖，一只螞蟻沿著圖示的路線從圓柱高 AA1的端點 A 到達 A1,若圓枉底面半徑為一，n高為5,則螞蟻爬行的最短距離為解：AC 的長就是螞蟻爬行的最短距離.C,D 分別是 BE,AF 的中點.22.有一圓形油罐底面圓的周長為24m,高為 6m,一只老鼠從距底面 1m 的 A 處爬行到對角 B 處吃食物，它爬行的最短路線長為第 2 題解：因為圓柱底面圓的周長為 27tx=12,高為 5,Ji解：如圖所示:1貝 UAD=24

9、X=12cm.2又因為 CD=AB=9cm,所以 AC=收步9；=15cm.故螞蟻從點 A 出發沿著圓柱體的表面爬行到點 C 的最短路程是 15cm.故答案為：15.25.（2006 湃眇卜|）有一圓柱體高為 10cm,底面圓的半徑為 4cm,AAI,BB1 為相對的兩條母線.在 AAI上有一個蜘蛛 Q,QA=3cm；在 BB上有一只蒼蠅 P,PB=2cm,蜘蛛沿圓柱體側面爬到 P 點吃蒼蠅，所以將側面展開為一長為12,寬為 5 的矩形,根據勾股定理，對角線長為府五%=13.故螞蟻爬行的最短距離為13.24.如圖，一圓柱體的底面周長為24cm,高 AB 為 9cm,BC 是上底面的直徑.一只螞

10、蟻從點 A 出發，沿著圓柱的側面爬行到點C,則螞蟻爬行的最短路程是由于圓柱體的底面周長為 24cm,E5最短的路徑是 cm.（結果用帶兀和根號的式子表示）解：如圖，將圓柱的側面展開成一個長方形，如圖示，則 A、B 分別位于如圖所示的位置,連接 AB,即是這條最短路線圖.解：QA=3,PBI=2,即可把 PQ 放到一個直角邊是根據勾股定理得：QP=二仙 22:.4 兀和 5 的直角三角形中,26.同學的茶杯是圓柱形，如圖是茶杯的立體圖，左邊下方有一只螞蟻，從 A 處爬行到對面的中點 B 處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖.問題：某正方體盒子，如圖左邊下方 A 處有一只螞蟻，從 A 處

11、爬行到側棱 GF 上的中點 M點處，如果螞蟻爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖.如圖，將正方體中面 ABCD 和面 CBFG 展開成一個長方形，如圖示，則 A、M 分別位于如圖所示的位置，連接 AM,即是這條最短路線圖.，在圓錐側面展開圖中 BP=27.如圖，圓錐的主視圖是等邊三角形,圓錐的底面半徑為 2cm,假若點 B 有一螞蟻只能沿圓錐的表面爬行，它要想吃到母線AC 的中點 P 處的食物，那么它爬行的最短路程解：圓錐的底面周長是 4 國則 4 聲n二4180n=180。即圓錐側面展開圖的圓心角是180,，在圓錐側面展開圖中 AP=2,AB=4,/BAP=90,這只螞蟻爬行的最短距離是故答案

12、是：2 無cm.R=3dm,母線 l=5dm,AB 為底面直徑，C 為底面圓周上一點,28.如圖，圓錐的底面半徑/COB=150,D 為 VB 上一點，VD=V7dm.現有一只螞蟻，沿圓錐表面從點 C 爬到 D.則螞蟻爬行的最短路程是（）設弧 BC 所對的圓心角的度數為 n,5TT：.=一二一解得 n=90,./CVD=90,.CD=J：.第29 .已知圓錐的母線長為 5cm,圓錐的側面展開圖如圖所示，且/AOAi=120,一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點 A 出發，沿圓錐側面爬行一周回到點 A.則螞蟻爬行的最短路程長為。30 .如圖，底面半徑為 1,母線長為 4 的圓錐，一只小螞蟻若從 A 點出

13、發，繞側面一周又回到 A 點，它爬行的最短路線長是.解：由題意知，底面圓的直徑為 2,故底面周長等于 2 兀.設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為 n,根據底面周長等于展開后扇形的弧長得，2n=也，180解得 n=90,所以展開圖中圓心角為 90。，根據勾股定理求得到點 A 的最短的路線長是：06+16=辰=4J2.31 .（2006?南充）如圖，底面半徑為 1,母線長為 4 的圓錐，一只小螞蟻若從 A 點出發，繞側面一周又回到 A 點，它爬行的最短路線長是。解：由題意知底面圓的直徑=2,故底面周長等于 2 兀.設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為 n,根據底面周長等于展開后扇形的弧長得 2 聲4處1

14、80解得 n=90,所以展開圖中的圓心角為 90。，根據勾股定理求得它爬行的最短路線長為4 近.P32 .（2009?樂山）如圖，一圓車 B 的底面半徑為 2,母線 PB 的長為 6,D 為 PB 的中點.一只螞蟻從點 A 出發，沿著圓錐的側面爬行到點 D,則螞蟻爬行的最短路程為解：由題意知，底面圓的直徑 AB=4,故底向周長等于 47t.設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為 n根據底面周長等于展開后扇形的弧長得解得 n=120,所以展開圖中/APD=120妥=60,根據勾股定理求得 AD=33,所以螞蟻爬行的最短距離為 3；3.33.如圖，圓錐底面半徑為 r,母線長為A,22643603r,底面

15、圓周上有一螞蟻位于 A 點，它從 A 點出發沿圓錐面爬彳 L 周后又回到原出發點，請你給它指出-解：把圓錐沿過點 A 的母線展成如圖所示扇形，則螞蟻運動的最短路程為 AA（線段）.01條爬行最短的路徑，并求出最矩路徑.%由此知：OA=OA=3ADA1的長為 2 兀 r即/AOA=12Q/OAC=30.“13OC=OA=r22.AC=OA2_OC2=3、3r2.AA=AC=3V3r,即螞蟻運動的最短路程是3,3r.34.如圖，一只螞蟻從圓錐底面的 A 點出發，沿側面繞行一周后到達母線 SA 的中點 M.螞蟻沿怎樣的路徑行走最合算？為了解決這一問題，愛動腦筋的銀銀、慧慧與樂樂展開了研究.(1)善于表現的銀銀首先列出了一組數據：圓錐底面半徑 r=10cm,母線 SA 長為 40cm,就這組數據，請你求出螞蟻所走的最短路程；(2)一向穩重的慧慧只給出一個數據：圓錐的錐角等于 60。(如圖)，請問：螞蟻如何行走最合算？(3)通過(1)、(2)的計算與歸納，銀銀、慧慧自認為他們已找到