1、數學13種典型例題口訣及解析1.正方體展開圖正方體有6個面，12條棱，當沿著某棱將正方體剪開，可以得到正方體的展開圖形，很顯然，正方體的展開圖形不是唯一的，但也不是無限的，事實上，正方體的展開圖形有且只有11種，11種展開圖形又可以分為4種類型：141型中間一行4個作側面，上下兩個各作為上下底面，共有6種基本圖形。231型中間一行3個作側面，共3種基本圖形。222型中間兩個面，只有1種基本圖形。33型中間沒有面，兩行只能有一個正方形相連，只有1種基本圖形。2.和差問題已知兩數的和與差，求這兩個數?！究谠E】：和加上差，越加越大；除以2，便是大的；和減去差，越減越小；除以2，便是小的。例：已知兩數

2、和是10，差是2，求這兩個數。按口訣，則大數=（10+2）/2=6，小數=（10-2）/2=4。3.雞兔同籠問題【口訣】：假設全是雞，假設全是兔。多了幾只腳，少了幾只足？除以腳的差，便是雞兔數。例：雞免同籠，有頭36 ，有腳120，求雞兔數。求兔時，假設全是雞，則免子數=（120-36X2）/（4-2）=24求雞時，假設全是兔，則雞數 =（4X36-120）/（4-2）=124.濃度問題（1）加水稀釋【口訣】：加水先求糖，糖完求糖水。糖水減糖水，便是加糖量。例：有20千克濃度為15%的糖水，加水多少千克后，濃度變為10%？加水先求糖，原來含糖為：20X15%=3（千克）糖完求糖水，含3千克糖在

3、10%濃度下應有多少糖水，3/10%=30（千克）糖水減糖水，后的糖水量減去原來的糖水量，30-20=10（千克）（2）加糖濃化【口訣】：加糖先求水，水完求糖水。糖水減糖水，求出便解題。例：有20千克濃度為15%的糖水，加糖多少千克后，濃度變為20%？加糖先求水，原來含水為：20X（1-15%）=17（千克）水完求糖水，含17千克水在20%濃度下應有多少糖水，17/（1-20%）=21.25（千克）糖水減糖水，后的糖水量減去原來的糖水量，21.25-20=1.25（千克)5.路程問題（1）相遇問題【口訣】：相遇那一刻，路程全走過。除以速度和，就把時間得。例：甲乙兩人從相距120千米的兩地相向而

4、行，甲的速度為40千米/小時，乙的速度為20千米/小時，多少時間相遇？相遇那一刻，路程全走過。即甲乙走過的路程和恰好是兩地的距離120千米。除以速度和，就把時間得。即甲乙兩人的總速度為兩人的速度之和40+20=60（千米/小時），所以相遇的時間就為120/60=2（小時）（2）追及問題【口訣】：慢鳥要先飛，快的隨后追。先走的路程，除以速度差，時間就求對。例：姐弟二人從家里去鎮上，姐姐步行速度為3千米/小時，先走2小時后，弟弟騎自行車出發速度6千米/小時，幾時追上？先走的路程，為3X2=6（千米）速度的差，為6-3=3（千米/小時）。所以追上的時間為：6/3=2（小時）。6.和比問題已知整體求部

5、分?！究谠E】：家要眾人合，分家有原則。分母比數和，分子自己的。和乘以比例，就是該得的。例：甲乙丙三數和為27，甲;乙:丙=2:3:4,求甲乙丙三數。分母比數和，即分母為：2+3+4=9；分子自己的，則甲乙丙三數占和的比例分別為2/9，3/9，4/9。和乘以比例，所以甲數為27X2/9=6，乙數為：27X3/9=9，丙數為：27X4/9=12。7.差比問題（差倍問題）【口訣】：我的比你多，倍數是因果。分子實際差，分母倍數差。商是一倍的，乘以各自的倍數，兩數便可求得。例：甲數比乙數大12，甲:乙=7：4，求兩數。先求一倍的量，12/（7-4）=4，所以甲數為：4X7=28，乙數為：4X4=16。8

6、.工程問題【口訣】：工程總量設為1，1除以時間就是工作效率。單獨做時工作效率是自己的，一齊做時工作效率是眾人的效率和。1減去已經做的便是沒有做的，沒有做的除以工作效率就是結果。例：一項工程，甲單獨做4天完成，乙單獨做6天完成。甲乙同時做2天后，由乙單獨做，幾天完成？ 1-（1/6+1/4）X2/（1/6）=1（天）9.植樹問題【口訣】：植樹多少顆，要問路如何？直的減去1，圓的是結果。例1：在一條長為120米的馬路上植樹，間距為4米，植樹多少顆？路是直的。所以植樹120/4-1=29（顆）。例2：在一條長為120米的圓形花壇邊植樹，間距為4米，植樹多少顆？路是圓的，所以植樹120/4=30（顆）

7、。10.盈虧問題【口訣】：全盈全虧，大的減去小的；一盈一虧，盈虧加在一起。除以分配的差，結果就是分配的東西或者是人。例1：小朋友分桃子，每人10個少9個；每人8個多7個。求有多少小朋友多少桃子？一盈一虧，則公式為：（9+7）/（10-8）=8（人），相應桃子為8X10-9=71（個）例2：士兵背子彈。每人45發則多680發；每人50發則多200發，多少士兵多少子彈？全盈問題。大的減去小的，則公式為：（680-200）/（50-45）=96（人）則子彈為96X50+200=5000（發）。例3：學生發書。每人10本則差90本；每人8 本則差8本，多少學生多少書？全虧問題。大的減去小的。則公式為：

8、（90-8）/（10-8）=41（人），相應書為41X10-90=320（本）11.牛吃草問題【口訣】：每牛每天的吃草量假設是份數1，A頭B天的吃草量算出是幾？M頭N天的吃草量又是幾？大的減去小的，除以二者對應的天數的差值，結果就是草的生長速率。原有的草量依此反推。公式就是A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長速率。將未知吃草量的牛分為兩個部分：一小部分先吃新草，個數就是草的比率；有的草量除以剩余的牛數就將需要的天數求知。例：整個牧場上草長得一樣密，一樣快。27頭牛6天可以把草吃完；23頭牛9天也可以把草吃完。問21頭多少天把草吃完。每牛每天的吃草量假設是1，則27頭牛6天的吃草量是27X6=1

9、62，23頭牛9天的吃草量是23X9=207；大的減去小的，207-162=45；二者對應的天數的差值，是9-6=3（天）結果就是草的生長速率。所以草的生長速率是45/3=15（牛/天）；原有的草量依此反推。公式就是A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長速率。所以原有的草量=27X6-6X15=72（牛/天）。將未知吃草量的牛分為兩個部分：一小部分先吃新草，個數就是草的比率；這就是說將要求的21頭牛分為兩部分，一部分15頭牛吃新生的草；剩下的21-15=6去吃原有的草，所以所求的天數為：原有的草量/分配剩下的牛=72/6=12（天）12.年齡問題【口訣】：歲差不會變，同時相加減。歲數一改變，倍數

10、也改變。抓住這三點，一切都簡單。例1：小軍今年8 歲，爸爸今年34歲，幾年后，爸爸的年齡的小軍的3倍？歲差不會變，今年的歲數差點34-8=26，到幾年后仍然不會變。已知差及倍數，轉化為差比問題。26/（3-1）=13，幾年后爸爸的年齡是13X3=39歲，小軍的年齡是13X1=13歲，所以應該是5年后。例2：姐姐今年13歲，弟弟今年9歲，當姐弟倆歲數的和是40歲時，兩人各應該是多少歲？歲差不會變，今年的歲數差13-9=4幾年后也不會改變。幾年后歲數和是40，歲數差是4，轉化為和差問題。則幾年后，姐姐的歲數：（40+4）/2=22，弟弟的歲數：（40-4）/2=18，所以答案是9年后。13.余數問

11、題【口訣】：余數有（N-1）個，最小的是1，最大的是（N-1）。周期性變化時，不要看商，只要看余。例：如果時鐘現在表示的時間是18點整，那么分針旋轉1990圈后是幾點鐘？分針旋轉一圈是1小時，旋轉24圈就是時針轉1圈，也就是時針回到原位。1980/24的余數是22，所以相當于分針向前旋轉22個圈，分針向前旋轉22個圈相當于時針向前走22個小時，時針向前走22小時，也相當于向后24-22=2個小時，即相當于時針向后拔了2小時。即時針相當于是18-2=16（點）。名稱含義（方法）棱兩個面相交的邊叫棱頂點三條棱相交的點叫做頂點長方體的長寬高相交于一個頂點的三條棱分別叫做長方體的長寬高特殊長方體長寬高

12、都相等的長方體叫立方體體積的概念物體所占空間的大小叫做物體的體積體積單位立方米.立方厘米.立方分米長方體的體積長×寬×高=abh立方體的體積棱長×棱長×棱長=aaa通用的體積求法底面積×高sh體積單位換算1立方米1000立方分米 1立方分米1000立方厘米容積單位換算1升1000毫升 1升1立方分米 1毫升1立方厘米約數一個數最小的約數是1 一個數最大的約數是它本身一個數的約數個數是有限的倍數一個數最小的倍數是它本身一個數沒有最大的倍數一個數的倍數個數是無限的能被二整除的數個位是:0，2，4，6，8奇數不能被二整除的數叫做奇數偶數能被二整除的數

13、叫做偶數能被五整除的數個位是:0，5能被三整除的數一個數各個數位上的數字的和能被三整除素數一個數除了1和它本身，不再有別的約數合數一個數除了1和它本身，還有別的約數，更多學習資料請關注ABC微課堂質因數一個和數可以寫成幾個素數相乘的形式，每個素數叫做這個和數之質因數分解質因數把一個和數用質因數相乘的形式表現出來叫做分解質因數最大公約數幾個數公有的約數叫做這幾個數的公約數，其中最大的一個叫做這幾個數的最大公約數互質數公約數只有1的兩個數叫互質數約數時的最大公約數小數是大數的約數，小數就是這兩個數的最大公約數互質數最大公約數兩個數是互質數，它們最大公約數是1最小公倍數幾個數公有的倍數叫做這幾個數的

14、公倍數，其中最小的一個叫做最小公倍數分數大小的比較分子相同的兩個數分母小的那個數比較大，分母相同的兩個數分子大的那個數比較大假分數分子比分母大或分子和分母相等的分數叫做假分數，假分數大于或等于1帶分數一個整數和一個真分數合成的數叫帶分數分數的基本性質分母或分子同時擴大或縮小相同的倍數分數的大小不變約分把一個分數的分子和分母同時除以它們的公約數（1除外）化成和原來分數相等的分數通分把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數同分母加減法只把分子相加減分母不變異分母加減法先通分然后按照同分母加減法進行計算帶分數加減法整數部分和分數部分分別相加減再把所得數合并起來計算順序在一個算式里只有加減法或只

15、有乘除法從左往右依次計算在一個算式里有加減法又有乘除法先算乘除法再算加減法有括號的先算括號里的有括號的算式有括號的算式要先算小括號里的運算再算中括號里的什么加加法把兩個數合并成一個數的運算叫加法什么叫減法已知兩個加數的和與其中的一個加數，求另一個加數的運算方法關系式單價×數量總價速度×時間路程工作效率×工作時間工作總量本金×利率×時間利息保險金額×保險費率×保險時間保險費應納稅收入×稅率應繳稅款商不變的性質被除數和除數同時擴大或縮小相同的倍數商不變什么叫乘法求幾個相同加數的簡便運算叫乘法什么叫除法已知兩個因數的積與

16、其中一個因數求另一因數的運算叫除法面積單位平方米，平方厘米，平方分米長方形面積長×寬=ab正方形面積邊長×邊長aa面積單位換算1平方分米100平方厘米1平方米100平方分米長方形長方形的對邊相等，四個角都是直角正方形正方形的四條邊都相等，四個角都是直角長方形周長（長+寬）×2（a+b)×2正方形周長邊長×4a×4長度單位換算1千米1000米 1分米10厘米1米10分米100厘米 1厘米10毫米重量單位換算1噸1000千克 1千克1000克小數的四則混合運算小數的四則混合運算的運算順序和整數四則混合運算的運算順序相同土地面積單位換算平方

17、千米100公頃1000平方米100平方分米100平方厘米平行四邊形面積底×高ab三角形面積底×高÷2ab÷2梯形面積（上底+下底）×高÷2(a+b)×h÷2什么叫方程含有未知數的等式什么叫方程的解使方程左右兩邊相等的未知數的值什么叫解方程求方程的解的過程叫解方程什么叫百分比表示一個數的百分之幾的數叫做百分數百分數的寫法用帶有百分號“”的數來表示小數化百分數只要把小數點向右移動兩位，在最后添上百分號就行了百分數化小數只要把百分號去掉小數點向左移動兩位百分數化分數把百分數改寫成分母是100的分數，再把能約分的約成最簡分

18、數分數乘整數用分數的分子和整數相乘的積做分子，分母不變分數乘分數用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母分數乘帶分數先把帶分數化成假分數，然后按照分數乘法的法則進行計算分數乘小數先把小數化成分數后再計算分數除法已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一因數的運算整數除分數的方法整數乘這個分數的倒數分數除以帶分數先把帶分數化成假分數然后計算小數除以分數一般把小數化成分數再計算小數分數四則混合運算順序與整數四則混合運算順序相同什么叫圓心圓的最中心一點叫圓心什么叫半徑圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑用字母R表示什么叫直徑通過圓心并且兩端都在圓心上的線段叫做直徑用字母D表示直徑與半徑的關系d=2r r=d

19、/2圓的周長是直徑的三倍多一點這是一個固定的數，叫3.14圓周長直徑×圓面積×半徑×半徑如何區分閏年公歷年份是四的倍數的都是閏年，公歷年份是整百數時必須是四百的倍數才是閏年直線直線可以無限延長線段線段是直線上兩點間的一段射線一端可以無限延長并且只有一個端點什么叫銳角小于90度的角叫銳角什么叫鈍角大于90度而小于180度的角叫鈍角什么叫平角當角的兩邊方向相反成一條直線時這樣的角叫做平角平角180度什么叫周角角的一邊繞它的頂點旋轉一周所成的角叫做周角周角360度什么叫四邊形四條線段圍成的圖形叫四邊形什么叫平行四邊形兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形平行四邊形的底和

20、高每組對邊之間的距離叫做平行四邊形的高，和高垂直的對邊叫做平行四邊形的底特殊的平行四邊形長方形和正方形的兩組對邊也分別平行，它們是特殊的平行四邊形什么叫三角形三條線段圍成圖形叫三角形圍成三角形的每條線段叫三角形的邊每兩條線段的交點叫三角形的頂點三角形的特性三角形的特性是穩定性銳角三角形三個角都是銳角的三角形鈍角三角形有一個角是鈍角的三角形直角三角形有一個角是直角的三角形等腰三角形兩條邊相等的三角形等邊三角形三條邊相等的三角形叫等邊三角形又叫正三角形三角形的高和底從三角形的一個角的頂點向它的對邊畫一條垂線，頂點到垂足間的線段叫三角形的高，這個角的對邊叫三角形的底什么叫梯形只有一組對邊平行的四邊形

21、叫梯形什么叫等腰梯形兩腰相等的梯形叫等腰梯形什么叫分數把物體平均分成幾分取其中的1份或幾分叫分數小數的基本性質小數的末尾添上0或者去掉0小數的大小不變小數點位置的移動引起小數大小的變化（擴大）小數點向右移動一位，原來的數擴大10倍，小數點向右移動二位，原來的數擴大100倍，小數點向右移動三位，原來的數擴大1000倍小數點位置的移動引起小數大小的變化（縮小）小數點向左移動一位，原來的數縮小10倍，小數點向左移動二位，原來的數縮小100倍，小數點向左移動三位，原來的數縮小1000倍有余數的除法計算有余數的除法余數一定要比除數小圓柱體體積底面積×高SH圓錐體體積1/3×等底等高的

22、圓柱體體積1/3SH條形統計圖條形統計圖可以容易看出各種數量的多少折線統計圖不但容易看出各種數量的多少還可以清楚的表示出數量的增減變化情況比比的前項相當于被除數、相當于分子；比的后項相當于除數、相當于分母，比值相當于商、相當于分數值比的基本性質比的前項和后項同時擴大或縮小相同的倍數比值不變比例尺圖上距離÷實際距離比例尺圖上距離/比例尺實際距離圖上距離實際距離÷比例尺什么叫比例式表示兩個比相等的式子叫比例式，組成比例的四個數叫做比例的項，兩端的兩個項叫做外項，中間的兩項叫做內項比例的基本性質兩個內項積等于兩個外項積什么叫解比例求比例中的未知項叫解比例正比例路程/時間速度（一定

23、）總價/數量單價（一定）生產的數量/生產的時間生產效率反比例X×Y=K（一定）等體積等高圓錐的底面積是圓柱的三倍圓柱的底面積是圓錐的1/3等體積等面積圓錐的高是圓柱的的三倍圓柱的高是圓錐的1/3等高的圓錐和圓柱圓柱的體積等于圓錐的三倍圓柱的體積比圓錐的體積大2倍圓錐體積等于圓柱體積的1/3 圓錐體積比圓柱體積少2/3圓柱體側面積S側CH C=×直徑2××R圓柱體表面積S表S側2S底圓柱體底面積S底×R×R圓柱體半徑（r）RD/2 R=C/2×圓柱體體積V=SH圓環S圓環×（R×Rr×r)=圓周率

24、立方體表面積棱長×棱長×6a×a×6長方體地表面積（長×寬長×高寬×高）×2（A×B+A×H+B×H)×2加法交換律a+b=b+a加法結合律(a+b)-c=a-(b+c)減法的性質a-b-c=a-(b+c)乘法交換率a×b =b×a乘法結合律(a×b)×c=a×(b×a)乘法分配律（a+b)×c=a×c+b×c【期末復習】六年級數學知識要點1.分數乘法：分數乘法的意義與整數乘法的意義相同

25、，就是求幾個相同加數和的簡便運算。2.分數乘法的計算法則分數乘整數，用分數的分子和整數相乘的積作分子，分母不變；分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。但分子分母不能為零.。3.分數乘法意義分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數的和的簡便運算。一個數與分數相乘，可以看作是求這個數的幾分之幾是多少。4.分數乘整數：數形結合、轉化化歸5.倒數：乘積是1的兩個數叫做互為倒數。6.分數的倒數找一個分數的倒數，例如3/4把3/4這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。 則是4/3。3/4是4/3的倒數，也可以說4/3是3/4的倒數。7.整數的倒

26、數找一個整數的倒數，例如12，把12化成分數，即12/1 ，再把12/1這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。則是1/12 ，12是1/12的倒數。8.小數的倒數普通算法：找一個小數的倒數，例如0.25 ，把0.25化成分數，即1/4 ，再把1/4這個分數的分子和分母交換位置，把原來的分子做分母，原來的分母做分子。則是4/19.用1計算法：也可以用1去除以這個數，例如0.25 ，1/0.25等于4 ，所以0.25的倒數4 ，因為乘積是1的兩個數互為倒數。分數、整數也都使用這種規律。10.分數除法：分數除法是分數乘法的逆運算。11.分數除法計算法則：甲數除以乙數（0

27、除外），等于甲數乘乙數的倒數。12.分數除法的意義：與整數除法的意義相同，都是已知兩個因數的積與其中一個因數求另一個因數。13.分數除法應用題：先找單位1。單位1已知，求部分量或對應分率用乘法，求單位1用除法。14.比和比例：比和比例一直是學數學容易弄混的幾大問題之一，其實它們之間的問題完全可以用一句話概括：比，等同于算式中等號左邊的式子，是式子的一種（如：a:b）；比例，由至少兩個稱為比的式子由等號連接而成，且這兩個比的比值是相同（如：a:b=c:d）。所以，比和比例的聯系就可以說成是：比是比例的一部分；而比例是由至少兩個比值相等的比組合而成的。表示兩個比相等的式子叫做比例,是比的意義。比例

28、有4項,前項后項各2個.15.比的基本性質：比的前項和后項都乘以或除以一個不為零的數。比值不變。比的性質用于化簡比。比表示兩個數相除；只有兩個項：比的前項和后項。比例是一個等式，表示兩個比相等；有四個項：兩個外項和兩個內項。16.比例的性質：在比例里，兩個外項的乘積等于兩個內項的乘積。比例的性質用于解比例。17.比和比例的區別(1)意義、項數、各部分名稱不同。比表示兩個數相除；只有兩個項：比的前項和后項。 如：a:b 這是比 比例是一個等式，表示兩個比相等；有四個項：兩個外項和兩個內項。a:b=3:4 這是比例。(2)比的基本性質和比例的基本性質意義不同、應用不同。比的性質： 比的前項和后項都

29、乘或除以一個不為零的數。比值不變。比例的性質：在比例里，兩個外項的乘積等于兩個內項的乘積相等。比例的性質用于解比例。聯系： 比例是由兩個相等的比組成。18.比和比例的意義比的意義是兩個數的除又叫做兩個數的比,而比例的意義是表示兩個比相等的式子是叫做比例。比是表示兩個數相除，有兩項；比例是一個等式，表示兩個比相等，有四項。因此，比和比例的意義也有所不同。而且，比號沒有括號的含義 而另一種形式，分數有括號的含義！19.比和比例的聯系：比和比例有著密切聯系。 比是研究兩個量之間的關系，所以它有兩項；比例是研究相關聯的兩種量中兩組相對應數的關系，所以比例是由四項組成。比例是由比組成的，如果沒有兩種量的

30、比，比例就不會存在。比例是比的發展，如果把比例式中右邊的比看成一個數，比和比例此時又可以統一起來。 如果兩個比相等，那么這兩個比就可以組成比例。成比例的兩個比的比值一定相等。20.圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。21.圓心：圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。 注：圓心一般符號O表示22.直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。23.半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。圓的直徑和半徑都有無數條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或

31、r=d/2。圓的半徑或直徑決定圓的大小，圓心決定圓的位置。24.圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。25.圓周率：圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。圓的周長除以直徑的商是一個固定的數，把它叫做圓周率，它是一個無限不循環小數（無理數），用字母表示。計算時，通常取它的近似值，3.14。直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。26.圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。r2;，用字母S表示。一條弧所對的圓周角是圓心角的二分之一。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心

32、角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。27.周長計算公式（1）已知直徑：C=d （2）已知半徑：C=2r （3）已知周長：D=c/（4）圓周長的一半:1/2周長(曲線) （5）半圓的周長：1/2周長+直徑（÷2+1）28.面積計算公式：（1）已知半徑：S=r2 （2）已知直徑：S=(d/2)2（3）已知周長：S=c÷(2)229.百分數與分數的區別（1）意義不同。百分數是“表示一個數是另一個數的百分之幾的數?！彼荒鼙硎緝蓴抵g的倍數關系，不能表示某一具體數量。因此，百分數后面不能帶單位名稱。分數是“把單位1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數”。分數還可以表示兩數之

33、間的倍數關系.（2）應用范圍不同。百分數在生產、工作和生活中，常用于調查、統計、分析與比較。而分數常常是在測量、計算中，得不到整數結果時使用。（3）書寫形式不同。百分數通常不寫成分數形式，而采用百分號“%”來表示。因此，不論百分數的分子、分母之間有多少個公約數，都不約分；百分數的分子可以是自然數，也可以是小數。而分數的分子只能是自然數，它的表示形式有：真分數、假分數、帶分數，計算結果不是最簡分數的一般要通過約分化成最簡分數，是假分數的要化成帶分數。任何一個百分數都可以寫成分母是100的分數，而分母是100的分數并不都具有百分數的意義.（4）百分數不能帶單位名稱；當分數表示具體數時可帶單位名稱。

34、30.百分數應用百分數一般有三種情況： 100%以上，如：增長率、增產率等。 100%以下，如：發芽率、成長率等。 剛好100%，如：正確率，合格率等。31.百分數的意義百分數只可以表示分率，而不能表示具體量,所以不能帶單位。百分數概念的形成應以學生實際生活中的事例或工農業生產中的事例引入。32.日常應用每天在電視里的天氣預報節目中，都會報出當天晚上和明天白天的天氣狀況、降水概率等，提示大家提前做好準備，就像今天的夜晚的降水概率是20%，明天白天有五六級大風，降水概率是10%，早晚應增加衣服。20%、10%讓人一目了然，既清楚又簡練。知識點擴展1.圓的定義幾何說：平面上到定點的距離等于定長的所

35、有點組成的圖形叫做圓。定點稱為圓心，定長稱為半徑。軌跡說：平面上一動點以一定點為中心，一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓。集合說：到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。2.圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優弧，小于半圓的弧稱為劣弧，半圓既不是優弧，也不是劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。圓中最長的弦為直徑。3.圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。4.內心和外心：和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心

36、。5.扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑稱為圓錐的母線。百分數的由來200多年前，瑞士數學家歐拉，在通用算術一書中說，要想把7米長的一根繩子分成三等份是不可能的，因為找不到一個合適的數來表示它。如果我們把它分成三等份，每份是7/3米，就是一種新的數，我們把它叫做分數。而后，人們在分數的基礎上又以100做基數，發明了百分數。一百分數1、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。百分數是指的兩個數的比，因此也叫百分率或百分比。百分數通常不寫成分數形式，而采用百分號“%”，百分數后面不能帶單位名稱。2、百分數和分數的主要聯系與區別：（1）

37、 聯系：都可以表示兩個量的倍比關系。(2)區別：、意義不同：百分數只表示兩個數的倍比關系，不能表示具體的數量，所以不能帶單位；分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關系，表示具體數時可以帶單位。、百分數的分子可以是整數，也可以是小數；分數的分子不能是小數，只能是除0以外的自然數。、百分數的讀法和分數的讀法大體相同，也是先讀分母，后讀分子，但要注意讀百分數的分母時，不能讀成一百分之幾，而只能讀作“百分之幾”4、百分數的寫法：通常不寫成分數形式，而在原來分子后面加上“”來表示。二、百分數和分數、小數的互化（一）百分數與小數的互化：1、小數化成百分數：把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。

38、2. 百分數化成小數：把小數點向左移動兩位，同時去掉百分號。（二）百分數的和分數的互化1、百分數化成分數：先把百分數化成分數，先把百分數改寫成分母是否100的分數，能約分要約成最簡分數。2、分數化成百分數： 用分數的基本性質，把分數分母擴大或縮小成分母是100的分數，再寫成百分數形式。 先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數），再把小數化成百分數。（三）常見的分數與小數、百分數之間的互化1/2 = 0.5 = 50%1/5 = 0.2 = 20%5/8 = 0.625 = 62.5%三、用百分數解決問題（一）一般應用題1、常見的百分率的計算方法：一般來講，出勤率、成活率、合格率、正確率能

39、達到100%，出米率、出油率達不到100%，完成率、增長了百分之幾等可以超過100%。（一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。）2、已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的百分之幾是多少的問題：數量關系式和分數乘法解決問題中的關系式相同：（1）分率前是“的”：單位“1”的量×分率=分率對應量（2）分率前是“多或少”的意思：單位“1”的量×（1分率）=分率對應量3、未知單位“1”的量（用除法），已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。解法：（建議：最好用方程解答）（1）方程： 根據數量關系式設未知量為X，用方程解答。（2）算術（用除法）：分率對應量

40、7;對應分率 = 單位“1”的量4、求一個數比另一個數多（少）百分之幾的問題：兩個數的相差量÷單位“1”的量× 100%或： 求多百分之幾：（大數÷小數 1） × 100% 求少百分之幾：（ 1 - 小數÷大數）× 100%第六單元 統計一、扇形統計圖的意義：用整個圓的面積表示總數，用圓內各個扇形面積表示各部分數量同總數之間的關系。也就是各部分數量占總數的百分比（因此也叫百分比圖）。二、常用統計圖的優點：1、條形統計圖：可以清楚的看出各種數量的多少。2、折線統計圖：不僅可以看出各種數量的多少，還可以清晰看出數量的增減變化情況。3、扇形

41、統計圖：能夠清楚的反映出各部分數量同總數之間的關系。三、扇形的面積大?。涸谕粋€圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關，圓心角越大，扇形越大。（因此扇形面積占圓面積的百分比，同時也是該扇形圓心角度數占圓周角度數的百分比。）幾何形體周長、面積、體積計算公式長方形的周長=（長+寬）×2 C=(a+b)×2正方形的周長=邊長×4 C=4a長方形的面積=長×寬 S=ab三角形的面積=底×高÷2 S=ah÷2平行四邊形的面積=底×高 S=ah梯形的面積=（上底+下底）×高÷2 S=（ab）h

42、7;2直徑=半徑×2 d=2r 半徑=直徑÷2 r= d÷2圓的周長=圓周率×直徑=圓周率×半徑×2 c=d =2r圓的面積=圓周率×半徑×半徑三角形的面積底×高÷2。公式 S= a×h÷2正方形的面積邊長×邊長公式 S= a×a長方形的面積長×寬公式 S= a×b平行四邊形的面積底×高公式 S= a×h梯形的面積（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2內角和：三角形的內角和1

43、80度。長方體的體積長×寬×高公式：V=abh長方體（或正方體）的體積底面積×高公式：V=abh正方體的體積棱長×棱長×棱長公式：V=aaa圓的周長直徑× 公式：Ld2r圓的面積半徑×半徑× 公式：S的平方圓柱的表（側）面積：圓柱的表（側）面積等于底面的周長乘高。公式：S=ch=dh2rh圓柱的表面積：圓柱的表面積等于底面的周長乘高再加上兩頭的圓的面積。公式：S=ch+2s=ch+2r的平方圓柱的體積：圓柱的體積等于底面積乘高。公式：V=Sh圓錐的體積1/3底面×積高。公式：V=1/3Sh分數的加、減法則

44、：同分母的分數相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分數相加減，先通分，然后再加減。分數的乘法則：用分子的積做分子，用分母的積做分母。分數的除法則：除以一個數等于乘以這個數的倒數。 第一章 數和數的運算一 基本概念 (一)整數 1 整數的意義 自然數和0都是整數。 2 自然數 我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1，2，3叫做自然數。 一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。 3計數單位 一(個)、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億都是計數單位。 每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。這樣的計數法叫做十進制計數法。 4 數位 計數單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數位。 5

45、數的整除 整數a除以整數b(b 0)，除得的商是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a 。 如果數a能被數b(b 0)整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數(或a的因數)。倍數和約數是相互依存的。 因為35能被7整除，所以35是7的倍數，7是35的約數。 一個數的約數的個數是有限的，其中最小的約數是1，最大的 約數是它本身。例如：10的約數有1、2、5、10，其中最小的約數是1，最大的約數是10。 一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的倍數是它本身。3的倍數有：3、6、9、12其中最小的倍數是3 ，沒有最大的倍數。 個位上是0、2、4、6、8的數，都能被2整除，例如：202、

46、480、304，都能被2整除。 個位上是0或5的數，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。一個數的各位上的數的和能被3整除，這個數就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 一個數各位數上的和能被9整除，這個數就能被9整除。 能被3整除的數不一定能被9整除，但是能被9整除的數一定能被3整除。 一個數的末兩位數能被4(或25)整除，這個數就能被4(或25)整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 一個數的末三位數能被8(或125)整除，這個數就能被8(或125)整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被

47、8整除，1125、13375、5000都能被125整除。能被2整除的數叫做偶數。不能被2整除的數叫做奇數。0也是偶數。自然數按能否被2 整除的特征可分為奇數和偶數。 一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數叫做質數(或素數)，100以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一個數，如果除了1和它本身還有別的約數，這樣的數叫做合數，例如 4、6、8、9、12都是合數。1不是質數也不是合數，自然數除了1外，不是質數就是合數。如果把自然數按其約數的個數的不同分類，可分為質數、合數和

48、1。每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數，叫做這個合數的質因數，例如15=3×5，3和5 叫做15的質因數。把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。 例如把28分解質因數 幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數。其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數，例如12的約數有1、2、3、4、6、12;18的約數有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公約數，6是它們的最大公約數。公約數只有1的兩個數，叫做互質數，成互質關系的兩個數，有下列幾種情況：1和任何自然數互質。 相鄰的兩個自然數互質。兩個不同的質數互質。當合數不是

49、質數的倍數時，這個合數和這個質數互質。兩個合數的公約數只有1時，這兩個合數互質，如果幾個數中任意兩個都互質，就說這幾個數兩兩互質。 如果較小數是較大數的約數，那么較小數就是這兩個數的最大公約數。 如果兩個數是互質數，它們的最大公約數就是1。 幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數，如2的倍數有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 3的倍數有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍數，6是它們的最小公倍數。 如果較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數。 如果兩個數是互質數，那么這兩個數的積就是它們的最小公

50、倍數。 幾個數的公約數的個數是有限的，而幾個數的公倍數的個數是無限的。(二)小數 1 小數的意義把整數1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾 可以用小數表示。 一位小數表示十分之幾，兩位小數表示百分之幾，三位小數表示千分之幾一個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點左邊的數叫做整數部分，小數點右邊的數叫做小數部分。在小數里，每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。小數部分的最高分數單位“十分之一”和整數部分的最低單位“一”之間的進率也是10。2小數的分類純小數：整數部分是零的小數，叫做純小數。例如：

51、0.25 、 0.368 都是純小數。帶小數：整數部分不是零的小數，叫做帶小數。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數。有限小數：小數部分的數位是有限的小數，叫做有限小數。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數。無限小數：小數部分的數位是無限的小數，叫做無限小數。 例如： 4.33 3.1415926 無限不循環小數：一個數的小數部分，數字排列無規律且位數無限，這樣的小數叫做無限不循環小數。 例如：循環小數：一個數的小數部分，有一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現，這個數叫做循環小數。 例如： 3.555 0.0333 12.109109 一個循環小數的小數部分，依

52、次不斷重復出現的數字叫做這個循環小數的循環節。 例如： 3.99 的循環節是“ 9 ” ， 0.5454 的循環節是“ 54 ” 。純循環小數：循環節從小數部分第一位開始的，叫做純循環小數。 例如： 3.111 0.5656 混循環小數：循環節不是從小數部分第一位開始的，叫做混循環小數。 3.1222 0.03333 寫循環小數的時候，為了簡便，小數的循環部分只需寫出一個循環節，并在這個循環節的首、末位數字上各點一個圓點。如果循環 節只有 一個數字，就只在它的上面點一個點。例如： 3.777 簡寫作 0.5302302 簡寫作 。(三)分數 1 分數的意義把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的

53、一份或者幾份的數叫做分數。在分數里，中間的橫線叫做分數線;分數線下面的數，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份;分數線下面的數叫做分子，表示有這樣的多少份。把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數，叫做分數單位。2 分數的分類真分數：分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于1。假分數：分子比分母大或者分子和分母相等的分數，叫做假分數。假分數大于或等于1。帶分數：假分數可以寫成整數與真分數合成的數，通常叫做帶分數。3 約分和通分把一個分數化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數 ，叫做約分。分子分母是互質數的分數，叫做最簡分數。把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。

54、(四)百分數1 表示一個數是另一個數的百分之幾的數 叫做百分數,也叫做百分率 或百分比。百分數通常用"%"來表示。百分號是表示百分數的符號。二 方法(一)數的讀法和寫法1. 整數的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在后面加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數位連續有幾個0都只讀一個零。2. 整數的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數位上一個單位也沒有，就在那個數位上寫0。3. 小數的讀法：讀小數的時候，整數部分按照整數的讀法讀，小數點讀作“點”，小數部分從左向右順次讀出每一位數位上的數字。4. 小數的寫法：寫小

55、數的時候，整數部分按照整數的寫法來寫，小數點寫在個位右下角，小數部分順次寫出每一個數位上的數字。5. 分數的讀法：讀分數時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數的讀法來讀。6. 分數的寫法：先寫分數線，再寫分母，最后寫分子，按照整數的寫法來寫。7.百分數的讀法：讀百分數時，先讀百分之，再讀百分號前面的數，讀數時按照整數的讀法來讀。8. 百分數的寫法：百分數通常不寫成分數形式，而在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。(二)數的改寫一個較大的多位數，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數。有時還可以根據需要，省略這個數某一位后面的數，寫成近似數。1. 準確數：在實際生活中，為了計數的簡便，可以把一個較大的數改寫成以萬或億為單位的數。改寫后的數是原數的準確數。 例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數是 125430 萬;改寫成 以億做單位 的數 12.543 億。2. 近似數：根據實際需要