1、2.2.12.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程( (一）一）惠民縣第一中學(xué)惠民縣第一中學(xué) 關(guān)關(guān) 麗麗 人教版人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修數(shù)學(xué)選修2-12-1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、一、教材分析教材分析 二、二、教學(xué)目標(biāo)分析教學(xué)目標(biāo)分析 三、三、教法與學(xué)法分析教法與學(xué)法分析 四、四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)過程設(shè)計(jì) 五、五、教學(xué)評價(jià)設(shè)計(jì)教學(xué)評價(jià)設(shè)計(jì)一、教材分析一、教材分析1.1.教材的地位及作用教材的地位及作用 教材結(jié)構(gòu)教材結(jié)構(gòu) ：承上啟下的作用：承上啟下的作用 在必修在必修2 2，學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線與方程，圓與方程，對曲線與方程，學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線

2、與方程，圓與方程，對曲線與方程的關(guān)系有了一定的感性認(rèn)識。通過上一節(jié)曲線與方程更系統(tǒng)，更完的關(guān)系有了一定的感性認(rèn)識。通過上一節(jié)曲線與方程更系統(tǒng)，更完整的學(xué)習(xí)，初步掌握了求曲線方程的一般步驟，為本節(jié)奠定了基礎(chǔ)；整的學(xué)習(xí)，初步掌握了求曲線方程的一般步驟，為本節(jié)奠定了基礎(chǔ)；而對本節(jié)的學(xué)習(xí)是坐標(biāo)法的又一次深入，它為雙曲線和拋物線的學(xué)而對本節(jié)的學(xué)習(xí)是坐標(biāo)法的又一次深入，它為雙曲線和拋物線的學(xué)習(xí)提供了一個范例。習(xí)提供了一個范例。 思想方法：函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合思想思想方法：函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合思想本節(jié)主要體現(xiàn)了函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合的重要思想，而這種思想本節(jié)主要體現(xiàn)了函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合的重要思想，而這種思想

3、將貫穿于整個高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。將貫穿于整個高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。 2.教材的重點(diǎn)與難點(diǎn)教材的重點(diǎn)與難點(diǎn)一、教材分析一、教材分析重點(diǎn)：重點(diǎn)：掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，理解坐標(biāo)法的掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，理解坐標(biāo)法的 基本思想基本思想難點(diǎn)：難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡，坐標(biāo)法的應(yīng)用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡，坐標(biāo)法的應(yīng)用難點(diǎn)成因：難點(diǎn)成因：學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的時(shí)間不長，分析學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的時(shí)間不長，分析解決問題的能力較淺。解決問題的能力較淺。運(yùn)算能力低，遇到問題太依賴于課本，缺乏積極運(yùn)算能力低，遇到問題太依賴于課本，缺乏積極的動腦習(xí)慣。的動腦習(xí)慣。邏輯思維不是很強(qiáng)，歸納概括能力有待提高。邏輯思維

4、不是很強(qiáng)，歸納概括能力有待提高。二、教學(xué)目標(biāo)分析二、教學(xué)目標(biāo)分析 知識知識與技能與技能: :讓學(xué)生掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，并根據(jù)讓學(xué)生掌握橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，并根據(jù)條件會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。條件會求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 過程與方法過程與方法: :讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的獲讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的獲取過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，提高運(yùn)算能力，加強(qiáng)用坐標(biāo)法取過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，提高運(yùn)算能力，加強(qiáng)用坐標(biāo)法解決問題的能力。解決問題的能力。 情感情感態(tài)度與價(jià)值觀態(tài)度與價(jià)值觀: :通過主動探究，合作學(xué)習(xí)，感受探通過主動探究，合作學(xué)習(xí)，感受探究的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生積極交流的意識

5、，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)知識的和諧究的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生積極交流的意識，進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)知識的和諧美，幾何圖形的對稱美，提高學(xué)生的審美情趣。美，幾何圖形的對稱美，提高學(xué)生的審美情趣。三、教法與學(xué)法分析三、教法與學(xué)法分析課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)三、教法與學(xué)法分析三、教法與學(xué)法分析三、教法與學(xué)法分析三、教法與學(xué)法分析四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 由神七搭載我國三名宇航員成由神七搭載我國三名宇航員成功完成艙外行走，實(shí)現(xiàn)歷史性突功完成艙外行走，實(shí)現(xiàn)歷史性突破入手，提問：破入手，提問：“你知道神七的你知道神七的運(yùn)行軌道是什么形狀嗎？運(yùn)行軌道是什么形狀嗎？”預(yù)設(shè)預(yù)設(shè)學(xué)

6、生回答為橢圓，補(bǔ)充學(xué)生回答為橢圓，補(bǔ)充“由橢圓由橢圓在近地點(diǎn)變軌為圓。為什么要變在近地點(diǎn)變軌為圓。為什么要變軌？何處是近地點(diǎn)？你想了解軌？何處是近地點(diǎn)？你想了解其中的奧妙嗎，就讓我們從學(xué)習(xí)橢圓開始吧！其中的奧妙嗎，就讓我們從學(xué)習(xí)橢圓開始吧！ 接著用課件展示神七運(yùn)動軌跡的圖片，并請學(xué)生舉出生活中接著用課件展示神七運(yùn)動軌跡的圖片，并請學(xué)生舉出生活中具有橢圓形狀的物體，并看圖片，從而引入本課。具有橢圓形狀的物體，并看圖片，從而引入本課。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)意圖設(shè)計(jì)意圖:一方面，通過神七的成功發(fā)射激發(fā)學(xué)生的愛國熱情和一方面，通過神七的成功發(fā)射激發(fā)學(xué)生的愛國熱情和探究實(shí)際問題的興趣，為

7、更積極的投入本節(jié)課的學(xué)習(xí)作好鋪墊。探究實(shí)際問題的興趣，為更積極的投入本節(jié)課的學(xué)習(xí)作好鋪墊。另一方面，使學(xué)生明確數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活。另一方面，使學(xué)生明確數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（二）動手實(shí)驗(yàn)，歸納概念（二）動手實(shí)驗(yàn)，歸納概念 提問：提問：”你還記得不用圓規(guī)怎樣畫出圓形嗎？又是怎樣給你還記得不用圓規(guī)怎樣畫出圓形嗎？又是怎樣給圓下定義的？圓下定義的？”在學(xué)生回答后，用課件演示圓的形成過程。在學(xué)生回答后，用課件演示圓的形成過程。 接著，讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的學(xué)具接著，讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的學(xué)具 動手實(shí)驗(yàn)。將細(xì)繩兩端固定，用動手實(shí)驗(yàn)。將細(xì)繩兩端固定，用 筆將細(xì)繩拉緊并

8、運(yùn)動，看能得到筆將細(xì)繩拉緊并運(yùn)動，看能得到 怎樣的圖形？待學(xué)生畫完后，用怎樣的圖形？待學(xué)生畫完后，用 課件演示畫橢圓的過程。課件演示畫橢圓的過程。 提問：提問：“你能根據(jù)剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，你能根據(jù)剛才畫橢圓的過程，類比圓的定義，歸歸 納出橢圓的定義嗎？納出橢圓的定義嗎？”先讓某一學(xué)生回答，其他學(xué)生先讓某一學(xué)生回答，其他學(xué)生給予補(bǔ)充，逐步完善，概括出橢圓的定義。給予補(bǔ)充，逐步完善，概括出橢圓的定義。橢圓定義：平面內(nèi)橢圓定義：平面內(nèi)與與兩個定點(diǎn)兩個定點(diǎn)F F1 1, , F F2 2的距離之的距離之和等于常數(shù)和等于常數(shù)（大于大于| |F F1 1 F F2 2 | |）的點(diǎn)的軌跡叫做

9、橢圓。定點(diǎn)）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)F F1 1, , F F2 2叫做叫做橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn) F1 1, , F F2 2間的距離叫做橢圓的焦距。間的距離叫做橢圓的焦距。 為幫助學(xué)生更好的理解定義，提出：為幫助學(xué)生更好的理解定義，提出：“為何為何常數(shù)常數(shù)要大于兩定點(diǎn)間的距離呢？等于、小于又如何呢？要大于兩定點(diǎn)間的距離呢？等于、小于又如何呢？” ” 四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（三）啟發(fā)引導(dǎo)，推導(dǎo)方程（三）啟發(fā)引導(dǎo)，推導(dǎo)方程 為了更好的研究橢圓的性質(zhì)，需要建立橢圓的方程。為了更好的研究橢圓的性質(zhì)，需要建立橢圓的方程。怎樣建立橢圓的方程呢？本環(huán)節(jié)我預(yù)設(shè)如下幾個步驟進(jìn)行：怎樣建立橢圓的

10、方程呢？本環(huán)節(jié)我預(yù)設(shè)如下幾個步驟進(jìn)行：（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)學(xué)生可能會有如下幾種建系方案：學(xué)生可能會有如下幾種建系方案：方案方案1：以定點(diǎn)：以定點(diǎn)F1為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)所在直線為為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)所在直線為X軸；軸；方案方案2：以定點(diǎn)：以定點(diǎn)F2為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)所在直線為為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)所在直線為X軸；軸；方案方案3：以兩定點(diǎn)所在直線為：以兩定點(diǎn)所在直線為X軸，其垂直平分線為軸，其垂直平分線為Y軸；軸；方案方案4：以兩定點(diǎn)所在直線為：以兩定點(diǎn)所在直線為Y軸，其垂直平分線為軸，其垂直平分線為X軸。軸。方案方案 方案方案 方案方案 方案方案4 四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、

11、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 我加以引導(dǎo)：建立坐標(biāo)系的一般原則：盡量我加以引導(dǎo)：建立坐標(biāo)系的一般原則：盡量使曲線對于坐標(biāo)軸具有較多的對稱性，讓一些關(guān)使曲線對于坐標(biāo)軸具有較多的對稱性，讓一些關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)盡可能簡單，以便于計(jì)算。經(jīng)過討論，鍵點(diǎn)的坐標(biāo)盡可能簡單，以便于計(jì)算。經(jīng)過討論，先按方案先按方案3 3建系，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)出動點(diǎn)建系，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)出動點(diǎn)M M的坐標(biāo)及相的坐標(biāo)及相關(guān)常數(shù)。關(guān)常數(shù)。 這樣設(shè)計(jì)的意圖是：對如何建坐標(biāo)系這一問這樣設(shè)計(jì)的意圖是：對如何建坐標(biāo)系這一問題，不是給學(xué)生提供標(biāo)準(zhǔn)答案，而是啟發(fā)學(xué)生通題，不是給學(xué)生提供標(biāo)準(zhǔn)答案，而是啟發(fā)學(xué)生通過自主探究來尋找比較適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，這樣做有過自主探究來尋找比較適當(dāng)?shù)?/p>

12、坐標(biāo)系，這樣做有利于拓展學(xué)生的思維空間。利于拓展學(xué)生的思維空間。 四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（2 2）寫出動點(diǎn)）寫出動點(diǎn)M M滿足的集合滿足的集合 學(xué)生根據(jù)橢圓的定義，寫出動點(diǎn)學(xué)生根據(jù)橢圓的定義，寫出動點(diǎn)M M滿足的集滿足的集合，即：合，即：P PM | M | |MF1|+|MF2|=2a (3)(3)列方程列方程 這里學(xué)生不會有太大的困難這里學(xué)生不會有太大的困難, ,絕大多數(shù)學(xué)絕大多數(shù)學(xué)生都能得到方程生都能得到方程: : 四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(4)(4)化簡方程化簡方程 帶根式的方程的化簡，學(xué)生會感到困難帶根式的方程的化簡，學(xué)生會感到困難, ,這也是教學(xué)的一個難點(diǎn)。建這也

13、是教學(xué)的一個難點(diǎn)。建議學(xué)生不要急于動筆，先思考如何化簡。議學(xué)生不要急于動筆，先思考如何化簡。師生共同探究如下幾種方式：師生共同探究如下幾種方式：平方化簡平方化簡: : 如何平方？直接平方化簡時(shí)左邊式子將很復(fù)雜。因此考慮將兩個根式放如何平方？直接平方化簡時(shí)左邊式子將很復(fù)雜。因此考慮將兩個根式放在方程的兩邊，平方兩次去掉根號。在方程的兩邊，平方兩次去掉根號。等差數(shù)列法：等差數(shù)列法： 上式和等差中項(xiàng)公式（上式和等差中項(xiàng)公式（A+C=2BA+C=2B）形式類似）形式類似, ,即把即把 ,a , ,a , 看成公差為看成公差為d d的等差數(shù)列的三項(xiàng)，從而設(shè)的等差數(shù)列的三項(xiàng)，從而設(shè)對（對（1 1）（）（2

14、 2）兩式平方后作差可表示出）兩式平方后作差可表示出d d，在將，在將d d代入（代入（1 1）式進(jìn)行變換和整）式進(jìn)行變換和整理即可，過程顯得簡捷，運(yùn)算也輕松多了理即可，過程顯得簡捷，運(yùn)算也輕松多了22)(ycx22)(ycx)2(yc)x) 1 (yc)x2222dada（ 四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)分子有理化法：分子有理化法： 即將即將 （3 3） 的左式進(jìn)行分子的左式進(jìn)行分子有理化，變形整理得有理化，變形整理得 （4 4）在將（在將（3 3）（）（4 4）兩式相減得）兩式相減得 (5) (5) 將（將（5 5）式兩邊平方即可。）式兩邊平方即可。 設(shè)計(jì)意圖是：課堂上時(shí)間有限，不一定要

15、按照上述方法設(shè)計(jì)意圖是：課堂上時(shí)間有限，不一定要按照上述方法去一一推導(dǎo)，這些工作可以留給學(xué)生課后去做。但是課堂上去一一推導(dǎo)，這些工作可以留給學(xué)生課后去做。但是課堂上教師給學(xué)生提供方法指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考是有價(jià)值的，教師給學(xué)生提供方法指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考是有價(jià)值的，這樣做至少有利于突破課本框框，豐富解決問題的方法。這樣做至少有利于突破課本框框，豐富解決問題的方法。 xacycxycx2)()2222（xacacx22y)（四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì) 讓學(xué)生開始動手化簡。幾分鐘后將我發(fā)現(xiàn)的學(xué)生中出現(xiàn)讓學(xué)生開始動手化簡。幾分鐘后將我發(fā)現(xiàn)的學(xué)生中出現(xiàn)的典型和普遍錯誤找同學(xué)板演，以便點(diǎn)評糾正，

16、形成最后結(jié)的典型和普遍錯誤找同學(xué)板演，以便點(diǎn)評糾正，形成最后結(jié)果：果： 之后讓學(xué)生觀察圖形：之后讓學(xué)生觀察圖形： 提出問題：提出問題：“你們能從圖中找出表示你們能從圖中找出表示a a、c c、 的線段嗎？的線段嗎？”通過觀察，學(xué)生容易得出結(jié)論。從而將方程簡化為：通過觀察，學(xué)生容易得出結(jié)論。從而將方程簡化為：告訴學(xué)生告訴學(xué)生: :它就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。它就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（四）拓展引申，對比分析（四）拓展引申，對比分析 提出問題：提出問題：“如何推導(dǎo)焦點(diǎn)在如何推導(dǎo)焦點(diǎn)在Y Y軸上的橢軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？” 學(xué)生可能回答：學(xué)生可能回答：“按方案

17、按方案4 4建系再推一建系再推一遍遍”。我啟發(fā)：。我啟發(fā)：“還有別的方法嗎？還有別的方法嗎？”學(xué)生學(xué)生經(jīng)過觀察思考會發(fā)現(xiàn)，只要交換坐標(biāo)軸就可經(jīng)過觀察思考會發(fā)現(xiàn)，只要交換坐標(biāo)軸就可以得到了焦點(diǎn)在以得到了焦點(diǎn)在Y Y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 接下來，我通過表格的形式，讓學(xué)生進(jìn)行對比接下來，我通過表格的形式，讓學(xué)生進(jìn)行對比分析。分析。0 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F( (c，0)0)F(0(0，c) ) a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 義義1

18、12 2yoFFMx1oFyx2FM注注: :共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是方程的左邊是平方和，右邊是1.2x2y不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大. 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（五）范例教學(xué)，鞏固提高（五）范例教學(xué)，鞏固提高例例1 1 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1 1）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F F1 1

19、 （4 4，0 0）、）、 F F2 2 （4 4，0 0），橢圓上任一點(diǎn)），橢圓上任一點(diǎn)到到F F1 1, , F F2 2 的距離之和為的距離之和為1010，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2 2）兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（）兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0 0，2 2）、（）、（0 0，2 2），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)），并且橢圓經(jīng)過點(diǎn) 。 例例2 2 將圓將圓 上的點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄系狞c(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄笏们€方程，并說明它是什么曲線。求所得曲線方程，并說明它是什么曲線。例例3 已知方程已知方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y y軸上的橢圓，求軸上的橢圓，求m m的取值范圍。的取值范圍。設(shè)計(jì)意圖是：通過例設(shè)計(jì)意圖是：通過例1讓學(xué)生回顧所學(xué)的基礎(chǔ)知識，通過例讓學(xué)生回顧所學(xué)的基礎(chǔ)知識，通過例2體體會用坐標(biāo)法求曲線方程，通過例會用坐標(biāo)法求曲線方程，通過例3鞏固和強(qiáng)化教學(xué)的重點(diǎn)。鞏固和強(qiáng)化教學(xué)的重點(diǎn)。12122mymx422yx)25,23( 四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（五）歸納小結(jié)，布置作業(yè)（五）歸納小結(jié)，布置作業(yè)（1 1）歸納小結(jié)）歸納小結(jié) 讓學(xué)生歸納總結(jié)，這節(jié)課學(xué)到了什么知識？掌握了什么方法？還有讓學(xué)生歸納總結(jié)，這節(jié)課學(xué)到了什么知識？掌握了什么方法？還有什么問題？教師再概括。什么問題？教師再概括。（2 2）布置作業(yè)）布置作業(yè)1 1必做題：習(xí)