1、第三節微積分基本公式積分學中要解決兩個問題：第一個問題是原函數的求法問題，我們在第四章中已經對它做了討論；第二個問題就是定積分的計算問題如果我們要按定積分的定義來計算定積分，那將是十分困難的因此尋求一種計算定積分的有效方法便成為積分學發展的關鍵我們知道，不定積分作為原函數的概念與定積分作為積分和的極限的概念是完全不相干的兩個概念但是，牛頓和萊布尼茨不僅發現而且找到了這兩個概念之間存在著的深刻的內在聯系即所謂的“微積分基本定理”，并由此巧妙地開辟了求定積分的新途徑一一牛頓-萊布尼茨公式從而使積分學與微分學一起構成變量數學的基礎學科一一微積分學牛頓和萊布尼茨也因此作為微積分學的奠基人而載入史冊分布

2、圖示牛頓-萊布尼茲公式的幾何解釋引言引例積分上限函數的導數例2-3例6原函數存在定理積分上限函數例1例4例5例7牛頓-萊布尼茲公式例8-9例10例11例12例13例14例15例16例17內容小結課堂練習習題5-2返回內容要點一、引例x二、積分上限的函數及其導數：:(x)二f(t)dta定理2若函數f(x)在區間a，b上連續，則函數xG(x)=f(t)dtba就是f(x)在a,b上的一個原函數.三、牛頓一萊布尼茲公式定理3若函數F(x)是連續函數f(x)在區間a,b上的一個原函數，則bf(x)dx=F(b)-F(a).(3.6)a公式(3.4)稱為牛頓一萊布尼茨公式例題選講積分上限的函數及其導數

3、例1(E01)求右圖中陰影區域的面積解由題意，得到陰影區域的面積二2-sec?xdx亠I2-：；1-x2dx_4陰影區域的面積二2-sec?xdx亠I2-：；1-x2dx_4002-2dx-secxdx'T-4112°dx亠ixdxjr=_tanx2_43x+3例2(E02)求'cos'tdt.dx解cos2tdt=cosx.dx2例2(E02)求'cos'tdt.dx解cos2tdt=cosx.dx2例3(E03)求例3(E03)求ALecBn里這ALecBn里這x3的函數，因而是x的復合函數，令u2x3=u,則滬(u)etdt,根據復合函數

4、求導公式，有dx3dx3e'dtu2e3x2=3x2ex例4設f(x)是連續函數，試求以下函數的導數sinxf(t)xx(1)F(x)=Cosxedt；(2)F(x)=J0xf(t)dt；(3)F(x)=f(xt)dt.解(1)F(x)-ef(sinx)cosxef(cosx)sinx.xx因為F(x)=x°f(t)dt,所以F(x)二xf(x)of(t)dt.x0x因為F(x)=of(xt)dtu=x-t-%f(u)du=of(u)du.，所以，F(x)=f(x).例5(E05)設函數y=f(x)由方程y20dyetdt亠isintdt=0所確定.求翌.0xdx解在方程兩邊

5、同時對x求導:解在方程兩邊同時對x求導:2：12水+2)7麗tdt=OdxJ0丿dAx丿于是_±y2et2dt色Fsintdt=Odyi0丿dxdx丿4ey(2y).少-(_sinx)=0dxdxA2yey例6(E04)求limx_1e丄2dtcosxx2分析:這是0型不定式0，應用洛必達法則dxcosxft1ed"dtcoxsximx2dcosx+2dx12_cosx-e_t2dedt(cosx)-co2x2x設f(x)在(_：,；)內連續，且=sinx2e"ej2d2_cosxeu-c0)6f(x)0.證明函數(cox)xtf(t)dtF(x)二xf(t)dt

6、在(0,；)內為單調增加函數x證因為dx0tf(t)dt=xf(x),x證因為dx0tf(t)dt=xf(x),dx0x(t)dt二f(x),xxf(x)f(t)dtf(x)tf(t)dt所以F(x)0亠X0f(t)dtX0f(t)dtXf(t)dtf(x)0(x0),x.Qf(t)dt0,(x-t)f(t)0,F(x)0(x0).故F(x)在(0,：)內為單調增加函數.牛頓一萊布尼茲公式12例8(E06)求定積分x2dx.L0是x2的一個原函數，由牛頓31（E07）求dx.bx當x:：0時，1的一個原函數是x10設f(x)=«'2x-萊布尼茨公式得：1ln|x|，以dx=l

7、n2仁X/求0f(x)dx.12dx3xdx=一|x_13_2二In1-In2-In2.f（x）=5,則由定積分性質得：如圖（見系統演示），在1,2上規定:當x=1時,212°f(x)dx=of(x)dx亠if(x)dx212°f(x)dx=of(x)dx亠if(x)dx1212xdx亠i5dx二6.011例11(E08)計算°|2x-1|dx.1-2x,解因為|2x-1|=2x-1,XJ21x-2所以1|2x-1|dx二01/212(12x)dx+(2x1)dx=(xx)1勺/21/220+(xx)1/27732.1-cosxdx.-：2二/321-cosxdx

8、例12求定積分解/2：-:/3-二/22二/30二/3sinxdx=|sinx0x-sinxdx亠isinxdx2./2./2-0二cos二/3022求maxx,xdx.-2解由圖形（見系統演示）可知例13(E09)x2,f(x)=maxx,x2=x,?2,-2_x：00_x：11_x-22202122Imaxx,xdx二xdx亠ixdx亠ixdx01112例14（E10）計算由曲線y=sinx在x=0,解如圖（見系統演示）,根據定積分的幾何意義，所求面積A為A=sinxdx二-cosx*0x二-：之間及x軸所圍成的圖形的面積A.3T0二-cosM(-cos0)二2.:=-5m/s剎車問從開始

9、剎車到停車,汽車駛過了多少距離？解首先要算出從開始剎車到停車經過的時間設開始剎車的時刻為t=0,此時汽車速度為vo=36km/h二361000m/s=10m/s.3600剎車后汽車減速行駛，其速度為v(t)=v0+at=10_5t.當汽車停住時，速度v(t)=O,故由v(t)=105t=0=t=10/5=2(s).于是這段時間內，汽車所駛過的距離為22t22s=(v(t)dt=(105t)dt=0t5漢一=10(m).002衛即在剎車后，汽車需駛過10m才能停住.例16(E11)設函數f(x)在閉區間a，b上連續，證明在開區間(a，b)內至少存在一點'，b使f(x)dx=f()(b-a)(a.；："；：b).a證因f(x)連續，故它的原函數存在，設為F(x),即設在a,b上F'(x)=f(x).b根據牛頓-萊布尼茨公式，有af(x)dx=F(b)-F(a).因此按微分中值定理，在開區顯然函數F(x)在區間a,b上滿足微分中值定理的條件間(a,b)內至少存在一點',使F(b)-F(a)=F'()(b-a),(a,b),b故f(x)dx=f()(b-a