1、2021年全國I卷高考文科數學試題及答案一、選擇題：每小題 5分，共60分1、已知集合A xx 3n 2,n N, B 6,8,10,12,14,則集合A| B中的元素個數為().(A) 5(B) 4(C) 3(D) 2【答案】D【難度】容易【點評】本題考查集合之間的運算關系，即包含關系.在高一數學強化提高班上學期課程講座1,第一章集合中有詳細講解，其中第02節中有完全相同類型題目的計算.在高考精品班數學(文)強化提高班中有對集合相關知識的總結講解 .2、已知點 A(0,1), B(3,2)，向量 AC ( 4, 3),則向量 BC ().(A) ( 7, 4)(B) (7,4)(C) ( 1

2、,4)(D)(1,4)【答案】A【難度】容易【點評】本題考查向量的計算問題。在高一數學強化提高班上學期課程講座1 ,第六章平面向量有詳細講解，其中第01講，有向量計算問題的專題講解。在高考精品班數學(文)強化提高班中有對向量相關知 識的總結講解，在百日沖刺班有向量與三角形綜合類型題目的講解。3、已知復數z滿足(z 1)i 1 i ,則z ().(A)2 i(B) 2 i(C) 2 i(D) 2 i【答案】C【難度】容易【點評】本題考查復數的計算。在高二數學(文)強化提高班下學期，第四章復數中有詳細講解，其中第02節中有完全相同類型題目的計算。在高考精品班數學(文)強化提高班中有對復數相關知識的

3、總結 講解。4、如果3個正數可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數為一組勾股數，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數，則這 3個數構成一組勾股數的概率為().(A) (B) 1(C) (D)1051020【答案】C【難度】容易【點評】本題考查概率的計算。在高二數學(理)強化提高班下學期，第六章概率有詳細講解，其中 第04講主要講解“高考中的概率題”，有完全相似題目的講解。在高考精品班數學(理)強化提高班中有 對概率相關知識的總結講解。8x的焦點重合，A,B是C5、已知橢圓E的中心為坐標原點，離心率為 1,E的右焦點與拋物線 C:y22的準線與E的兩個交點，則AB ().(C) 9(B

4、) 6(A)3(D) 12【難度】容易【點評】本題考查橢圓與拋物線的基本性質。在高一數學強化提高班下學期課程講座 與方程有詳細講解，在高考精品班數學(文)強化提高班、百日沖刺班中均有對橢圓、 相關知識的總結講解，同時高清課程平面解析幾何專題也有對拋物線的專題講解。2,第三章圓錐曲線 雙曲線、拋物線6、九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？” 屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各位多少？積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米有(A) 14斛(B) 22

5、 斛(C) 36斛(D) 66 斛其意思為：“在 ,米堆底部的弧長為”已知 1斛米的體().【難度】中等【點評】本題考查圓錐體積的計算。在高一數學強化提高班下學期課程講座2,第四章立體幾何有詳細講解，在高考精品班數學(文)強化提高班、寒假特訓班中有對立體幾何相關知識的總結講解。7、已知an是公差為1的等差數列，Sn為an的前n項和，若S8 4s4,則a10 ().19(B) 192(C) 10(D) 122,第二章數列有詳【難度】容易【點評】本題考查等差數列的性質及公式。在高一數學強化提高班下學期課程講座 細講解，在高考精品班數學(文)強化提高班、百日沖刺班中均有對數列相關知識的總結講解。8、

6、函數f(x)cos( x )的部分圖像如圖所示，則(A)(k(B)(2 k(C)(k(D)(2 k134,k4), k Z13-,2k-),k Z441,k 3),k Z44134,2k 4),k Z【答案】D【難度】容易【點評】本題考查三角函數的性質。在高一數學強化提高班上學期課程講座2,第六章三角函數中有詳細講解，在高考精品班數學(文)強化提高班中有對三角函數相關知識的總結講解。9、執行右面的程序框圖，如果輸入的t 0.01 ,則輸出的n ().(A) 5(B) 6 (Q 10(D) 12【答案】C【難度】容易【點評】本題考查程序圖。在高二數學(文)強化提高班上學期，第一章算法初步有詳細講

7、解，其中 第02講有完全相似的題目。在高考精品班數學(文)強化提高班中有對程序框圖題目相關的總結講解。10、已知函數f(x)2x1 2.x 1 一.，.,且 f(a) 3,則 f(6 a)().log2(x 1),x 147543414(A)(B)(C)(D)【答案】A【難度】較難【點評】本題考查分段函數求解。在高數學強化提高班上學期課程講座1,第二章函數有詳細講解,在高考精品班數學(文)強化提高班中有對函數相關知識的總結講解。第II 卷11、圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為(A) 1(B) 2(C)

8、4(D) 8【答案】B【難度】中等【點評】本題考查幾何體的三視圖及其計算。在高一數學強化提高班下學期課程講座2,第二章幾何體的直觀圖與三視圖有詳細講解，在高考精品班數學(文)強化提高班中有對三視圖相關知識的總結講解， 有幾乎一致的題目解析。12、設函數y f(x)的圖像與y 2x a的圖像關于直線y x對稱，且f( 2) f ( 4) 1 ,則a=().(A)1(B) 1(C) 2(D) 4【答案】C【難度】中等【點評】本題考查函數圖像關于直線對稱。在高一數學(文)強化提高班下學期，第一章函數有詳細 講解，在高考精品班數學(文)強化提高班中有對函數相關知識的總結講解。二、填空題：本大題共 4小

9、題，每小題5分13、數列an中4 2,an 12%,&為4的前n項和，若& 126 ,則n .【答案】6【難度】容易【點評】本題考查等比數列的性質與計算。在高一數學強化提高班下學期課程講座2,第二章數列有詳細講解，在高考精品班數學(文)強化提高班、百日沖刺班中均有對數列相關知識的總結講解。14.已知函數f X ax3 x 1的圖像在點1, f 1的處的切線過點 2,7 ,則a .【答案】1【難度】容易【點評】本題考查函數切線的性質及計算。在高一數學強化提高班上學期課程講座1,第二章函數有詳細講解，在高考精品班數學(文)強化提高班中有對函數相關知識的總結講解。x y 2 015.

10、若x,y滿足約束條件x 2y 1 0 ,則z=3x+ y的最大值為2x y 2 0【答案】4【難度】中等2,第五章不等式有詳細講解。在高【點評】本題考查線性規劃求最值。在高一數學（文）上學期講座 考精品班數學（文）強化提高班中有對線性規劃相關知識的總結講解。216 .已知P是雙曲線C :x2 L i的右焦點，P是C左支上一點，A 0,6 76 ，當 APF周長最小時, 8該三角形的面積為.【答案】12.6【難度】較難【點評】本題考察雙曲線的性質及計算。在高一數學強化提高班下學期課程講座2,第三章圓錐曲線與方程有詳細講解，在高考精品班數學（文）強化提高班、百日沖刺班中均有對橢圓、雙曲線、拋物線相

11、關 知識的總結講解，同時高清課程平面解析幾何專題也有對橢圓的專題講解。三、解答題17 .（本小題滿分12分）已知a,b,c分別是 ABC內角A, B,C的對邊，sin2 B 2sin Asin C .（I ）若 a b,求 cosB;（II ）若B 90',且a J2,求ABC的面積.【答案】（I ）由題設及正弦定理可得 b2 ac.又 a= b,可得 b= 2c,a = 2c.22. 24由余弦定理可得cosB a一c 1.2ac 4（II ）由（I ）知 b2 ac.因為B= 90。，由勾股定理得 a2 c2 b2.故 a2 c2 2ac，得 c a - 2 .所以， ABC的面積

12、為1.【難度】容易【點評】本題考查三角函數的性質及計算。在高一數學強化提高班上學期課程講座2,第六章三角函數中有詳細講解，在高考精品班數學（文）強化提高班中有對三角函數相關知識的總結講解。18.(本小題滿分12分)如圖四邊形 ABC四菱形，G為AC與B改點，BE 平面ABCD ,(I )證明：平面AEC 平面BED ；(II )若 ABC 120', AE EC,三棱錐E ACD的體積為叵,求該三棱錐的側面積 3【答案】(I)因為四邊形 ABCM菱形，所以，AC± BD.因為B已平面 ABCD所以，AC± BE.故AC1平面 BED.又AC 平面AEG 所以，平面

13、AECL平面BED.(II) 設 AB= x,在菱形 ABCD43,由 ABC= 120° ,可得3xAG GC x,GB GD -.22因為AE± EC,所以在RtAEC中，可得EG由BEX平面ABCD知4 EB劭直角三角形，可得ACD1 1636AC GD BE -x .3 2243EG Y3x已知得，三棱錐E- ACD的體積Ve2故 x= 2.從而可得AE EC ED 6.所以 EAC的面積為3, 4EAD的面積與 ECD勺面積土勻為.5.故三棱錐E-ACD的側面積為3 2.5.【難度】較難【點評】本題考查立體幾何中垂直關系的證明及立體幾何的相關計算。在高一數學強化提

14、高班下學期課程 講座2,第四章立體幾何有詳細講解，在高考精品班數學(文)強化提高班、寒假特訓班中有對立體幾 何相關知識的總結講解。19.（本小題滿分12分）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x （單位：千元）對年銷售量（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費xi ,和年銷售量yi i 1,2,3,一,8的數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值口巔距曲展小二豪捐計分劑為i - jsi,.正三節-fiu.（I ）根據散點圖可以判斷，y a bx與y c d JX ,哪一個宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）

15、；（II ）根據（I ）的判斷結果及表中數據，建立 y關于x的回歸方程；（III ）已知這種產品的年利潤 z與x, y的關系為z 0.2y x ,根據（II ）的結果回答下列問題：（i）當年宣傳費x 90時，年銷售量及年利潤的預報值時多少?（ii ）當年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？【答案】（I）由散點圖可以判斷，y c dVx適宜作為年銷售量 y關于年宣傳費x的回歸方程類型。（II ）令w Jx,先建立y關于w的線性回歸方程。由于8_108.81.668(Wi w)(yi y) i 18 Z2(wi w)i 1? y d?v 563 68 6.8 100.6,所以y關于w的線性回歸方

16、程為y? 100.6 68w,因此y關于x的回歸方程為 夕100,6 68JX.(III ) (i)由(II )知，當x = 49時，年銷售量y的預報值7 100.6 68 49=576.6,年利潤z的預報值2 576.6 0,2 49 66.32,(ii )根據(II )的結果知，年利潤 z的預報值? 0.2(100.6 68 x) x x 136. X 20.1213.6所以，當 豉 6.8,即x=46,24時，2取得最大值。2故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大。【難度】較難【點評】本題考查函數的相關計算求解。在高二數學(文)下學期，第五章統計第01講，統計案例中有詳細講解。

17、2y 31交于m N220.(本小題滿分12分)已知過點 A 1,0且斜率為k的直線l與圓C： x 2兩點.(I )求k的取值范圍；(II ) OM ON 12,其中O為坐標原點，求 MN .【答案】(I)由題設，可知直線l的方程為y = kl +1.4 .73因為l與C交于兩點，所以，|2k_ 3_1| 1 ,1 k247解得4一7 k3一 ,4 .7 4 .7所以k的取值范圍為(4).33(II )設 M(x1,y 1),N(x 2,y 2).將y= kx +1代入方程(x 2)2(y 3)2 1,整理得(1 k2)x2 4(1 k)x 7 0所以，x1 x24(11k)廠，xx2 k71

18、 k2OM ON xx2 y1y22、(1 k )x1x2 k(x1 x2) 14k(1 k)4k(1 k) 由題設可得一一二1 k21 k28 12,解得k=1,所以l的方程為y = x+1故圓心 C在l上，所以|MN| = 2.【難度】較難【點評】本題考查圓錐曲線及向量的相關計算。在高一數學強化提高班下學期課程講座2,第三章圓錐曲線與方程以及高一數學強化提高班上學期課程講座1,第六章平面向量有詳細講解，其中第 01講,有向量計算問題的專題講解。在高考精品班數學(文)強化提高班、百日沖刺班中均有對此相關知識的總 結講解。21.(本小題滿分12分)設函數f xe2x alnx.(I)討論f x

19、的導函數f x的零點的個數；2(II )證明：當 a 0 時 f x 2a a In .a【答案】(I)f(x)的定義域為(0, +8), f x2e2x -(x 0).x當aw 0時，f' (x) >0, f' (x)沒有零點；當a>0時，因為e2x單調遞增，-單調遞增，所以f' (x)在(0, +8)單調遞增.xa1又f (a)>0,當b滿足0 b 且b 時，f' (b) <0,故當a>0時，f' (x)存在唯一零點.44(II )由(I ),可設 f ' (x)在(0, +8)的唯一零點為 xc,當 xC (0

20、, xc)時，f ' (x) V0；當 xC ( x°,時，f' (x) >0.故f(x)在(0, x。)單調遞減，在(x。，+8)單調遞增，所以當x=x。時，f(x)取得最小值，最小值為f(x 0).，一 2xa-a22由于 2e0,所以f (x0)2ax0a In2aaln .。x02x0aa2故當 a>0時，f(x) 2a aln -.a【難度】中等【點評】本題考查利用導數判斷函數的相關性質。在高二數學(文)強化提高班下學期，第一章導數有詳細講解，在高考精品班數學(文)強化提高班中有對函數、導數綜合知識的總結講解。在高一數學強化提高班上學期課程講座

21、2,第五章不等式有詳細講解。請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號22.(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講如圖AB是圓O直徑，AC是圓O切線，BC交圓O與點E.(I )若D為AC中點，求證：DE是圓O切線；(II )若OA J3CE ,求 ACB的大小.【答案】(I)連結AF,由已知得，ADL BC,AC± AB.在RtAEC中，由已知得， D& DC,故 DEC DCE .連結OE,則 OBE OEB又 ACB ABC 90,所以，DEC OEB 90",故 OED 90：,DE是OO的切線(II )設

22、CE= 1, AE= x,由已知得 AB 2石,BE Jl2 x2.由射影定理可得，AE2 CE BE,所以，x2 Jl2 x2,即x4+x2-12=0.可得x 73,所以 ACB 60：【難度】較難【點評】本題考查圓的綜合知識。在高一數學強化提高班下學期課程講座2,第三章圓錐曲線與方程有詳細講解，在高考精品班數學(文)強化提高班、百日沖刺班中均有對圓、橢圓、雙曲線、拋物線相關知 識的總結講解，同時高清課程平面解析幾何專題也有對圓的專題講解。23.(本小題滿分10分)選修4 4:坐標系與參數方程 一，.22在直角坐標系xOy中，直線C1:x2,圓C2： x 1 y 21,以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.(I )求G,C2的極坐標方程.(II )若直線C3的極坐標方程為一 R ,設C2,C3的交點為M,N ,求 C2MN的面積.【答案】(I)因為x=pcosx,y = psinx,所以，G的極坐標方程為cos2,C2的極坐標方程為2