1、1中值定理與導數的應用一、最值的求法一、最值的求法oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值與最小值存上的最大值與最小值存在在為零的點，則為零的點，則并且至多有有限個導數并且至多有有限個導數處可導，處可導，上連續，除個別點外處上連續，除個別點外處在在若函數若函數baxfbaxf2中值定理與導數的應用步驟步驟: :1.求駐點和不可導點求駐點和不可導點;2.求區間端點及駐點和不可導點的函數值求區間端點及駐點和不可導點的函數值,比比較大小較大小,那個大那個就是最大值那個大那個就是最大值,那個小那個就那個小那個就是最小值是最小值;注意注意: :如果區間內只有一個極值如果區間內只有一個極

2、值,則這個極值就則這個極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)3中值定理與導數的應用二、應用舉例二、應用舉例例例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數求函數 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx計算計算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f4中值定理與導數的應用，最大值最大值142)4( f比較得比較得. 7)1( f最小值最小值14123223 xxxy5中值定理與導數的應用點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停例例2 2敵人乘汽車從河的北岸敵人

3、乘汽車從河的北岸A處以處以1千米千米/分鐘分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸南岸B處向正東追擊，處向正東追擊，速度為速度為2千米千米/分鐘分鐘問我軍摩托車何問我軍摩托車何時射擊最好（相時射擊最好（相距最近射擊最好）？距最近射擊最好）？6中值定理與導數的應用解解公里公里5 . 0(1)建立敵我相距函數關系建立敵我相距函數關系).(分分追擊至射擊的時間追擊至射擊的時間處發起處發起為我軍從為我軍從設設Bt敵我相距函數敵我相距函數22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts.)()2(的最小值點的最小值點求求tss )(t

4、s.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一駐點得唯一駐點. 5 . 1 t.5 . 1分鐘射擊最好分鐘射擊最好處發起追擊后處發起追擊后故得我軍從故得我軍從B7中值定理與導數的應用實際問題求最值應注意實際問題求最值應注意: :(1)建立目標函數建立目標函數;(2)求最值求最值;值值或最小或最小函數值即為所求的最函數值即為所求的最點，則該點的點，則該點的若目標函數只有唯一駐若目標函數只有唯一駐)(8中值定理與導數的應用例例3 3 某房地產公司有某房地產公司有50套公寓要出租，當租金定套公寓要出租，當租金定為每月為每月180元時，公寓會全部租出去當租元時，公寓會全部

5、租出去當租金每月增加金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費而租出去的房子每月需花費20元的整修維護元的整修維護費試問房租定為多少可獲得最大收入？費試問房租定為多少可獲得最大收入？解解 設房租為每月設房租為每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月總收入為每月總收入為)(xR)20( x 1018050 x9中值定理與導數的應用 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)( xR350 x（唯一駐點）（唯一駐點）故每月每套租金為故每月每套租金為350元時收入最高。元時

6、收入最高。最大收入為最大收入為 1035068)20350()(xR)(10890 元元 10中值定理與導數的應用點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停例例4 4形面積最大形面積最大所圍成的三角所圍成的三角及及線線處的切線與直處的切線與直使曲線在該點使曲線在該點上求一點，上求一點，曲邊曲邊成一個曲邊三角形，在成一個曲邊三角形，在圍圍及拋物線及拋物線，由直線由直線808022 xyxyxyxy11中值定理與導數的應用解解如圖如圖,),(00yxP設設所所求求切切點點為為為為則切線則切線PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ),0

7、, 8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x12中值定理與導數的應用, 0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316( s. 0 .2174096)316(為極大值為極大值 s.274096)316(最大者最大者為所有三角形中面積的為所有三角形中面積的故故 s13中值定理與導數的應用三、小結三、小結注意最值與極值的區別注意最值與極值的區別.最值是整體概念而極值是局部概念最值是整體概念而極值是局部概念.實際問題求最值的步驟實際問題求最值的步驟.14中值定理與導數的應用思考題思考題 若若)(af是是)(

8、xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af 存存在在，是是否否一一定定有有0)( af？15中值定理與導數的應用思考題解答思考題解答結論不成立結論不成立.因為最值點不一定是內點因為最值點不一定是內點. .例例xxfy )(1 , 0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0( f16中值定理與導數的應用一、一、 填空題：填空題：1 1、最值可、最值可_處取得處取得. .2 2、函數、函數2332xxy ( (41 x) )的最大值為的最大值為_ _ _；最小值為；最小值為_._.3 3、 函數函數2100 xy 在在0,80,8上的最大值為上的最大值為_ _ _；最

9、小值為；最小值為_._.4 4、 設有重量為設有重量為 5kg5kg 的物體，置于水平面上，受力的物體，置于水平面上，受力f的作用而開始移動，摩擦系數的作用而開始移動，摩擦系數 =0.25=0.25，問力，問力f與與水平線的交角水平線的交角 為為_時，才可使力時，才可使力f的大小為的大小為最小，則此問題的目標函數為最小，則此問題的目標函數為_，討論區間為討論區間為_._.練練 習習 題題17中值定理與導數的應用5 5、 從一塊半徑為從一塊半徑為R的圓缺片上挖去一個扇形做成一個的圓缺片上挖去一個扇形做成一個漏斗，問留下的扇形的中心角為漏斗，問留下的扇形的中心角為_時，做時，做成的漏斗的容積為最大

10、？此問題的目標函數為成的漏斗的容積為最大？此問題的目標函數為_考察區間為考察區間為_._.二、二、 求函數求函數xxy542 ( (0 x) )的最值的最值 . .三、三、 求數列求數列 nn210的最大項的最大項 . .四、四、 要造一圓柱形油灌，體積為要造一圓柱形油灌，體積為V，問底半徑，問底半徑r和高和高h等于多少時，才能使表面積最小？這時底直徑與等于多少時，才能使表面積最小？這時底直徑與高的比是多少？高的比是多少？18中值定理與導數的應用五、由五、由2xy , ,0 y , , ax ( (0 a) )圍成一曲邊三角形圍成一曲邊三角形OAB，在曲線弧，在曲線弧OB上求一點，使得過此點所作曲上求一點，使得過此點所作曲線線2xy 的切線與的切線與OA，OB圍成的三角形面積最大圍成的三角形面積最大. .19中值定理與導數的應用一、一、1 1、區間端點及極值點；、區間端點及極值點；2 2、最大值、最大值80)4( y, , 最小值最小值5)1( y；3 3、10,610,6