1、第三章第三章 導數及其應用復習小結導數及其應用復習小結本章知識結構本章知識結構 導數導數導數概念導數概念導數運算導數運算導數應用導數應用 函數的瞬時變化率函數的瞬時變化率 運動的瞬時速度運動的瞬時速度 曲線的切線斜率曲線的切線斜率 基本初等函數求導基本初等函數求導 導數的四則運算法則導數的四則運算法則簡單復合函數的導數簡單復合函數的導數 函數單調性研究函數單調性研究 函數的極值、最值函數的極值、最值 曲線的切線曲線的切線 變速運動的速度變速運動的速度 最優化問題最優化問題曲線的切線曲線的切線 以曲線的切線為例，在一條曲線以曲線的切線為例，在一條曲線C：y=f(x)上取一點上取一點P(x0，y0

2、)，點，點Q(x0+x，y0+y)是曲線是曲線C上與點上與點P臨近的一點，做割線臨近的一點，做割線PQ，當點，當點Q沿曲線沿曲線C無限地趨近點無限地趨近點P時，割線時，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置便無限地趨近于某一極限位置PT，我們，我們就把直線就把直線PT叫做曲線叫做曲線C的在點的在點P處的切線。處的切線。一知識串講一知識串講 此時割線此時割線PT斜率的極限就是曲線斜率的極限就是曲線C在點在點P處的切線的斜率，處的切線的斜率，用極限運算的表達式來寫出，即用極限運算的表達式來寫出，即 k=tan= 000()()limxf xxf xx （一）導數的概念：（一）導數的概念： 1導數的定義

3、導數的定義：對函數對函數y=f(x)，在點，在點x=x0處給自變量處給自變量x以增量以增量x，函數，函數y相應有增量相應有增量y=f(x0+ x)f(x0)，若極限若極限 存在，則此極限稱為存在，則此極限稱為f(x)在點在點x=x0處的導數，記為處的導數，記為f (x0)，或，或y| ；0000()()limlimxxf xxf xyxx 0 x x 2導函數導函數：如果函數：如果函數y=f(x)在區間在區間(a，b)內每一點都可導，內每一點都可導，就說就說y=f(x)在區間在區間(a，b)內可導即對于開區間內可導即對于開區間(a，b)內每一個內每一個確定的確定的x0值，都相對應著一個確定的導

4、數值，都相對應著一個確定的導數f (x0)，這樣在開區，這樣在開區間間(a，b)內構成一個新函數，把這一新函數叫做內構成一個新函數，把這一新函數叫做f(x)在在(a，b)內內的導函數簡稱導數記作的導函數簡稱導數記作f (x)或或y.即即f (x)=y=0()( )limxfxxfxx 3導數的幾何意義導數的幾何意義：函數：函數y=f(x)在點在點x0處的導數的幾何意處的導數的幾何意義，就是曲線義，就是曲線y=f(x)在在P(x0，f(x0)處的切線的斜率，即曲線處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點在點P(x0，f(x0)處的切線斜率為處的切線斜率為kf (x0)所以曲線所以曲線 yf(x)在

5、點在點 P(x0，f(x0)處的切線方程為處的切線方程為 y y0=f (x0)(xx0) 4導數的物理意義導數的物理意義：物體作直線運動時，路程：物體作直線運動時，路程s關于時間關于時間t的函數為：的函數為：s=s(t)，那么瞬時速度，那么瞬時速度 v 就是路程就是路程 s 對于時間對于時間t的導數，的導數，即即v(t)=s(t). 基本初等函數的導數公式基本初等函數的導數公式1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa nn-1nn-1 xxxxxxxx a a 若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=c，則f(x)=0若f(x)=x ，則f(x)=nx若f(x)=x ，則f(x)=n

6、x若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=sinx，則f(x)=cosx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=cosx，則f(x)=-sinx若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=a ，則f(x)=a若f(x)=e ，則f(x)=e若f(x)=e ，則f(x)=e1 1若f(x)=log x，則f(x)=若f(x)=log x，則f(x)=xlnaxlna1 1若f(x)=lnx，則f(x)=若f(x)=lnx，則f(x)=x x返回返回導數的運算法則導數的運算法則: :法則法則1:1:兩個函數的和兩個函數的和( (差差) )的導數的導數, ,等于這兩個函

7、數的導數的等于這兩個函數的導數的和和( (差差),),即即: :( )( )( )( )f xg xf xg x法則法則2:2:兩個函數的積的導數兩個函數的積的導數, ,等于第一個函數的導數乘第二個等于第一個函數的導數乘第二個函數函數, ,加上第一個函數乘第二個函數的導數加上第一個函數乘第二個函數的導數 , ,即即: :( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x法則法則3:3:兩個函數的積的導數兩個函數的積的導數, ,等于第一個函數的導數乘第二個等于第一個函數的導數乘第二個函數函數, ,減去第一個函數乘第二個函數的導數減去第一個函數乘第二個函數的導數 , ,

8、再除以第二個函再除以第二個函數的平方數的平方. .即即: :2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x返回返回 當點當點Q Q沿著曲線無限接近點沿著曲線無限接近點P P即即x0 x0時時, ,割線割線PQPQ如果有一如果有一個極限位置個極限位置PT.PT.則我們把直線則我們把直線PTPT稱為曲線在點稱為曲線在點P P處的處的切線切線. . 設切線的傾斜角為設切線的傾斜角為,那那么當么當x0 x0時時, ,割線割線PQPQ的的斜率斜率, ,稱為曲線在點稱為曲線在點P P處的處的切線的斜率切線的斜率. .即即: :00000()(

9、 )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切線PQoxyy=f(x)割割線線切切線線T返回返回1) 1) 如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x) x) 在這個區間（在這個區間（a,b)a,b)內單調遞增；內單調遞增；2) 2) 如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0f (x)0如果在某個區間內恒有如果在某個區間內恒有 ,則則 為常數為常數.0)( xf)(xf返回返回2)2)如果如果a a是是f(x)=0f(x)=0的一個根，并且在的一個根，并且在a a 的左側附近的左側附近f(x)0f(x)0f(x)0，那么是，那么是f(a)f(a)函數函數f(

10、x)f(x)的一個極小值的一個極小值. . 函數的極值函數的極值1)1)如果如果b b是是f(x)=0f(x)=0的一個根，并且在的一個根，并且在b b左側附近左側附近f(x)0f(x)0，在在b b右側附近右側附近f(x)0f(x)0，那么，那么f(b)f(b)是函數是函數f(x)f(x)的一個極大的一個極大值值注：導數等于零的點不一定是極值點注：導數等于零的點不一定是極值點2)2)在在閉區間閉區間a,ba,b上的函數上的函數y=f(x)y=f(x)的圖象是一條的圖象是一條連續不斷連續不斷的曲的曲線線, ,則它則它必有必有最大值和最小值最大值和最小值. .函數的最大（小）值與導數函數的最大（

11、小）值與導數x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3) )f(b)f(b)f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )gg返回返回（五）函數的最大值與最小值：（五）函數的最大值與最小值： 1定義：定義：最值是一個整體性概念，是指函數在給定區最值是一個整體性概念，是指函數在給定區間間(或定義域或定義域)內所有函數值中最大的值或最小的值，最大數內所有函數值中最大的值或最小的值，最大數值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值記為值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值記為M，最小，最小值記為值記為m. 2存在性：在閉區間存在性：

12、在閉區間a，b上連續函數上連續函數f(x)在在a，b上必上必有最大值與最小值有最大值與最小值 3求最大（小）值的方法：函數求最大（小）值的方法：函數f(x)在閉區間在閉區間a，b上最上最值求法：值求法： 求出求出f(x)在在(a，b)內的極值；內的極值； 將函數將函數f(x)的極值與的極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一個是比較，其中較大的一個是最大值，較小的一個是最小值最大值，較小的一個是最小值.兩年北京導兩年北京導數題數題, ,感想如感想如何何? ?例例1已經曲線已經曲線C：y=x3-x+2和點和點A(1,2)。求在點。求在點A處的切線方程？處的切線方程？解：解：f/(x)=3x21

13、， k= f/(1)=2 所求的切線方程為：所求的切線方程為： y2=2(x1), 即即 y=2x變式變式1：求過點求過點A的切線方程？的切線方程？例例1已經曲線已經曲線C：y=x3-x+2和點和點(1,2)求求在點在點A處的切線方程？處的切線方程？解：變解：變1：設切點為：設切點為P（x0，x03x0+2），）， 切線方程為切線方程為y y ( x03x0+2)=(3 x02 21 1)(x xx0)21又又切線過點切線過點A(1,2) 2 2( x03x0+2)=( 3 x02 21 1)(1x0)化簡得化簡得(x0 01)1)2 2(2(2 x0+1)=0，2114當當x0=1時，所求的

14、切線方程為：時，所求的切線方程為：y y2=2(x x1),即即y=2x 解得解得x0=1或或x0=k= f/(x0)= 3 x021，當當x0= 時，所求的切線方程為：時，所求的切線方程為： y2= (x1),即即x+4y9=0變式變式1：求過點求過點A的切線方程？的切線方程？例例1：已經曲線：已經曲線C：y=x3x+2和點和點(1,2)求求在點在點A處的切線方程？處的切線方程？變式變式2：若曲線上一點若曲線上一點Q處的切線恰好平行于直處的切線恰好平行于直 線線y=11x1，則，則P點坐標為點坐標為 _,切線方程為切線方程為_ (2,8)或或( 2, 4) y=11x14或或y=11x+18（1）正確理解導數的概念和意義，導數是一個函數的改變量）正確理解導數的概念和意義，導數是一個函數的改變量與自變量的改變量的比值的極限，它反映的是函數的變化率與自變量的改變量的比值的極限，它反映的是函數的變化率，即函數值在，即函數值在x=x0點附近的變化快慢；所以只有與變化率有點附近的變化快慢；所以只有與變化率有關的問題都可以用導數來解決；