1、-函數的單調性一、引入課題一、引入課題 觀察下列各個函數的圖象，并說說它們分別反映了相觀察下列各個函數的圖象，并說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規律：應函數的哪些變化規律：yx11-1yx1-11-1問：隨問：隨x的增大，的增大，y的值有什么變化？的值有什么變化？x1-11y-1-1畫出下列函數的圖象，觀察其變化規律：畫出下列函數的圖象，觀察其變化規律：1 1f (x) = x 從左至右圖象上升還是下降從左至右圖象上升還是下降_?_?在區間在區間 _ _ 上，隨著上，隨著x的增大，的增大，f (x)的的值隨著值隨著 _ _ 2 2f (x) = -2x+1 從左至右圖象上升還是下降從左至右

2、圖象上升還是下降 _?_?在區間在區間 _ _ 上，隨著上，隨著x的增大，的增大，f (x)的值的值隨著隨著 _ _ 上升上升（-，+）增大增大下降下降（-，+）減小減小3 3f (x) = x2在區間在區間 _ _ 上，上，f (x)的值隨的值隨著著x的增大而的增大而 _ _ 在區間在區間 _ _ 上，上，f (x)的值隨的值隨著著x的增大而的增大而 _ _ x -4 -3 -2 -1 01234f(x) 16 941014916 (-,0減小減小（0，+）增大增大 y246810O- -2x84121620246210141822I對區間對區間I內內 x1，x2 ，當當x1x2時，時， 有

3、有f(x1)f(x2)圖象在圖象在區間區間I逐漸上升逐漸上升？OxIy區間區間I內內隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN對區間對區間I內內 x1，x2 ，當當x1x2時，時， 有有f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意任意區間區間I內內隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大圖象在圖象在區間區間I逐漸上升逐漸上升對區間對區間I內內 x1，x2 ，當當x1x2時，時， 有有f(x1)f(x2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)O設函數設函數y=f(x)的定義域為的定義域為D,區間區間I D. 如果對于如果對于區間區間I上的上的任意

4、任意當當x1x2時，時，都有都有 f(x1 ) f(x2 )，定義定義MN任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2， I 稱為稱為 f (x)的的單調單調增區間增區間. 那么就說那么就說 f (x)在區間在區間I上上是單調是單調增函數增函數，區間區間I內內隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大圖象在圖象在區間區間I逐漸上升逐漸上升I 那么就說在那么就說在f(x)這個區間上是單調這個區間上是單調減減函數函數，I稱為稱為f(x)的的單調單調 減減 區間區間.Oxyx1x2f(x1)f(x2)類比單調增函數的研究方法定義單調減函數類比單調增函數的研究方法定義單調減函數. .xOyx1x2f(

5、x1)f(x2)設函數設函數y=f(x)的定義域為的定義域為D,區間區間I D. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域D內內某個區間某個區間I上上的的任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2，設函數設函數y=f(x)的定義域為的定義域為D,區間區間I D. 如果對于屬于定義域如果對于屬于定義域D內內某個區間某個區間I上上的的任意任意兩個自變量的值兩個自變量的值x1,x2， 那么就說在那么就說在f(x)這個區間上是單調這個區間上是單調增增 函數函數，I稱為稱為f(x)的的單調單調 區間區間.增增當當x1x2時，時，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，當當x1x2時，時，都有都有f(x1

6、 ) f(x2 )，單調區間單調區間注意：注意： 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；是函數的局部性質；必須是對于區間必須是對于區間I I內的任意兩個自變量內的任意兩個自變量x1，x2；函數的單調性是相對某個區間而言，不能直接函數的單調性是相對某個區間而言，不能直接說某函數是增函數或減函數。說某函數是增函數或減函數。下列說法是否正確？請畫圖說明理由。下列說法是否正確？請畫圖說明理由。（1 1）如果對于區間（）如果對于區間（0 0，+）上的任意）上的任意x x有有f( (x)f(0),(0),則函數在區間（則函數在區間（0 0

7、，+）上單調）上單調遞增。遞增。（2）對于區間（a,b）上得某3個自變量的值 x1,x2,x3,當 時， 有 則函數f(x)在區間（a,b）上單調遞增。123( )()()()( )f af xf xf xf b123axxxb2 2單調性與單調區間單調性與單調區間 如果函數如果函數y=f(x)在某個區間在某個區間D D上是增函數或減函數，那么上是增函數或減函數，那么就說函數就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D D叫叫做做y=f(x)的單調區間：的單調區間：注意：函數的單調區間是其定義域的子集；注意：函數的單調區間是其定義域的子集；應是

8、該區間內應是該區間內任意任意的兩個實數，忽的兩個實數，忽略需要略需要任意任意取值這個條件，就不能保取值這個條件，就不能保證函數是增函數（或減函數），例如，證函數是增函數（或減函數），例如，圖圖5 5中，在那樣的特定位置上，雖然中，在那樣的特定位置上，雖然使得使得 , ,但顯然此圖象表但顯然此圖象表示的函數不是一個單調函數；示的函數不是一個單調函數；1x2x)(1xf)(2xf)(xf?5yx12()()f xf x幾何特征幾何特征：在自變量取值區間上，若單調：在自變量取值區間上，若單調函數的圖象上升，則為增函數，圖象下降則函數的圖象上升，則為增函數，圖象下降則為減函數為減函數. .思考思考1

9、1：一次函數一次函數 的單調性，單調的單調性，單調區間：區間：)0(kbkxy思考思考2 2：二次函數二次函數 的單調性，單調區間：的單調性，單調區間：)0(2acbxaxy（二）典型例題例例1 1 如圖如圖6 6是定義在閉區間是定義在閉區間-5-5，55上的函數上的函數y=f(x)的圖的圖象，根據圖象說出象，根據圖象說出y=f(x)的單調區間，以及在每一單調的單調區間，以及在每一單調區間上，函數區間上，函數y=f(x)是增函數還是減函數是增函數還是減函數. . 書寫單調區間時，注意區間端點的寫法。書寫單調區間時，注意區間端點的寫法。對于對于某一個點某一個點而言，由于它的函數值是一個而言，由于

10、它的函數值是一個確定的確定的常數，無單調性可言常數，無單調性可言，因此在寫單調因此在寫單調區間時，可以包括端點，也可以不包括端點區間時，可以包括端點，也可以不包括端點。但對于某些不在定義域內的區間端點，但對于某些不在定義域內的區間端點，書寫時就必須去掉端點。書寫時就必須去掉端點。練習：判斷函數練習：判斷函數 的單調區間。的單調區間。2( )2f xxxxxxxf2)(2 y21o單調遞增區間：單調遞增區間：單調遞減區間：單調遞減區間：1 ,( ), 1 例例2 2 物理學中的玻意定律物理學中的玻意定律 ( (k k為正常數為正常數) )告訴我們告訴我們, ,對于一定量的氣體對于一定量的氣體,

11、,當體積當體積V 減減小時小時, ,壓強壓強 P 將增大將增大. .試用函數的單調性證明之試用函數的單調性證明之. .kpV=二、新課教學二、新課教學（一）函數單調性定義（一）函數單調性定義1 1增函數增函數一般地，設函數一般地，設函數y=f (x)的的定義域為定義域為I，如果對于定義域如果對于定義域 I 內的內的某個區間某個區間D D內內的的任意任意兩個自變量兩個自變量x1, x2 ，當當x1 x2 時，都有時，都有f(x1) f(x2)，那么就說那么就說f(x)在區間在區間D D上是上是增函數增函數（increasing functionincreasing function）3 3證明函

12、數單調性的方法步驟證明函數單調性的方法步驟 利用定義證明函數利用定義證明函數f(x)在給定的區間在給定的區間D D上的單調性的一上的單調性的一般步驟：般步驟： 任取任取x1，x2D，且，且x1x2； 作差作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）；變形（通常是因式分解和配方）；定號（即判斷差定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；的正負）；下結論（即指出函數下結論（即指出函數f(x)在給定的區間在給定的區間D D上的單調性）上的單調性）上上是是增增函函數數。，（在在區區間間證證明明函函數數 xxf12)( . 例例2 2內內任任意意是是區區間間設設),(,x 21 x1212

13、12( )()(21) (21)2(x)f xf xxxx0 x ,2121 xxx0)()(21 xfxf)()(21xfxf 即即證明：證明：。兩兩個個實實數數，且且 x 21x ),(12)( 在在區區間間則則函函數數xxf是是增增函函數數。 （取值）（取值）（作差）（作差）（下結論）（下結論）（定號）（定號）.23)( . 2上上是是增增函函數數在在證證明明函函數數練練習習Rxxf f（x1） f（x2）f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）（）（3x12）（）（ 3x22） 3（x1x2）由由x1x2，得，得 x1x20.23)(上是增函數上是增函數在在函數函數Rxxf 設設x1

14、，x2是是R上的任意兩個實數，且上的任意兩個實數，且x1x2，則，則探究：探究：P30 P30 畫出反比例函數畫出反比例函數 的圖象的圖象這個函數的定義域是什么？這個函數的定義域是什么？它在定義域它在定義域I上的單調性怎樣？證明你的結論上的單調性怎樣？證明你的結論xy1 思考思考3 3：反比例函數反比例函數 的單調性，的單調性，單調區間：單調區間： )0(kxky.), 0(1)(. 3減函數？證明你的結論減函數？證明你的結論上是增函數還是上是增函數還是在在函數函數例例 xxf設設x1，x2（0，+），且），且x1x2，則，則22111)(,1)(xxfxxf 212111)()(xxxfxf

15、 2112xxxx 0), 0(,2121 xxxx01221 xxxx0)()(21 xfxf)()(21xfxf .), 0(1)(上是減函數上是減函數在在函數函數 xxf111Ox y1f（x）在定義域）在定義域上是減函數嗎？上是減函數嗎？減函數減函數 取取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）例例3 3 討論函數討論函數 在在(-2,2)(-2,2)內的單內的單調性調性. .322 axxf(x)變式變式1 1：若二次函數：若二次函數2( )4f xxax 在區間在區間(-,1(-,1上單調遞增，求上單調遞增，求a a的取值范圍。的取值范圍。變式變式2

16、 2：若二次函數：若二次函數2( )4f xxax 的遞增區間是（的遞增區間是（-,1-,1，則，則a a的取值情況是的取值情況是( )f x 是定義在是定義在R上的單調函數，且上的單調函數，且 的圖的圖象過點象過點A（0，2）和）和B（3，0）（1）解不等式）解不等式 （2）求適合）求適合 的的 的取的取值范圍值范圍( )f x(2 )(1)fxfx( )2( )0f xf x或x( )f x 是定義在（是定義在（-1，1）上的單調增函數，）上的單調增函數， 解不等式解不等式 (2 )(1)fxfx的單調區間。的單調區間。求函數求函數34xxy2 練習：練習：注意：注意：在原函數定義域內討論

17、函數的單調性在原函數定義域內討論函數的單調性思考與討論思考與討論f(xf(x) )和和g(xg(x) )都是區間都是區間D D上的單調函數，上的單調函數，那么那么f(xf(x) )和和g(xg(x) )四則運算后在該四則運算后在該區間區間D D內還具備單調性嗎？情況如何？內還具備單調性嗎？情況如何？你能證明嗎？能舉例嗎？你能證明嗎？能舉例嗎？1.1.若若f(xf(x) )為增函數，為增函數，g(xg(x) )為增函數，為增函數，則則F(X)=F(X)=f(x)+g(xf(x)+g(x) )為增函數。為增函數。2.2.若若f(xf(x) )為減函數，為減函數，g(xg(x) )為減函數，為減函數

18、，則則F(X)=F(X)=f(x)+g(xf(x)+g(x) )為減函數。為減函數。3.3.若若f(xf(x) )為增函數，為增函數，g(xg(x) )為減函數，為減函數，則則F(X)=F(X)=f(x)-g(xf(x)-g(x) )為增函數。為增函數。4.4.若若f(xf(x) )為減函數，為減函數，g(xg(x) )為增函數，為增函數，則則F(X)=F(X)=f(x)-g(xf(x)-g(x) )為減函數。為減函數。三、歸納小結三、歸納小結1.1.函數的單調性的判定、證明和單調區間的確定：函數的單調性的判定、證明和單調區間的確定：函數函數 的單調性一般是先根據圖象判斷，再利用定義證明畫的單

19、調性一般是先根據圖象判斷，再利用定義證明畫函數圖象通常借助計算機，求函數的單調區間時必須要函數圖象通常借助計算機，求函數的單調區間時必須要注意函數的定義域，單調性的證明一般分五步：注意函數的定義域，單調性的證明一般分五步：取取 值值 作作 差差 變變 形形 定定 號號 下結論下結論2.2.直接利用初等函數的單調區間。直接利用初等函數的單調區間。 四、作業布置四、作業布置書面作業：書面作業：課本課本P39 AP39 A組：第組：第2 2題題 2(2(選做選做) ) 證明函數證明函數f(x)=x3在在(-(-，+)+)上是上是增函數增函數. .-函數的最大（小）值畫出下列函數的草圖，并根據圖象解答

20、下列問題：畫出下列函數的草圖，并根據圖象解答下列問題： 1.說出說出y=f(x)的單調區間，以及在各單調區間上的單調性；的單調區間，以及在各單調區間上的單調性；2.指出圖象的最高點或最低點，你是如何理解函數圖象最高指出圖象的最高點或最低點，你是如何理解函數圖象最高點的？點的？ (1) (2) ( )230,3f xxx 12)(2xxxfxyo2oxy-11最大值最大值 一般地，設函數一般地，設函數y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果，如果存在實數存在實數M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，稱那

21、么，稱M是函數是函數y=f(x)的的最大值最大值 最大值的幾何意義：函數圖像上最高點的縱坐標。最大值的幾何意義：函數圖像上最高點的縱坐標。類比最大值的定義，請你給出最小值的定義。類比最大值的定義，請你給出最小值的定義。2最小值最小值 一般地，設函數一般地，設函數y=f(x)的定義域為的定義域為I，如，如果存在實數果存在實數M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，稱那么，稱M是函數是函數y=f(x)的的最小值最小值 2.2.函數最大（小）值應該是所有函數值中函數最大（小）值應該是所有函數值中最大（小）的，

22、即對于任意的最大（小）的，即對于任意的xI，都有，都有f(x)M（f (x)M） 注注 意：意：1.1.函數最大（小）值首先應該是某一個函數函數最大（小）值首先應該是某一個函數值，值， 即存在即存在x0I，使得，使得f (x0) = M；3.3.最大值和最小值統稱為最值。最大值和最小值統稱為最值。.)(1, 1)(,),()(12的最大值為函數則都有任意、函數xfxfRxRxxxf判斷以下說法是否正確。判斷以下說法是否正確。.)(,)(,)(,)(,),(,)(3003020132100yxfyxfyxfyxfxxxyxPbaxf的最小值為則函數有自變量對于），已知點的定義域為（、函數2、設函

23、數 ，則 成立嗎？ 的最大值是2嗎？為什么？2( )1f xx ( )2f x ( )f x例3 “菊花菊花”煙花是最壯觀的煙花之一煙花是最壯觀的煙花之一. .制造時一般是期制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂望在它達到最高點時爆裂. . 如果在距地面高度如果在距地面高度h m與時間與時間t s之間的之間的關系為關系為:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，那么煙花沖出后什么時候是那么煙花沖出后什么時候是它的爆裂的最佳時刻？這時它的爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確距地面的高度是多少（精確到到1m1m）解：作出函數h(t)= -4.9t2+14.7t+18的圖象(如圖).顯然

24、，函數圖象的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度. 由于二次函數的知識，對于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我們有: 29)9 . 4(47 .1418)9 . 4(45 . 1)9 . 4(27 .142ht 時，函數有最大值當 于是，煙花沖出后1.5秒是它爆裂的最佳時刻,這時距地面的高度為29 m.例3 求函數 在區間2，6上的最大值和最小值 12xy解：設x1,x2是區間2,6上的任意兩個實數，且x1x2,則) 1)(1()(2 ) 1)(1()1() 1(21212)()(121212122121xxxxxxxxxxxfxf由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(, 0)()(2121xfxfxfxf 即所以，函數 是區間2,6上的減函數.12xy 因