1、高中數學極限、數學歸納法一、選擇題(本大題共6個小題，每小題6分，共36分)1.(精選考題江西高考)lim(1+召十+召)=()53十A.3B2C.2D.不存在11113解析：nim：(1+3+尹+3n)=1=213答案：B2.設函數f(x)=(x+1)2(x2)，則地斗匚!等于()D.6解析：2f(x)(x+1)+2(x+1Xx2)廣=3x3,x+1x+1f'(x)1的=6.答案：Dx2+2x3在x=1處連續，則1(3)等于()x>13.已知函數f(x)=x111十十2k+2k+1+2k+2,ax+1x<1A.0B.122C.3D3解析：函數f(x)在x=1處連續,f(1

2、)=何2x+2x3=4又當x=1時，f(1)x11邊為+k+2k+31故增加2kX，兩項，減少丄一項.2k+2k+12x12+2x-3=a+1,：a=3.當x>1時，令=3,得x=0或1,不滿足題設.當x<1x12 12時，令3x+1=3,得x=3，滿足題設.二f(3)=3.答案：D111114.用數學歸納法證明+-+-+時，由n=k到n=k+1,不等n+1n+22n34式左邊的變化是()1A增加一項A. 增加2(k+1)項11B. 增加詁和科兩項111c.增加2kn，2T2兩項，同時減少市一項d.以上結論均錯111解析：n=k時，不等式左邊為+十+贏,n=k+1時，不等式左k+1

3、k+22k答案：C25.已知數列an的前n項和Sn=nan(n>2),而a1=1,通過計算a2,a3,a4,猜想an=2A.2n+12Bnn+12D.2n1解析：由Sn=2nan2知Sn+1=(n+1)2an+1,an+1an(n>2).當n2時,S24a2，又S2ai+a2,a11a23,21a34a263 1a45a310.由ai1,1a23,1a36,丄a410.猜想an答案:6.設a,b滿足lim2xbx2x+2bxa1,則niman+1+abnan1+2bn等于（）1C1解析:依題意得a2,2xbx2x+2blimlimxbx2lim(xb)2b=1,因此b3故nimn丄

4、1,.n1a+abn1na+2b答案:2n+1+2X3n-12n-1+2X3n2n14X2-+212 n13.3 n1+2X3二、填空題（本大題共3個小題，每小題6分,共18分）x3x7設alimx41,則1+a+a2+a3+一22-an+1(n+1)Oi+1nan,x-x41x-解析：Ta=xm=xmxx1x+12x1x+1x+123/1+a+a+a+=2.答案：2acosc(x>0)8已知函數f(x)=on在點x=0處連續，則a=.x1(XV0)解析：由題意得xlInf(x)=xli01(x21)=1，xligf(x)=xHijacosc=a,由于f(x)在x=0處連續，因此a=1.

5、答案：1一bn+an9.已知logab>1(0vav1)，則b1an=解析：logab>1,0vav1得0vbva,bn+an=1.答案：1三、解答題(本大題共3個小題，共46分)SnSn110.(本小題滿分15分)已知數列an的前n項和Sn=(n2+n)3n.(2)證明：72+器十十劈3n.12n(1)求nm賈；解:(1)因為n師S二nSn1Sn1=n(1S)=1nmSn，Sn-11n11n飛r=衛血n+i=3,an2=3.（2）證明：當a1n=1時，卡=S1=6>3;當n>1時,=(r-22)S1+(22-0s2十十a1a2anS1S2S1SnSn-2_2Sn-1+

6、_2Sn>_2=3>卡+22+孑=1+2+孑一2,111Snn+nn3n.綜上知，當n>1時，a+器+3n.11.（本小題滿分15分）已知an是由非負整數組成的數列，滿足ai=0,a2=3,a3=nn1nnnn，an+Qn=(an-1十2)(an-2十2),n=3,4,5,.試用數學歸納法證明：an=an-2+2,n=3,4,5,;證明：當n=3時，a3=2=ai+2,所以等式成立;假設當n=k>3時等式成立，即ak=ak2+2.而由題設有ak+iak=(ak-1+2)(ak-2+2).由a2是非負整數，得ak=a2+20,ak+1=ak-1+2,即當n=k+1時，等式

7、也成立.綜合得：對任意正整數n>3,都有an=an-2+2.112.（本小題滿分16分）在數列an中，a1=1,當n>2時，an,Sn,Sn-?成等比數列.(1) 求a2,a3,a4并推出的表達式,(2) 用數學歸納法證明所得的結論.解：Tan,Sn,Sn成等比數列，21°.Sn=an(Sn2)52)2(1)由ai=1,S2=ai+a2=1+a2代入得a2=一3,由a1=1a2=3'S3=3+a3代入得a3=點n=1n>2同理可得a4=35，由此可推出1an=22n32n1證明：當n=1、2、3、4時，由知猜想成立,假設n=k(k>2,kN*)時,ak

8、=2k32k1成立.故S2=22k32k1(Sk1,2(2k3)(2k1)Si；+2Sk1=0,1_1厶Sk=,Sk=(舍).2k12k3由Sk+1=ak+1(Sk+12ak+12k112k122+ak+1+2ak+1+ak+12k11ak+1,x*3k+12(k+132(k+11即nk+1時，命題也成立.1n1由矢口an2n>22n32n1*對一切nN成立.1.B.2解析:x1x3x21xx+1+x3x22x+2x3x1x+3x+32x1x+1x1x+1答案：11iX1Ix2解析：由已知得：f(x)=，則f(x)>0的解集為(-2,1)U(2,+).x+2答案：C3.設常數a&g

9、t;0,(ax2+3的展幵式中x3的系數為3，則linmx（a+a2+a3+解析：'Tr十1=c4a°-，x8"2"，令82=3,得r=2,£的系數為c4a?=6a?則a=£2'(a+a2+a3+an)=121=1.11答案：14.(精選考題上海高考)將直線11：x+y-1=0,12：nx+y-n=0,I3:x+ny*n=0(nN,n>2)圍成的二角形面積記為Sn，則limSn=.解析：如圖所示,x=nx+yn=0,由x+nyn=0則直線b、13交于點A（土，土）.Sn=A1Xnn+1n1n+12,_n11111阿乳=何：

10、(扁2)=阿門2=12=2.十n4 3x5.對于數列Xn,滿足X1=3,Xn+1=J；函數f(X)在(2,2)上有意義，f(31十Xn1x+y+z2)=2,且滿足x,y,z(2,2)時，有f(x)十f(y)+f(z)=f(十適)成立.(1) 求f(4)的值；(2) 求證：f(Xn)是等比數列；亠3n2(3) 設f(Xn)的前n項和為Sn,求linmxs.解：由x=y=z=0?3f(0)=f(0),Af(0)=0,令z=0,得f(x)十f(y)=f(x+y),再令y=x,得f(x)十f(x)=f(0)=0,則f(x)=f(x).所以f£)=f()+fg)十fg)=3f(2)1二3f(2)二6.4(2)證明：由X1=3,結合已知可得1十Xn1十XnfXn十1由f(Xn+1)=f(蟲先)=fF十&十")=f(Xn)十f(Xn)十f(Xn)=3f(Xn),得fX=3,即f(Xn)是以一6為首項，以3為公比的等比數列，且f(Xn)=2X3n.由Sn=1-qai1-qn6X1-3n=3X(1-3n),3n-2得lim=limSn