1、1數數 值值 分分 析析林甲富林甲富2教材教材丁麗娟丁麗娟, 程杞元程杞元,數值計算方法數值計算方法, 高等教育高等教育出版社出版社, 2011年年.3第一章第一章 數值計算中的誤差數值計算中的誤差1.2 誤差的基本概念誤差的基本概念 1.3 數值計算中誤差的傳播數值計算中誤差的傳播1.4 數值計算中應注意的問題數值計算中應注意的問題 1.1 數值計算的內容與特點數值計算的內容與特點 4 數值分析是做什么用的？數值分析是做什么用的？數值數值分析分析輸入復雜問題或運算輸入復雜問題或運算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 計算機計算機近似解近似解1.1 數值計算的內容與特點

2、數值計算的內容與特點 5 研究對象研究對象 那些在理論上有解而又無法手工計算的那些在理論上有解而又無法手工計算的數學問題數學問題 例例 解解300階的線性方程組階的線性方程組 求求6階矩陣的全部特征值階矩陣的全部特征值6主要內容主要內容 數值代數數值代數近似求解線性方程組近似求解線性方程組 (直接解法直接解法, 迭代解法迭代解法)矩陣特征值的計算矩陣特征值的計算 數值逼近：數值逼近： 插值法插值法, 函數逼近函數逼近 數值微分與數值積分數值微分與數值積分 微分方程近似求解微分方程近似求解: 常微分方程數值解法常微分方程數值解法 非線性方程求解非線性方程求解 71.2 誤差的基本概念誤差的基本概

3、念 誤差按來源可分為：誤差按來源可分為： 模型誤差模型誤差 觀測誤差觀測誤差 截斷誤差截斷誤差 舍入誤差舍入誤差 誤差：精確解與近似解之間的差誤差：精確解與近似解之間的差8 模型誤差模型誤差 數學模型通常是由實際問題抽象得到數學模型通常是由實際問題抽象得到的的, 一般帶有誤差一般帶有誤差, 這種誤差稱為這種誤差稱為模型誤差模型誤差. 觀測誤差觀測誤差 數學模型中包含的一些參數通常是通數學模型中包含的一些參數通常是通過觀測和實驗得到的過觀測和實驗得到的, 難免帶有誤差難免帶有誤差, 這種誤差稱為這種誤差稱為觀測誤差觀測誤差. 截斷誤差截斷誤差 求解數學模型所用的數值方法通常求解數學模型所用的數值

4、方法通常是一種近似方法是一種近似方法, 這種因方法產生的誤差稱為這種因方法產生的誤差稱為截截斷誤差斷誤差或或方法誤差方法誤差.9 543251413121)1ln(xxxxxx實際計算時只能截取有限項代數和計算實際計算時只能截取有限項代數和計算, 如取前如取前5項有項有:5141312112ln 這里產生誤差這里產生誤差 (記作記作R5 )截斷誤差截斷誤差 8171615R例如例如, 利用利用 ln(x+1) 的的Taylor公式計算公式計算 ln2,10 舍入誤差舍入誤差 由于計算機只能對有限位數進行由于計算機只能對有限位數進行, e原則保留有限位原則保留有限位, 這時產生的誤差稱為這時產生

5、的誤差稱為舍入誤差舍入誤差。, 231等都要按舍入等都要按舍入運算運算, 在運算中像在運算中像在數值分析中在數值分析中, 均假定數學模型是準確的均假定數學模型是準確的, 因而不因而不考慮模型誤差和觀測誤差考慮模型誤差和觀測誤差, 只討論只討論截斷誤差截斷誤差和和舍入舍入誤差誤差對計算結果的影響對計算結果的影響.11 設設x* 是準確值是準確值x 的一個近似值的一個近似值, 記記e=x x*稱稱 e為近似值為近似值 x* 的的絕對誤差絕對誤差, 簡稱誤差簡稱誤差.絕對誤差一般很難準確計算絕對誤差一般很難準確計算, 但可以估計上界但可以估計上界. 絕對誤差絕對誤差則稱則稱 為近似值為近似值 x*

6、的的絕對誤差限絕對誤差限, 簡稱誤差限簡稱誤差限. 若若 滿足滿足 |e1.2.1 絕對誤差和相對誤差絕對誤差和相對誤差12例例 用毫米刻度的米尺測量一長度用毫米刻度的米尺測量一長度 x, 如讀出的長度如讀出的長度是是 x*=765 mm, 由于誤差限是由于誤差限是 0.5 mm, 故準確值故準確值.mm5 .765,mm5 .764 x 精確值精確值x , 近似值近似值 x* 和誤差限和誤差限 之間滿足：之間滿足：通常記為通常記為 *xxx *xx 13 絕對誤差有時并不能完全地反映近似值的好壞絕對誤差有時并不能完全地反映近似值的好壞, 如測量如測量 100 m 和和 10 m 兩個長度兩個

7、長度, 若它們的絕對誤若它們的絕對誤差都是差都是 1 cm, 顯然前者的測量結果比后者的準確顯然前者的測量結果比后者的準確. 因此因此, 決定一個量的近似值的精確度決定一個量的近似值的精確度, 除了要除了要看看絕對誤差絕對誤差外外, 還必須考慮還必須考慮該量本身的大小該量本身的大小.14稱稱 er 為近似值為近似值 x* 的的相對誤差相對誤差. 記記,*xxxxeer 由于由于 x 未知未知, 實際使用時總是將實際使用時總是將 x* 的相對誤差取為的相對誤差取為*xxxxeer .|rre 相對誤差相對誤差 稱為近似值稱為近似值x*的的相對誤差限相對誤差限. |*| xr 15例例 設設 x*

8、=1.24是由精確值是由精確值 x 經過四舍五入得到的經過四舍五入得到的近似值近似值, 求求x*的絕對誤差限和相對誤差限的絕對誤差限和相對誤差限.由已知可得由已知可得:所以所以 =0.005,245. 1235. 1 x%.4 . 024. 1005. 0 r 解解 一般地一般地, 凡是由準確值經過四舍五入得到的近似凡是由準確值經過四舍五入得到的近似值值, 其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位.16有有 位有效數字，精確到小數點后第位有效數字，精確到小數點后第 位位* 若近似值若近似值 x*滿足滿足 則稱則稱 x*準準確到小數點后第確到小數點后第n位位.

9、 并把從第一個非零數字到這并把從第一個非零數字到這一位的所有數字均稱為一位的所有數字均稱為有效數字有效數字.,1021|*|nxx 1415.3*.;8979321415926535.3 例例：問：問： 有幾位有效數字？有幾位有效數字？* 31050* .|解：解：431.2.2 有效數字有效數字17數數x*總可以寫成如下形式總可以寫成如下形式.10. 0*21mnaaax x* 作為作為x的近似值的近似值, 具有具有n位有效數字當且僅當位有效數字當且僅當nmxx 1021*其中其中m是整數是整數, ai是是0到到9中的一個數字中的一個數字,. 01 a由此可見由此可見, 近似值的有效數字越多

10、近似值的有效數字越多, 其絕對誤差越小其絕對誤差越小. 有效數字的另一等價定義有效數字的另一等價定義18故取故取 n=6, 即取即取 6 位有效數字位有效數字. 此時此時 x*=1.41421.解解則近似值則近似值x*可寫為可寫為由于由于 ,414. 12 ,10. 0*121 naaax. 011 a51101021*2 nx令令例例 為了使為了使 的近似值的絕對誤差不大于的近似值的絕對誤差不大于105, 問應取幾位有效數字問應取幾位有效數字?2 x19 相對誤差限與有效數字之間的關系相對誤差限與有效數字之間的關系.111211021.021010.01050 nnmnnmra.aaa.a.

11、x* 有效數字有效數字 相對誤差限相對誤差限已知已知 x* = 0.a1a2an10m有有 n 位位有效數字有效數字, 則其則其相對誤差限相對誤差限為為20nmmnmnr.aaa.aaxxx 105010)1()1(21010.0)1(210|*|*|11112111 相對誤差限相對誤差限 有效數字有效數字1110)1(21 nra已知已知 x* 的的相對誤差限相對誤差限可寫為可寫為則則可見可見 x* 至少有至少有 n 位有效數字位有效數字.21 基本運算中基本運算中( )的誤差估計的誤差估計,105 . 0|414. 12|3 ,105 . 0|236. 25|3 問問?|414. 1236

12、. 225| ?236. 2414. 152 1.3 數值計算中誤差的傳播數值計算中誤差的傳播如如22例例 計算計算 A=f (x1, x2). 如果如果x1, x2的近似值為的近似值為 x1*, x2*, 則則A的近似值為的近似值為 A*=f (x1*, x2*), 用多元函數微分近用多元函數微分近似公式可以得到似公式可以得到*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)*,(),(*)(2221112122221111212121xexxxfxexxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfAAAe 絕對誤差絕對誤差 e 運算可近似看成微分運算運算可近似看成微分運算.2

13、3由此可以得到基本運算中由此可以得到基本運算中( )的誤差估計的誤差估計,),()()(2121xexexxe 和差的誤差限不超過各數的誤差限之和和差的誤差限不超過各數的誤差限之和.| )(| )(| )(|2121xexexxe 24)()()()()(212121211221xexexxxexxxxexxxerrr ),()()(211221xexxexxxe | )(| )(| )(|2121xexexxerrr 乘法相對誤差限不超過各數相對誤差限之和乘法相對誤差限不超過各數相對誤差限之和.25,)()(22211221xxexxexxxe ).()()()(211222211221xe

14、xexxxxexxexxxerrr 乘除相對誤差限不超過各數相對誤差限之和乘除相對誤差限不超過各數相對誤差限之和. | )(| )(|2121xexexxerrr 26例例 設設 y=xn, 求求 y 的相對誤差與的相對誤差與 x 的相對誤差之間的相對誤差之間的關系的關系.解解)()()(1xenxxeyenn )()()()()(1xnexxenxxenxyyeyernnr 所以所以xn 的相對誤差是的相對誤差是 x 的相對誤差的的相對誤差的n倍倍.x2的相對誤差是的相對誤差是 x 的相對誤差的的相對誤差的 2 倍倍,x的相對誤差是的相對誤差是 x 的相對誤差的的相對誤差的 1/2 倍倍.2

15、7 算法的數值穩定性算法的數值穩定性 一種數值算法一種數值算法, 如果其計算舍入誤差積累是可控如果其計算舍入誤差積累是可控制的制的, 則稱其為數值穩定的則稱其為數值穩定的, 反之稱為數值不穩定的反之稱為數值不穩定的.28 101dxexIxnn利用分部積分法可得計算利用分部積分法可得計算In的遞推公式的遞推公式, 2 , 11, 1 nnIInn例例 計算積分計算積分算法算法1： 1010dxeIx, 2 , 11, 1 nnIInn6321. 0632120558. 011 e由此遞推計算由此遞推計算 I1, I2, , I9.解解291 , 2 , 8 , 9, )1(11 nInInn

16、10109919110110dxxIdxexe取近似值取近似值,0684. 0)10110(2119 eI由此計算由此計算 I8, I7, , I0.并將計算公式改寫為并將計算公式改寫為算法算法2：此時此時10121|1*99 eII.0316. 0 30InI0I1I2I3I4I5I6I7I8I9算法算法10.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.21600.72807.5520算法算法20.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11210.10350.0684真值真值0.63210.36790.26

17、420.20730.17090.14550.12680.11240.10090.091631 對任何對任何 n都應有都應有In0, 但算法但算法1的計算結果顯示的計算結果顯示I8 (n+1)n!當當n=25時時, 在每秒百億次乘除運算計算機上求解時間為在每秒百億次乘除運算計算機上求解時間為 首先首先, 若算法計算量太大若算法計算量太大, 實際計算無法完成實際計算無法完成(億年億年)13 40 其次其次, 即使是可行算法即使是可行算法, 則計算量越大積累的誤差則計算量越大積累的誤差也越大也越大. 因此因此, 算法的計算量越小越好算法的計算量越小越好.0111.)(axaxaxaxpnnnnn 若直接逐項計算若直接逐項計算, 大約需要乘法運算次數為大約需要乘法運算次數為2)1(12.)1( nnnn例例 計算計算n次多項式：次多項式：41一般地，對于一般地，對于n次次多項式將它改寫為多項式將它