1、工程流體力學工程流體力學2015. 9第八章第八章 不可壓縮流體的無粘流動不可壓縮流體的無粘流動8.1速度環量速度環量8.2流函數與速度勢流函數與速度勢8.3基本平面勢流基本平面勢流8.4基本平面勢流的簡單疊加基本平面勢流的簡單疊加8.5平行流繞流圓柱體的流動平行流繞流圓柱體的流動 自然界出現的流體運動絕大自然界出現的流體運動絕大多數都是有旋運動，它們有時很多數都是有旋運動，它們有時很容易觀察到，如當河水流過橋墩容易觀察到，如當河水流過橋墩和劃船用漿擊水時，在橋墩和漿和劃船用漿擊水時，在橋墩和漿的后面總要形成渦旋，船只行駛的后面總要形成渦旋，船只行駛時船尾部也同樣隨著渦旋區。還時船尾部也同樣隨

2、著渦旋區。還有大氣中的臺風和龍卷風也是渦有大氣中的臺風和龍卷風也是渦旋運動。旋運動。 自然界中自然界中流體的渦旋運動流體的渦旋運動熱帶氣旋熱帶氣旋臺風來了！臺風來了！卡門渦街卡門渦街澡盆渦澡盆渦卡門渦街造成美國著名的塔科馬卡門渦街造成美國著名的塔科馬海峽大橋于海峽大橋于1940年年11月月7日在日在8級級大風中崩塌。大風中崩塌。水龍卷水龍卷陸龍卷陸龍卷2010年年5月黑龍江發生的龍卷風月黑龍江發生的龍卷風 實際上，渦旋的產生、變化對流體運動有重要影響。實際上，渦旋的產生、變化對流體運動有重要影響。（1）氣旋的形成與變化常決定了氣象條件的變化；）氣旋的形成與變化常決定了氣象條件的變化；（2）飛機

3、與船只在流體中運動時，渦旋運動要耗散能）飛機與船只在流體中運動時，渦旋運動要耗散能量、產生阻力；量、產生阻力；（3）飛機的翼型及升力也與渦旋有關；）飛機的翼型及升力也與渦旋有關；（4）水利建設中也常人為地制造渦旋以消耗水流的動）水利建設中也常人為地制造渦旋以消耗水流的動能，從而保護壩基。能，從而保護壩基。 因此在流體力學中，渦旋運動的基本理論占有很因此在流體力學中，渦旋運動的基本理論占有很重要的地位。重要的地位。試驗還發現分散成若干多股水體比一整股水體時的流試驗還發現分散成若干多股水體比一整股水體時的流態的穩定性好、消能率高。態的穩定性好、消能率高。 此種型式的消能方式是否存在立軸漩渦？從表此

4、種型式的消能方式是否存在立軸漩渦？從表孔下泄的高速水流，在各股水體的間隔處，必孔下泄的高速水流，在各股水體的間隔處，必將產生剪切渦。目前水利專家正在研究的兩個將產生剪切渦。目前水利專家正在研究的兩個問題：問題： (1)剪切渦是否會發展成為剪切渦是否會發展成為立軸漩渦立軸漩渦； (2)若形成立軸漩渦，立軸漩渦是否會若形成立軸漩渦，立軸漩渦是否會延伸到消延伸到消力池底板力池底板。8.1速度環量速度環量 、速度環量、速度環量 如圖，求微元線段如圖，求微元線段 與與速度速度 在方向在方向 上的分上的分 量的乘積沿量的乘積沿AB曲線的積分：曲線的積分： 若若A與與B重合重合, 便成了封閉周線便成了封閉周

5、線.速度在封閉周線切線上的分量沿速度在封閉周線切線上的分量沿該封閉周線該封閉周線K的線積分稱為速度環量的線積分稱為速度環量, 表示為：表示為： BABAABdsVsdV cosVkdzjdyidxsd , kwj viuV BABAAB)wdzvdyudx(sdV 速度環量的正向規定為速度環量的正向規定為:沿封閉周線前進時沿封閉周線前進時,周線周線所包圍的面積在速度方向的左側。因此，逆時針方向的所包圍的面積在速度方向的左側。因此，逆時針方向的速度環量為正速度環量為正. 二、斯托克斯定理二、斯托克斯定理（Stokes Law） 當封閉周線內有渦束時，則當封閉周線內有渦束時，則沿封閉周線的速度環沿

6、封閉周線的速度環量等于該封閉周線內所有渦束的漩渦強度之和量等于該封閉周線內所有渦束的漩渦強度之和。這就是。這就是斯托克斯定理。用公式表示為：斯托克斯定理。用公式表示為： 或：或： kkwdzvdyudxsdV)(I dA2sdVVn 1.微元封閉周線的斯托克斯定理微元封閉周線的斯托克斯定理 在在oxy平面上取一微元平面上取一微元 矩形封閉周線矩形封閉周線, 面積面積 dA=dxdy, 流體流體在在A, B， C, D四點速度如圖所示。四點速度如圖所示。 這樣，沿封閉周線這樣，沿封閉周線ABCDA的速度環量為：的速度環量為： 可見，沿微元封閉周線的速度環量等于該周線所可見，沿微元封閉周線的速度環

7、量等于該周線所包圍的面積內的漩渦強度，這就證明了微元封閉包圍的面積內的漩渦強度，這就證明了微元封閉周線的斯托克斯定理。周線的斯托克斯定理。dIdA2dxdy)yu-xv( dyv)dyyvv(21dx)dyyuu()dyyudxxuu(21 -dy)dyyvdxxvv()dxxvv(21dx)dxxuu(u21 dyvv21dxuu21dyvv21dxuu21dzADDCCBBA 可見，沿微元封閉周線的速度環量等于該周線所包圍的可見，沿微元封閉周線的速度環量等于該周線所包圍的面積內的漩渦強度，即斯托克斯定理。面積內的漩渦強度，即斯托克斯定理。 2單連通域與多連通域單連通域與多連通域 要保證流場

8、中的要保證流場中的u，v，w，和，和p等都是等都是x，y，z，t的單值連續函的單值連續函數，對流場所在區域要有限制條件：數，對流場所在區域要有限制條件：區域內任一條封閉周線連續區域內任一條封閉周線連續地收縮成一點而不越出流體的邊界。地收縮成一點而不越出流體的邊界。這種區域稱為單連通區域，這種區域稱為單連通區域，否則稱多連通區域。否則稱多連通區域。 將外周線將外周線K1, 內周線內周線K2用用AB, AB連接連接,將原區域用封閉周將原區域用封閉周 線線ABK2BAK1A所包圍所包圍, 則則 該區域即成為單連通區域。該區域即成為單連通區域。 3.有限單連通區域的斯托克斯定理有限單連通區域的斯托克斯

9、定理 對任一微元矩形可求得速度環量對任一微元矩形可求得速度環量 di=dIi，則總速度環量：，則總速度環量： 另一方面，總速度環量中沿各微另一方面，總速度環量中沿各微 元矩形內周線的相鄰切向速度線元矩形內周線的相鄰切向速度線 積分方向相反，剛好抵消，僅剩積分方向相反，剛好抵消，僅剩 下沿外封閉周線下沿外封閉周線K的切向速度線的切向速度線 積分，即：積分，即： 總速度環量：總速度環量： 即沿有限單連通域即沿有限單連通域K封閉周線的速度環量等于通過該區域漩渦強度封閉周線的速度環量等于通過該區域漩渦強度的總和的總和,這就是有限單連通區域的斯托克斯定理。這就是有限單連通區域的斯托克斯定理。dAdIdA

10、nii 2 KsdV dA2sdVAnK 4.多連通區域的斯托克定理多連通區域的斯托克定理 對右圖中由多連通區域對右圖中由多連通區域 改成的單連通區域，速改成的單連通區域，速 度環量可寫成：度環量可寫成： 由由Stokes定理：定理： 假如外周線內有多個內周線，則多連通區域的假如外周線內有多個內周線，則多連通區域的Stokes定理成為：定理成為：AKAABBBKABAKABABK1212 1122 KAKAKBBK 2112KKAKABABK dA2n2k1k dA2n2k1k Stokes定理說明，速度環量取決于所包圍區域內的漩渦。沒有定理說明，速度環量取決于所包圍區域內的漩渦。沒有旋渦，就

11、沒有環量。反過來，環量等于零，總漩渦強度等于零，旋渦，就沒有環量。反過來，環量等于零，總漩渦強度等于零，環量不等于零，必然存在漩渦。環量不等于零，必然存在漩渦。 例例1：試證明平行流的速度環量等于零。：試證明平行流的速度環量等于零。 流體以等速度流體以等速度u0沿水平沿水平 方向流動，求沿矩形封方向流動，求沿矩形封 閉周線的速度環量：閉周線的速度環量： 同樣可證，沿其它周線的速度環量也等于零。同樣可證，沿其它周線的速度環量也等于零。dA2n2k1k 00bu0buoo413423121234 例例2：求有間斷面的平行流中的速度環量。：求有間斷面的平行流中的速度環量。 如圖，包有間斷面的兩股平行

12、流中矩形封閉周線如圖，包有間斷面的兩股平行流中矩形封閉周線的速度環量：的速度環量： 有間斷面的平行流有間斷面的平行流 中速度環量不等于零。中速度環量不等于零。 在實際流體中在實際流體中, 由于粘由于粘 滯力的作用滯力的作用, 使分界面使分界面 上下形成速度梯度上下形成速度梯度, 即即 所以有漩渦存在。所以有漩渦存在。, 0yu , 021)yuxv(z 三三.湯姆生定理（湯姆生定理（Thomsons Law） 湯姆生定理：正壓性的理想流體在有勢的質量力的作用下沿任湯姆生定理：正壓性的理想流體在有勢的質量力的作用下沿任何由流體質點組成的封閉周線的速度環量不隨時間變化。何由流體質點組成的封閉周線的

13、速度環量不隨時間變化。 1.證明證明：沿封閉周線的速度環量：沿封閉周線的速度環量： 速度環量隨時間的變化率：速度環量隨時間的變化率： )wdzvdyudx(sdV (a) )()()()()( dzDtDwdyDtDvdxDtDudzDtDwdyDtDvdxDtDuwdzvdyudxDtDDtDVdDtsDd)sd(DtD )sd(DsdDtVDt)VdV(sd 即即dw)dz(DtD , dv)dy(DtD , du)dx(DtD 2222()( ()()()()2222uduvdvwdwuvwVdddd 理想流體歐拉運動微分方程：理想流體歐拉運動微分方程： 代入（代入（a）式右邊第二項得：

14、）式右邊第二項得： (a)式成為式成為. xp1fDtDux )()(1()1()1()1()( FzyxzyxdPddzzpdyypdxxpdzfdyfdxfdzzpfdyypfdxxpfdzDtDwdyDtDvdxDtDu 0)P2V( .ddPd)2V(dDtDF2F2 2.討論討論 在理想流體中速度環量和漩渦都不能自行產生，自在理想流體中速度環量和漩渦都不能自行產生，自行消滅。流場中原來有渦的，則永遠有渦，原來沒有渦行消滅。流場中原來有渦的，則永遠有渦，原來沒有渦的，就永遠沒有。的，就永遠沒有。 四、海姆霍茲定理（四、海姆霍茲定理（Helmholezs Law） 海姆霍茲的三個漩渦定理

15、是研究理想流體有旋流動海姆霍茲的三個漩渦定理是研究理想流體有旋流動的基本定理，它說明了漩渦的基本性質。（通過環量證的基本定理，它說明了漩渦的基本性質。（通過環量證明明Stokes定理）。定理）。 1海姆霍茲第一定理：海姆霍茲第一定理： 在同一瞬間渦管各截面上的漩渦強度都相同。在同一瞬間渦管各截面上的漩渦強度都相同。 證明：證明： 即沿包圍渦管任一封閉即沿包圍渦管任一封閉 周線的速度環量都相等。周線的速度環量都相等。 也就是在渦管各截面上也就是在渦管各截面上 的漩渦強度都相等。即的漩渦強度都相等。即 可見可見,渦管在流體中既不渦管在流體中既不 能開始能開始,也不能終止也不能終止,只能只能 是自成

16、封閉的管圈是自成封閉的管圈,或在或在 邊界上開始邊界上開始,終止終止,如圖示。如圖示。常常數數 AndA2 0AABBAAABBBABAABAB 2. 海姆霍茲第二定理海姆霍茲第二定理:(渦管守恒定理）渦管守恒定理） 正壓性的理想流體在有勢的質量力作用下，渦管永正壓性的理想流體在有勢的質量力作用下，渦管永遠保持為由相同流體質點組成的渦管。遠保持為由相同流體質點組成的渦管。 證明：證明： 在渦管表面上取封閉周線在渦管表面上取封閉周線 K 沿周線沿周線K的速的速 度環量等于零度環量等于零 速度環量不隨時間變化速度環量不隨時間變化, 沿沿 周線周線K的速度環量永遠是零。的速度環量永遠是零。 渦管永遠

17、保持為由相渦管永遠保持為由相 同質點組成的渦管。同質點組成的渦管。STOKESTHOMSON 3海姆霍茲第三定理：海姆霍茲第三定理： 在有勢的質量力的作用下，正壓性的理想流在有勢的質量力的作用下，正壓性的理想流體中任何渦管的漩渦強度不隨時間變化，保持定體中任何渦管的漩渦強度不隨時間變化，保持定值。值。 證明：證明： 根據湯姆生定理，沿封閉周線的速度環量不隨時根據湯姆生定理，沿封閉周線的速度環量不隨時間變化，該環量等于渦管的漩渦強度，所以渦管間變化，該環量等于渦管的漩渦強度，所以渦管的漩渦強度也不隨時間變化。的漩渦強度也不隨時間變化。8.2,速度勢與流函數速度勢與流函數 一一.有勢流動有勢流動

18、對無旋流動，滿足：對無旋流動，滿足： 若令：若令： 得：得： 則則 yuxv , xwzu , zvyw dx dy dzdudxvdyw dzxyz z w, yv , xu , , 22zvywzyzvzyyw 同理，可得同理，可得 按矢量分析：按矢量分析： 無旋流動必可表示成某一函數無旋流動必可表示成某一函數 的梯度。函數的梯度。函數就稱為速度勢函數，所以無旋流動也稱為有勢流就稱為速度勢函數，所以無旋流動也稱為有勢流動。動。 二、速度勢的特點二、速度勢的特點 在有勢流動中沿曲線的切向速度線積分在有勢流動中沿曲線的切向速度線積分等于終點和起點的速度勢之差，與曲線形狀等于終點和起點的速度勢之

19、差，與曲線形狀無關。無關。 yu xv , xwzu yVui vjwkijk xz 證：證： 在有勢流動中，沿任一封閉周線的速度在有勢流動中，沿任一封閉周線的速度環量等于零。環量等于零。 證：證： BAABBABAABd )dzzdyydxx( )wdzvdyudx( 0 d )wdzvdyudx(KK 不可壓縮流體的有勢流動，速度勢滿足拉普拉斯方程。不可壓縮流體的有勢流動，速度勢滿足拉普拉斯方程。 證：證： 不可壓縮流體的連續性方程：不可壓縮流體的連續性方程： 將將 代入得代入得 滿足拉普拉斯方程的函數稱為調和函數，速度勢函數滿足拉普拉斯方程的函數稱為調和函數，速度勢函數 是一個調和函數。

20、是一個調和函數。 求解不可壓縮流體有勢流動求解不可壓縮流體有勢流動,歸結為根據起始條件和歸結為根據起始條件和邊界條件求解邊界條件求解Laplace方程得到速度勢進而求得速度場方程得到速度勢進而求得速度場,再根據伯努里方程求得壓力分布。再根據伯努里方程求得壓力分布。0 zw yv xu z w,y v ,xu 0 z y x2222222 三、流函數三、流函數 1流函數的導出流函數的導出 由不可壓縮流體的連續性方程得：由不可壓縮流體的連續性方程得： 平面流動的流線微分方程：平面流動的流線微分方程： 得得 令全微分令全微分 即函數即函數永遠滿足連續性方程。永遠滿足連續性方程。 , dxdyuv 0

21、vdxudy udyvdxdyydxxd xv yu yvxu yxyv -yxxu22 在流線上在流線上d=-vdx+udy=0，即，即=常數。所以函常數。所以函數數(x,y)稱為流函數。稱為流函數。 2流函數的物理意義流函數的物理意義 流函數的物理意義：平面流動中兩條流線間通過流函數的物理意義：平面流動中兩條流線間通過的流體流量等于兩條流線上的流函數之差。的流體流量等于兩條流線上的流函數之差。 證明：如圖證明：如圖,通過通過AB上流函上流函 數為數為1的流線和流函數為的流線和流函數為 2的流線間的體積流量為：的流線間的體積流量為：21 cos( , )cos(, )()() BBAABBA

22、ABAqV dluV xvV y dldydxuvdludy vdxdldld 3討論討論 （1）只要是不可壓縮流體的平面運動，就存在）只要是不可壓縮流體的平面運動，就存在流函數，而不論其是理想流體，還是粘性流體，流函數，而不論其是理想流體，還是粘性流體，是無旋流動還是有旋流動。是無旋流動還是有旋流動。 （2）不可壓縮流體平面無旋流動的流函數滿足）不可壓縮流體平面無旋流動的流函數滿足拉普拉斯方程，也是調和函數。拉普拉斯方程，也是調和函數。 證明：證明： 無旋無旋 z=0, 0yuxv 代代入入上上式式得得 ,xvyu 022222yx （3）等勢線簇和流線簇構成流網。）等勢線簇和流線簇構成流網

23、。 即即 滿足上式，等勢滿足上式，等勢 線簇和流線簇互相線簇和流線簇互相 正交，構成正交網正交，構成正交網 絡，簡稱流網絡，簡稱流網 （如圖）（如圖）xxy y 例例 90 90角域流的速度勢和流函數角域流的速度勢和流函數 已知已知: 90: 90角域流的速度分布式為：角域流的速度分布式為：u u= =kx,vkx,v=-=-k ky y（k k為常數）。為常數）。 求：（求：（1 1）判斷該流場是否存在速度勢，若存在請確定其形式并畫等勢線圖；）判斷該流場是否存在速度勢，若存在請確定其形式并畫等勢線圖； （2 2）判斷該流場是否存在流函數。若存在請確定其形式并畫流線圖；）判斷該流場是否存在流函

24、數。若存在請確定其形式并畫流線圖； 解：解：（1 1）先計算速度旋度）先計算速度旋度 上式中上式中C C為常數。速度勢函數為為常數。速度勢函數為 0vuxy說明流場是無旋的，存在速度勢說明流場是無旋的，存在速度勢( (x x, , y y) )，212ukx,kxf( y)x 212f( y) vky, f( y)kyCy 2212k(xy ) C(a)等勢線方程為等勢線方程為x x2 2- -y y2 2= =常數，在常數，在xyxy平面上是分別以第一、三象限角平分線和平面上是分別以第一、三象限角平分線和第二、四象限角平分線為漸近線的雙曲線族，如圖中的實線所示。第二、四象限角平分線為漸近線的

25、雙曲線族，如圖中的實線所示。 （2 2）再計算速度散度）再計算速度散度 0uvkkxy v說明該流場是不可壓縮平面流動，存在流函數說明該流場是不可壓縮平面流動，存在流函數( (x,yx,y) )，ukx,kxyg(x)y0kyg( x)vky,g( x), g( x)Cx 上式中上式中C C為常數，流函數為為常數，流函數為 流線方程為流線方程為xyxy= =常數，在常數，在xyxy平面上是分別以平面上是分別以x x, ,y y軸為漸近線的雙曲線族，如軸為漸近線的雙曲線族，如圖中的虛線所示。圖中的虛線所示。x x, ,y y軸也是流線，稱其為零流線。流線族與等勢線族正軸也是流線，稱其為零流線。流

26、線族與等勢線族正交。交。 kxy C(b)已知已知: 90: 90角域流的速度分布式為：角域流的速度分布式為：u u= =kx,vkx,v=-=-k ky y（k k為常數）。為常數）。 2212k(xy ) C(a)8.3基本平面勢流基本平面勢流 一、平行流一、平行流 設流體作等速直線流動。設流體作等速直線流動。 積分得速度勢：積分得速度勢： (a) 又又 , 00vvuu 00 ,vvyuux dyvdxudyydxxd00 yvxu00 0 0 vvxuuy 積分得流函數積分得流函數 (b) 顯然（顯然（a）,(b)兩式滿足兩式滿足Laplace方程，而且等勢線方程，而且等勢線 與流線與

27、流線 互相垂直。互相垂直。 二、點源與點匯二、點源與點匯 1.點源與點匯定義點源與點匯定義 設在無限平面上流體從一點沿徑向直線均勻地向各方設在無限平面上流體從一點沿徑向直線均勻地向各方流出，這種流動稱為點源，這個點稱為源點。如圖流出，這種流動稱為點源，這個點稱為源點。如圖(a)。 若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點，這種流動稱若流體沿徑向直線均勻地從各方流入一點，這種流動稱為點匯，這個點稱為匯點，如圖為點匯，這個點稱為匯點，如圖(b)。yuxv00 )(00cyvxu )(00cyuxv 在這些流動中，從源點流出和向匯點流入都只有徑向速在這些流動中，從源點流出和向匯點流入都只有徑向速度。將極

28、坐標的原點作為源點（或匯點），則：度。將極坐標的原點作為源點（或匯點），則： 即即 2勢函數勢函數 每秒通過半徑為的單位長度圓柱面的流量為：每秒通過半徑為的單位長度圓柱面的流量為： 得得 點源點源 點匯點匯 0rvvrrvrdd rQvr 2 0v 0r Q0v 0r Q 積分得：積分得： 源點（匯點）為奇點。源點（匯點）為奇點。 3流函數流函數 積分得：積分得： 等勢線是半徑不同的同心圓，與流線正交。等勢線是半徑不同的同心圓，與流線正交。 同樣可證明同樣可證明和和都滿足都滿足Laplace方程，點源和方程，點源和點匯確是無旋流動。點匯確是無旋流動。rQvr 2 22ln =ln22QQrxy

29、yxxyyuxvddddd yyxQxxyxQyd)(2d)(22222 2tan2dd2122QcxyQyxxyyxQ 4壓力分布壓力分布 平面平面oxy是無限水平面，根據伯努里方程：是無限水平面，根據伯努里方程： 將將 表達式代入上式，得：表達式代入上式，得： 可見可見: 圖中表示圖中表示 時時, 點匯沿半徑點匯沿半徑 r的壓力分的壓力分布。布。 pgvpr22rv2221 8rgQpp 0 ,8 ; 21220 pgpQrrpr時時 rr0 三、渦流和點渦三、渦流和點渦 1渦束與渦流渦束與渦流 渦束象剛體一樣以等角速度繞自身（渦束象剛體一樣以等角速度繞自身（Z軸）旋轉，軸）旋轉，由渦束誘

30、導出的平面流由渦束誘導出的平面流, 稱為渦流稱為渦流. 如圖如圖,它是以它是以坐標原點為圓心的同心圓。坐標原點為圓心的同心圓。 按按Stokes定理定理, 沿圓周流線沿圓周流線 的速度環量等于渦束的漩的速度環量等于渦束的漩 渦強度（渦強度（I），即），即: 可見：可見： 常常數數 Irv 2)( ) ( 20勢勢流流旋旋轉轉區區rrrv 在渦束內在渦束內 2勢流旋轉區的壓力分布勢流旋轉區的壓力分布 伯努里方程：伯努里方程： 在渦束邊緣在渦束邊緣 由此解得渦核半徑由此解得渦核半徑 pgvp2222221 82rgpgvpp 2020220211 8vprgpp 02201 8ppgr 3渦核區的

31、壓力分布渦核區的壓力分布 平面定常流動的平面定常流動的Enlar運動方程：運動方程： 渦內速度渦內速度 代入代入, 再分別乘再分別乘 并相加得并相加得 即即 積分得：積分得： yypxxpyyxxdd)dd( 12xpyuvxuu 1ypyvvxvu 1xvyu ,yx d,dpyxd)(d 12222 cvcrp 22222 4壓力分布圖壓力分布圖 渦核中心的壓力：渦核中心的壓力： 渦核邊緣的壓力：渦核邊緣的壓力：202202020020000021 2121: , , ,B.C.vvppvpvvpvpcvvpprr 解得解得代入代入20vppc 20021vpp 故故 可見，渦核內、外壓降

32、相等，都等于以渦核可見，渦核內、外壓降相等，都等于以渦核邊緣的速度計算的動壓頭。如圖所示。邊緣的速度計算的動壓頭。如圖所示。20002121vppppppcc )( 5點渦點渦 成為一條渦線，這樣的渦流稱為點渦。成為一條渦線，這樣的渦流稱為點渦。 渦點是一奇點。渦點是一奇點。 (1) 速度勢速度勢 積分得速度勢積分得速度勢,00r, vr00rrvrvr 21 0 d2dddrrxy1tan22 （2）流函數）流函數 積分得流函數積分得流函數 環流逆時針環流逆時針, 環流順時針環流順時針.222yxxyx 222yxyxy 222222d212)( 2)(d2dddrryxyxyyxx rln

33、2 0 0 8.4 基本平面勢流的簡單迭加基本平面勢流的簡單迭加 一、無旋流動的特性一、無旋流動的特性 無旋流動有一重要特性：幾個無旋流動迭加無旋流動有一重要特性：幾個無旋流動迭加后仍然是無旋流動。后仍然是無旋流動。 證：證： 設：設： 則則 同樣：同樣： ) ,Laplace,Laplace,(321321方方程程是是線線性性的的且且方方程程滿滿足足 3222122 3222122 求求 對對x的偏導數的偏導數 此即速度在此即速度在 x 方向的分量：方向的分量： 同樣，求對同樣，求對y的偏導數得：的偏導數得： 即即 可見，無旋流動的速度勢及流函數的代數和可見，無旋流動的速度勢及流函數的代數和

34、等于新的無旋流動的速度勢和流函數，它的速度等于新的無旋流動的速度勢和流函數，它的速度是這些無旋流動速度的矢量和。是這些無旋流動速度的矢量和。 xxxx321 321uuuu 321vvvv 二、點匯和點渦二、點匯和點渦螺旋流螺旋流 在旋風燃燒室、離心式噴油嘴和離心式除在旋風燃燒室、離心式噴油嘴和離心式除 塵器等設備中塵器等設備中, 流體自外沿流體自外沿 圓周切向進入圓周切向進入, 又從中央不又從中央不 斷流出。這樣的流動可認為斷流出。這樣的流動可認為 是點匯和點渦的迭加。設環是點匯和點渦的迭加。設環 流方向為逆時針方向流方向為逆時針方向,則迭加則迭加 后新的組合流動的速度勢為：后新的組合流動的

35、速度勢為： 流函數流函數)ln(212ln221 rQrQ)ln(21ln2221rQrQ 令令 =常數，常數， 得等勢線得等勢線 =常數，得流線常數，得流線 這是兩組相互正交的對數螺旋線簇，如圖，這是兩組相互正交的對數螺旋線簇，如圖，稱為螺旋流。稱為螺旋流。 切向速度：切向速度： 徑向速度：徑向速度： 代入伯努里方程，得流場中的壓力分布代入伯努里方程，得流場中的壓力分布 Qecr 1 Qecr2rrv 21 rQrvr 2 22212222111)(8rrQgpp 水泵、風機等外殼中的水泵、風機等外殼中的 流動是點源和點渦迭加流動是點源和點渦迭加 的例子，如圖。的例子，如圖。 三、點源和點匯

36、三、點源和點匯 偶極流偶極流 1.點源與點匯點源與點匯 將位于將位于A(-a, 0)的點源的點源 和位于和位于B(a, 0)的點匯迭的點匯迭 加加, 迭加后速度勢為迭加后速度勢為: BBAArQrQln2ln2 如圖如圖 若若 流函數流函數 式中式中 為動點為動點P與源點與源點A和匯和匯 點點B的連接線的連接線 之間的夾角。之間的夾角。 由流線方程，由流線方程， 得得, 即流線是經過即流線是經過源源 點點A和匯點和匯點B的圓線的圓線簇。簇。2222)(,)(axyPBraxyPArBA QQQBA 2222)()(ln4ln2)ln(ln2axyaxyQrrQrrQBABA PBAQQ 2)(

37、2 P CP 2偶極流偶極流 點源和點匯無限接近，即，點源和點匯無限接近，即， 就是偶極流。就是偶極流。 使使 (有限常量有限常量)，M為偶極矩。為偶極矩。 偶極流的速度勢：偶極流的速度勢： 如圖如圖, 0a, Qa0MaQ2 BbABArrrQrrQ122lnln BABABA, rrr ,MaQQ,a,arr202cos2時2a02a0BQQ22222cos2coslimln1lim22rcos 222AABaaQQrMrMxMxrrxy 22222212122222202222102222-111144 44 2 22lim2tan2lim, 022tan21tan2 )tan(tan2

38、 cMycMxcMcMyxyxyMayxayQayxayQQaayxayQaxyaxyaxyaxyQaxyaxyQQaQa 得等勢線得等勢線常數常數得流線得流線常數常數令令時時 即流線是半徑為，即流線是半徑為， 圓心為圓心為 且與且與x軸在原點相切的軸在原點相切的 圓周簇，如圖中實線。圓周簇，如圖中實線。 等勢線是半徑為，等勢線是半徑為， 圓心為圓心為 且與且與y軸在原點相切軸在原點相切 的圓周簇，如圖中虛線。的圓周簇，如圖中虛線。14cM 14 , 0cM 24 cM 0,42 cM 8.5平行流繞圓柱體的流動平行流繞圓柱體的流動一一.平行流繞圓柱體無環量的流動平行流繞圓柱體無環量的流動1.

39、平行流和偶極流迭加而成的組合平面流動平行流和偶極流迭加而成的組合平面流動 流函數流函數 流線方程流線方程 零流線方程：零流線方程： 即即 2222211212yxVMyVyxyMyV ,c cyxyMyV 2220 c012122 yxVMyV VMyxy2 022 所以所以, 零流線是一個零流線是一個 以坐標原點為圓心以坐標原點為圓心,半徑半徑 的圓周的圓周 和和x軸所構成的圖形。這軸所構成的圖形。這 流線到流線到A處分成兩股處分成兩股,沿上、沿上、 下兩個半圓周流到下兩個半圓周流到B點，點， 又重新匯合，如圖。又重新匯合，如圖。 2、平行流繞圓柱體無環流的平面流動、平行流繞圓柱體無環流的平

40、面流動 一個平行流繞半徑為一個平行流繞半徑為 的圓柱體的平面流動，的圓柱體的平面流動，可以用這個平行流與偶極矩可以用這個平行流與偶極矩 的偶極流迭的偶極流迭加面成的組合流動代替。加面成的組合流動代替。 VMr200r202rVM 流函數：流函數： 速度勢：速度勢： 3、繞流的速度分布、繞流的速度分布 流場中任一點的速度分量流場中任一點的速度分量 沿包圍圓柱體圓形周線的速度環量：沿包圍圓柱體圓形周線的速度環量： 平行流繞圓柱體的平面流動沒有速度環量。平行流繞圓柱體的平面流動沒有速度環量。02202220 sin11rrrrrVyxryV 022022 cos12rrrrrVyxxMxV sinc

41、os220220111rrVrvrrVrvr0dsin1d220 rrrVsv 在圓柱面上速度按正在圓柱面上速度按正 弦曲線分布，如圖。弦曲線分布，如圖。 在在0和和180(A點點)處，處， , 稱為駐稱為駐點。在點。在90，270處，處， 達到最大值達到最大值 4、繞流的壓力分布、繞流的壓力分布 圓柱面上任一點的壓力，由伯努里方程：圓柱面上任一點的壓力，由伯努里方程： sin v 0 v )( rVrr20在圓柱面上0vv Vv2max)sin41(21 22 2222 Vppgvpgvp即即 工程上常用無因次的壓力系數表示作用在物體任工程上常用無因次的壓力系數表示作用在物體任一點的壓力，定

42、義為：一點的壓力，定義為： 對繞流圓柱體：對繞流圓柱體： 根據上式計算根據上式計算 出的理論無因出的理論無因 次壓力系數曲次壓力系數曲 線如圖中實線線如圖中實線 所示所示. 注意此時注意此時 角是從前駐角是從前駐 點沿順時針點沿順時針 方向增加。方向增加。221 VppCp 前駐點前駐點 (0)： ( 90): 后駐點（后駐點（180）：與點相同。）：與點相同。 可見，圓柱體所可見，圓柱體所 受流體壓力上下受流體壓力上下 左右都對稱。因左右都對稱。因 此，作用在圓柱此，作用在圓柱 面上的壓力在各面上的壓力在各 個方向上都互相個方向上都互相 平衡，合力等于平衡，合力等于 零。零。2max21 ,

43、 1 , 0 VpppCvAp 2min0max23 , 3 ,2 VpppCVvvp 5、達朗伯疑題、達朗伯疑題 理想流體繞流圓柱體，理想流體繞流圓柱體， 作用在圓柱面上的合力作用在圓柱面上的合力 為零可用分析方法證明。為零可用分析方法證明。 如圖，在單位柱長圓柱如圖，在單位柱長圓柱 體上，作用在微元弧段體上，作用在微元弧段 的微小總壓力的微小總壓力 ，則，則 沿沿x向向y向的分量為：向的分量為： dd0rs ddF0pr Fd dsin-ddcosd00prFprFyx )sin41(2122 Vpp 流體作用在圓柱體上總壓力沿流體作用在圓柱體上總壓力沿x向和向和y向的分量：向的分量： 即

44、作用在圓柱體上的壓力合力為零。圓柱體受即作用在圓柱體上的壓力合力為零。圓柱體受到的與來流方向平行和垂直的力，又稱為流體作到的與來流方向平行和垂直的力，又稱為流體作用在圓柱體上的阻力和升力。所以當理想流體的用在圓柱體上的阻力和升力。所以當理想流體的平行流無環流地繞流圓柱體時，沒有作用在圓柱平行流無環流地繞流圓柱體時，沒有作用在圓柱體上的阻力和升力。這個結果與實驗有很大的矛體上的阻力和升力。這個結果與實驗有很大的矛盾，這就是著名的盾，這就是著名的達朗伯疑題達朗伯疑題。 其原因在于實際流體都是有粘性的。理想流體不其原因在于實際流體都是有粘性的。理想流體不考慮粘性，已不能適用于分析流動阻力這種流體考慮粘性，已不能適用于分析流動阻力這種流體粘性起作用的場合。