1、第五章第五章 有限元分析基礎(chǔ)有限元分析基礎(chǔ)5.1 有限元分析(FEA)概述 有限元分析有限元分析是一種工程物理問(wèn)題的數(shù)值分析方是一種工程物理問(wèn)題的數(shù)值分析方法，是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)法，是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬，即根據(jù)近似分（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬，即根據(jù)近似分割和能量極值原理，把求解區(qū)域離散為有限個(gè)割和能量極值原理，把求解區(qū)域離散為有限個(gè)簡(jiǎn)單而又相互作用的單元的組合，研究每個(gè)單簡(jiǎn)單而又相互作用的單元的組合，研究每個(gè)單元的特性，組裝各單元，通過(guò)變分原理，把問(wèn)元的特性，組裝各單元，通過(guò)變分原理，把問(wèn)題化成線性代數(shù)方程組求解。題化成線性代數(shù)方程組求

2、解。定義定義歷史典故歷史典故 結(jié)構(gòu)分析的有限元方法是由一批學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的研究者結(jié)構(gòu)分析的有限元方法是由一批學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的研究者在二十世紀(jì)五十年代到二十世紀(jì)六十年代創(chuàng)立的。在二十世紀(jì)五十年代到二十世紀(jì)六十年代創(chuàng)立的。 有限元分析理論已有有限元分析理論已有100100多年的歷史，是懸索橋和蒸汽鍋多年的歷史，是懸索橋和蒸汽鍋爐進(jìn)行手算評(píng)核的基礎(chǔ)爐進(jìn)行手算評(píng)核的基礎(chǔ)。很多著名的大型有限元軟件如很多著名的大型有限元軟件如MSC、ANSYS、ABAQUS 等。等。第五章第五章 有限元分析基礎(chǔ)有限元分析基礎(chǔ)分析指導(dǎo)思想分析指導(dǎo)思想 化整為零，裁彎取直，以簡(jiǎn)馭繁，變難為易化整為零，裁彎取直，以簡(jiǎn)馭繁，變難

3、為易物理系統(tǒng)舉例 幾何體幾何體 載荷載荷 物理系統(tǒng)物理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)熱熱電磁電磁有限元模型真實(shí)系統(tǒng)真實(shí)系統(tǒng)有限元模型有限元模型 有限元模型有限元模型是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。定義定義自由度（DOFs）自由度自由度(DOFs) 用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性用于描述一個(gè)物理場(chǎng)的響應(yīng)特性。結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) DOFsROTZUYROTYUXROTXUZ 分析類型分析類型 自由度自由度 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) 位移位移 熱熱 溫度溫度 電電 電位電位 流體流體 速度，壓力速度，壓力 磁磁 磁位磁位節(jié)點(diǎn)和單元節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn): : 空間中的坐標(biāo)位置，具有一空間中的坐標(biāo)位置，具有一定自由度，定自由度，存在相互存

4、在相互物理作用物理作用。單元單元: : 一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用一組節(jié)點(diǎn)自由度間相互作用的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系的數(shù)值、矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣數(shù)矩陣) )。單元有線、面或?qū)嶓w以。單元有線、面或?qū)嶓w以及二維或三維的單元等種類。及二維或三維的單元等種類。有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元單元組成，單組成，單元之間通過(guò)元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定連接，并承受一定載荷載荷。載荷載荷載荷載荷節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù))l 每個(gè)單元的特性是通過(guò)一些線性方程式來(lái)描述的。每個(gè)單元的特性是通過(guò)一些線性方程式來(lái)描述的。l 作為一個(gè)整體，單元形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。作為一個(gè)整體，單元

5、形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。l 盡管梯子的有限元模型低于盡管梯子的有限元模型低于100個(gè)方程（即個(gè)方程（即“自由度自由度”），），然而在今天一個(gè)小的然而在今天一個(gè)小的 ANSYS分析就可能有分析就可能有5000個(gè)未知量，個(gè)未知量，矩陣可能有矩陣可能有25,000,000個(gè)剛度系數(shù)。個(gè)剛度系數(shù)。歷史典故歷史典故 ANSYS是隨著計(jì)算機(jī)硬件的發(fā)展而發(fā)展壯大的。是隨著計(jì)算機(jī)硬件的發(fā)展而發(fā)展壯大的。ANSYS最早最早是在是在1970年發(fā)布的。早期的計(jì)算機(jī)的處理能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于今天的年發(fā)布的。早期的計(jì)算機(jī)的處理能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于今天的PC機(jī)。隨著機(jī)。隨著HPC（High Performance Compute）

6、技術(shù)的發(fā)展，）技術(shù)的發(fā)展，目前目前ANSYS可以求解可以求解1億自由度的工程問(wèn)題。億自由度的工程問(wèn)題。信息是通過(guò)單元之間的公共信息是通過(guò)單元之間的公共節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)傳遞的。傳遞的。分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和和B之間沒(méi)有信息傳遞之間沒(méi)有信息傳遞( (需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）具有公共節(jié)點(diǎn)的單元具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞之間存在信息傳遞.AB.AB1 node2 nodes節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù))節(jié)點(diǎn)和單元 (續(xù))節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)自由度是隨連接該節(jié)點(diǎn)的 單元類型單元類型 變化的。變化的。JJIIJJKLILKIPOMNKJIL三維桿單元三維桿單元 ( (鉸

7、接鉸接)UX, UY, UZ三維梁?jiǎn)卧S梁?jiǎn)卧S或軸對(duì)稱實(shí)體單元二維或軸對(duì)稱實(shí)體單元UX, UY三維四邊形殼單元三維四邊形殼單元UX, UY, UZ,三維實(shí)體熱單元三維實(shí)體熱單元TEMPJPOMNKIL三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元三維實(shí)體結(jié)構(gòu)單元ROTX, ROTY, ROTZROTX, ROTY, ROTZUX, UY, UZ,UX, UY, UZ單元形函數(shù)u FEA僅僅求解節(jié)點(diǎn)處的僅僅求解節(jié)點(diǎn)處的DOF值。值。u 單元單元形函數(shù)形函數(shù)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)是一種數(shù)學(xué)函數(shù)，規(guī)定了從節(jié)點(diǎn)DOF值值到單元內(nèi)所有點(diǎn)處到單元內(nèi)所有點(diǎn)處DOF值的計(jì)算方法。值的計(jì)算方法。 因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單

8、元內(nèi)部結(jié)果因此，單元形函數(shù)提供出一種描述單元內(nèi)部結(jié)果的的“形狀形狀”。u 單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種單元形函數(shù)描述的是給定單元的一種假定假定的特性。的特性。u 單元形函數(shù)與真實(shí)工作特性吻合好壞程度直接影響單元形函數(shù)與真實(shí)工作特性吻合好壞程度直接影響求解精度。求解精度。單元形函數(shù)(續(xù))真實(shí)的二次曲線真實(shí)的二次曲線節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)單元單元二次曲線的線性近似二次曲線的線性近似 ( (不理想結(jié)果不理想結(jié)果) )2 2節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)單元單元 DOF值二次分布值二次分布1 1節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)單元單元線性近似線性近似 ( (更理想的結(jié)果更理想的結(jié)果) )真實(shí)的二次曲線真實(shí)的二次曲線. .3 3節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)單元單元二次近似二次近

9、似 ( (接近于真接近于真 實(shí)的二次近似擬合實(shí)的二次近似擬合) ) ( (最理想結(jié)果最理想結(jié)果) )4 4節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)單元形函數(shù)(續(xù))遵循遵循: : DOF值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點(diǎn)處的真實(shí)解，值可以精確或不太精確地等于在節(jié)點(diǎn)處的真實(shí)解，但單元內(nèi)的平均值與實(shí)際情況吻合得很好。但單元內(nèi)的平均值與實(shí)際情況吻合得很好。 這些平均意義上的典型解是從單元這些平均意義上的典型解是從單元DOFs推導(dǎo)推導(dǎo)出來(lái)的出來(lái)的 （如，結(jié)構(gòu)應(yīng)力，熱梯度）。（如，結(jié)構(gòu)應(yīng)力，熱梯度）。 如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的如果單元形函數(shù)不能精確描述單元內(nèi)部的DOFs，就不，就不能很好地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，

10、因?yàn)檫@些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過(guò)單元能很好地得到導(dǎo)出數(shù)據(jù)，因?yàn)檫@些導(dǎo)出數(shù)據(jù)是通過(guò)單元形函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)的。形函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)的。單元形函數(shù)(續(xù))遵循原則遵循原則: : u 當(dāng)選擇了某種單元類型時(shí)，也就十分確定地選當(dāng)選擇了某種單元類型時(shí)，也就十分確定地選擇并擇并接受接受該種單元類型所假定的單元形函數(shù)。該種單元類型所假定的單元形函數(shù)。u 在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù)的情況下在選定單元類型并隨之確定了形函數(shù)的情況下，必須確保分析時(shí)有，必須確保分析時(shí)有足夠足夠數(shù)量的單元和節(jié)點(diǎn)來(lái)精數(shù)量的單元和節(jié)點(diǎn)來(lái)精確描述所要求解的問(wèn)題。確描述所要求解的問(wèn)題。5.2 有限元法的發(fā)展簡(jiǎn)史 1943年，年，Courant提出有限元法概念

11、提出有限元法概念 1956年，年，Turner和和Clough第一次用三角形單元離散第一次用三角形單元離散飛機(jī)機(jī)翼，借助有限元法概念研究機(jī)翼的強(qiáng)度及剛度飛機(jī)機(jī)翼，借助有限元法概念研究機(jī)翼的強(qiáng)度及剛度 1960年，年，Clough正式提出有限元法（正式提出有限元法（FEM） 20世紀(jì)世紀(jì)60年代，我國(guó)數(shù)學(xué)家馮康把年代，我國(guó)數(shù)學(xué)家馮康把FEM總結(jié)成凡是橢總結(jié)成凡是橢圓形偏微分方程都可用圓形偏微分方程都可用FEM求解求解 20世紀(jì)世紀(jì)60年代以后，由于數(shù)學(xué)界的參與，年代以后，由于數(shù)學(xué)界的參與，F(xiàn)EM得到蓬得到蓬勃發(fā)展，并且擴(kuò)大了應(yīng)用勃發(fā)展，并且擴(kuò)大了應(yīng)用20u222222(0)uuuxyz發(fā)展方向發(fā)

12、展方向 新型單元的研究新型單元的研究 有限元的數(shù)學(xué)理論有限元的數(shù)學(xué)理論 向新領(lǐng)域擴(kuò)展應(yīng)用向新領(lǐng)域擴(kuò)展應(yīng)用 大型通用程序的編制和設(shè)計(jì)大型通用程序的編制和設(shè)計(jì) ANSYS, NASTRAN, ABAQUS等等 開發(fā)微機(jī)用版本開發(fā)微機(jī)用版本 設(shè)計(jì)自動(dòng)化及優(yōu)化設(shè)計(jì)（設(shè)計(jì)自動(dòng)化及優(yōu)化設(shè)計(jì)（CAD, CAE, CAM）有限元法的分類有限元法的分類 以方程中未知數(shù)代表的意義分類以方程中未知數(shù)代表的意義分類u 有限元位移法有限元位移法：未知數(shù)為位移：未知數(shù)為位移u 有限元力法：未知數(shù)為力有限元力法：未知數(shù)為力u 有限元混合法：未知數(shù)為力和位移有限元混合法：未知數(shù)為力和位移 以推導(dǎo)方法分類以推導(dǎo)方法分類u 直接法直接法u 變分法變分法u 加權(quán)余數(shù)法加權(quán)余數(shù)法5.3 有限元位移法的基本概念u有限元分析的基本原理是把控制連續(xù)體的微分方程變換有限元分析的基本原理是把控制連續(xù)體的微分方程變換為控制離散體的線性代數(shù)方程組為控制離散體的線性代數(shù)方程組u未知數(shù)為位移則稱為未知數(shù)為位移則稱為有限元位移法有限元位移法，若未知數(shù)為力則稱，若未知數(shù)為力則稱為為有限元力法有限元力法，若未知數(shù)為力和位移則稱為，若未知數(shù)為力和位移則稱為有限元混合法有限元混合法有限元位移法的線性代