隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望——定理和應(yīng)用_第1頁
隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望——定理和應(yīng)用_第2頁
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文檔簡介

1、解法:1(第i個是次品),i0(第i個是正品)(i=1,2,3,4,5)隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望疋理和應(yīng)用、問題的提出引例:一批產(chǎn)品共100件,其中有10件次品,為檢查其質(zhì)量,從中任抽5件,求5件中次品數(shù)E的分布列,并求E的數(shù)學(xué)期望。E012345PC5C90C1C4C10C90C2C3C10C90C3C2C10C90C4C1C10C90C5C105C100C100C100C100C1005C100Co?;。+4XCCo+5XC100C100C100.e三=1x羊+2X華+3XCiooC1005i:+&的分布列為g01P9110101E戸-(匸伍3,4,5)51E才,Ei=5X110=、

2、初步思考和結(jié)論解法一是堂堂正正的解法,但計算不易,尤其當(dāng)數(shù)字較大時更難;解法二所用到的下列結(jié)論5一5手送匕nE審?fù)遝©i*i=1當(dāng)各事件“第i個產(chǎn)品是次品”相互獨(dú)立時成立(其證明見下文)。但本題中這一點(diǎn)并不滿足,所以解法二不能令人信服。但結(jié)果卻是正確的,而且形式上與二項分布的期望計算公式一樣,是否一種巧合呢?于是把數(shù)字作了改動,結(jié)果仍然正確。再推廣到一般情形,結(jié)果還是正確,即:m件產(chǎn)品中有a件次品,任抽n件,其中含有次品數(shù)E的期望是n,ma其中的一實(shí)際是次品率p,故E審np。m證明:P(手k)=nkE手kCaCk4.CkcnJsCaCm_aCnm,nXfm_a一C=CmnJ.(k=0

3、,1,2,,n)nak1nan_ca_1Cm_aCmk-1=Ca.Cm=曇cm1Cmi:0Cma=n-m由此,我們認(rèn)為,求這類問題中的期望時,可以直接使用這個結(jié)論,這將大大簡化求解過程。比如,袋中若干黑球和白球,任取若干球,求其中白球個數(shù)的期望的問題就可直接使用這個結(jié)論。三、進(jìn)一步的探索盡管解法二似乎缺乏理論根據(jù),但它顯得特別簡單,而且在其它不同的問題中使用起來也顯示優(yōu)勢。這促使我們進(jìn)行了進(jìn)一步的思考:隨機(jī)變量之和的期望有什么規(guī)律?1、設(shè)兩個隨機(jī)變量E與n的分布列分別為EXiX2XPpip2pinyiy2yPqiq2qi若事件“手X”于“n=yi”互相獨(dú)立,則e)=E證明:E(:)=(xi+y

4、i)piqi+(xi+y2)piq2+(X2+yi)p2qi+(X2+y2)p2q2+=xipi(q計q2+)+pi(yiq計y2q2+)+X2p2(q計q2+)+p2(yiq計y2q2+)+=xiP計X2P2+(P計P2+)E=e1eh該結(jié)論可以推廣到有限個隨機(jī)變量之和,即定理1:若&(i=1,2,3,)相互獨(dú)立,則E(,J八Eii£i£2、若兩個隨機(jī)變量E與n均服從“兩點(diǎn)分布”,其分布列分別為EXiX2PpiP2nyiy2Pqiq2其中,p2=1-pi,q2=1-qi則有E()二E:E記事件a=“手xi”,b=“n=yi”,貝UA=“手X2”,B=“n=y?”證

5、明中用到如下結(jié)論:p(ab)+p(aB)=p(a)證明:E()=(xi+yi)P(AB)+(xi+y2)P(AB)+(X2+yi)P(AB)+(X2+y?)P(AB)=XiP(AB)+P(AB)+X2P(AB)+P(AB)+yiP(AB)+P(AB)+y2P(AB)+P(AB)=XiP(A)+X2P(A)+yiP(B)+y2P(B)=EE該結(jié)論同樣可以推廣到有限個服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量之和,即nnECJEii盤iz+nn定理2:若n個隨機(jī)變量&(i=i,2,n)均服從兩點(diǎn)分布,則E(JEi。四、應(yīng)用舉例有些隨機(jī)變量的分布列不易求得,從而不易求得期望,有些隨機(jī)變量雖然不難求得分布列但期望

6、同樣不易計算。如果能把這樣的隨機(jī)變量表示為若干服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量的和的形式,則可大大簡化計算期望的過程。例i把數(shù)字i,2,3,,n任意地排成一列,如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上,則稱i個巧合,求巧合個數(shù)E的數(shù)學(xué)期望。該題很難直接求得E的分布列,但可巧妙地轉(zhuǎn)化為服從兩點(diǎn)分布的變量之和。解:設(shè)i=0(合)(i=i,2,n),inii則P(首=i)=一,P(g=0)=Eg=nnnnn=E審E(二勺)='“Ei=nE&=iizii±例2設(shè)事件A在第i次實(shí)驗(yàn)時發(fā)生的概率為Pi(i=1,2,n),求事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)E的數(shù)學(xué)期望。解:設(shè)看=1(第i次試驗(yàn)時A發(fā)生)

7、,&=0(第i次試驗(yàn)時A不發(fā)生)則&的分布列為&10PPi1-Pinnn二E滬pi二E審Jr,_Ei八Pii±i-1i1例3有n張卡片,分別寫有1,2,,n,從中任取m張(m<n),其上的數(shù)字之和為E,求EE。分析:本題若直接求E的分布列,難度相當(dāng)大,而轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量之和來表示E則容易得多了。解:設(shè)第i張卡片上的數(shù)字是&(i=1,2,m),貝V&的分布列是&12nP111nnn由于&不服從兩點(diǎn)分布,故不能應(yīng)用上述定理。怎么辦?再進(jìn)行探索,我們得到如下結(jié)果。五、更一般的結(jié)論定理1與定理2都有嚴(yán)格的條件,限制了它們的應(yīng)用,下面

8、將這兩個定理推廣到一般情形。考慮兩個隨機(jī)變量&與n設(shè)它們的分布列分別為&X1X2XiPP1P2Pinyiy2yPq1q2qi記事件Aj="&Xi,n=yj”(i、j=1,2,3,),P(Aij)=pij。則(&n的分布列為n&y1y2yiX1p11p12p1jX2P2iP22P2jXPiiPi2Pij顯然有pi=pii+P12+pij+=、'pij,qi=pii+P21+pii+=、pj1ji同理有pwpij,qj=7pjjiE(丁滬臣(Xi+yj)pj=ijvV(XiPij-yjPij)=、(VXPij亠二yjPij)ijijj=E(x送Pj)+遲(送yjPj)=送(Xipj+區(qū)(送yjPij)ijij=E:_(yja必)=E匚亠二(yjqj)=jij由此得到如下定理。定理3:E與n是任意兩個隨機(jī)變量,則nnE('i)Eioi=4i=1m(n1)由于定理中E與n是任意兩個隨機(jī)變量,所以,可以推廣到有限多個隨機(jī)

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