1、解法：1（第i個是次品），i0（第i個是正品）(i=1,2,3,4,5)隨機變量之和的數學期望疋理和應用、問題的提出引例：一批產品共100件，其中有10件次品，為檢查其質量，從中任抽5件,求5件中次品數E的分布列，并求E的數學期望。E012345PC5C90C1C4C10C90C2C3C10C90C3C2C10C90C4C1C10C90C5C105C100C100C100C100C1005C100Co?；。+4XCCo+5XC100C100C100.e三=1x羊+2X華+3XCiooC1005i：+&的分布列為g01P9110101E戸-(匸伍3,4,5)51E才，Ei=5X110=、

2、初步思考和結論解法一是堂堂正正的解法，但計算不易，尤其當數字較大時更難；解法二所用到的下列結論5一5手送匕nE審瓦e©i*i=1當各事件“第i個產品是次品”相互獨立時成立（其證明見下文）。但本題中這一點并不滿足，所以解法二不能令人信服。但結果卻是正確的，而且形式上與二項分布的期望計算公式一樣，是否一種巧合呢？于是把數字作了改動，結果仍然正確。再推廣到一般情形，結果還是正確，即:m件產品中有a件次品，任抽n件，其中含有次品數E的期望是n,ma其中的一實際是次品率p，故E審np。m證明：P（手k）=nkE手kCaCk4.CkcnJsCaCm_aCnm,nXfm_a一C=CmnJ.(k=0

3、,1,2,，n)nak1nan_ca_1Cm_aCmk-1=Ca.Cm=曇cm1Cmi：0Cma=n-m由此，我們認為，求這類問題中的期望時，可以直接使用這個結論，這將大大簡化求解過程。比如，袋中若干黑球和白球，任取若干球，求其中白球個數的期望的問題就可直接使用這個結論。三、進一步的探索盡管解法二似乎缺乏理論根據，但它顯得特別簡單，而且在其它不同的問題中使用起來也顯示優勢。這促使我們進行了進一步的思考：隨機變量之和的期望有什么規律？1、設兩個隨機變量E與n的分布列分別為EXiX2XPpip2pinyiy2yPqiq2qi若事件“手X”于“n=yi”互相獨立，則e)=E證明：E(:)=(xi+y

4、i)piqi+(xi+y2)piq2+(X2+yi)p2qi+(X2+y2)p2q2+=xipi(q計q2+)+pi(yiq計y2q2+)+X2p2(q計q2+)+p2(yiq計y2q2+)+=xiP計X2P2+(P計P2+)E=e1eh該結論可以推廣到有限個隨機變量之和，即定理1:若&(i=1,2,3,)相互獨立，則E(，J八Eii£i£2、若兩個隨機變量E與n均服從“兩點分布”，其分布列分別為EXiX2PpiP2nyiy2Pqiq2其中，p2=1-pi,q2=1-qi則有E（）二E：E記事件a=“手xi”,b=“n=yi”，貝UA=“手X2”，B=“n=y?”證

5、明中用到如下結論：p（ab）+p（aB）=p（a）證明：E()=(xi+yi)P(AB)+(xi+y2)P(AB)+(X2+yi)P(AB)+(X2+y?)P(AB)=XiP(AB)+P(AB)+X2P(AB)+P(AB)+yiP(AB)+P(AB)+y2P(AB)+P(AB)=XiP(A)+X2P(A)+yiP(B)+y2P(B)=EE該結論同樣可以推廣到有限個服從兩點分布的隨機變量之和，即nnECJEii盤iz+nn定理2：若n個隨機變量&(i=i,2,n)均服從兩點分布，則E(JEi。四、應用舉例有些隨機變量的分布列不易求得，從而不易求得期望，有些隨機變量雖然不難求得分布列但期望

6、同樣不易計算。如果能把這樣的隨機變量表示為若干服從兩點分布的隨機變量的和的形式，則可大大簡化計算期望的過程。例i把數字i,2,3,，n任意地排成一列，如果數字k恰好出現在第k個位置上，則稱i個巧合，求巧合個數E的數學期望。該題很難直接求得E的分布列，但可巧妙地轉化為服從兩點分布的變量之和。解:設i=0(合)(i=i,2,n),inii則P(首=i)=一,P(g=0)=Eg=nnnnn=E審E(二勺)='“Ei=nE&=iizii±例2設事件A在第i次實驗時發生的概率為Pi(i=1,2,n),求事件A在n次試驗中發生的次數E的數學期望。解：設看=1(第i次試驗時A發生)

7、,&=0(第i次試驗時A不發生)則&的分布列為&10PPi1-Pinnn二E滬pi二E審Jr，_Ei八Pii±i-1i1例3有n張卡片，分別寫有1,2,，n,從中任取m張(m<n),其上的數字之和為E,求EE。分析：本題若直接求E的分布列，難度相當大，而轉化為隨機變量之和來表示E則容易得多了。解：設第i張卡片上的數字是&(i=1,2,m)，貝V&的分布列是&12nP111nnn由于&不服從兩點分布，故不能應用上述定理。怎么辦？再進行探索，我們得到如下結果。五、更一般的結論定理1與定理2都有嚴格的條件，限制了它們的應用，下面

8、將這兩個定理推廣到一般情形。考慮兩個隨機變量&與n設它們的分布列分別為&X1X2XiPP1P2Pinyiy2yPq1q2qi記事件Aj="&Xi,n=yj”(i、j=1,2,3,)，P(Aij)=pij。則(&n的分布列為n&y1y2yiX1p11p12p1jX2P2iP22P2jXPiiPi2Pij顯然有pi=pii+P12+pij+=、'pij,qi=pii+P21+pii+=、pj1ji同理有pwpij,qj=7pjjiE(丁滬臣(Xi+yj)pj=ijvV(XiPij-yjPij)=、(VXPij亠二yjPij)ijijj=E(x送Pj)+遲(送yjPj)=送(Xipj+區(送yjPij)ijij=E：_(yja必)=E匚亠二(yjqj)=jij由此得到如下定理。定理3：E與n是任意兩個隨機變量，則nnE('i)Eioi=4i=1m(n1)由于定理中E與n是任意兩個隨機變量，所以，可以推廣到有限多個隨機