1、第二章 質點運動學（習題） 2.1.1 質點的運動學方程為 求質點軌跡并用圖表示。 解 : . 軌跡方程為 y=5 消去時間參量 t 得：   2.1.2 質點運動學方程為 ，（ 1 ） . 求質點的軌跡；（ 2 ） . 求自 t=-1 至 t=1 質點的位移。 解 ; 消去 t 得軌跡： xy=1,z=2 , , 2.1.3 質點運動學方程為 ，（ 1 ） . 求質點的軌跡；（ 2 ） . 求自 t=0 至 t=1 質點的位移。 解 : . 消去 t 得軌跡方程 2.2.1 雷達站于某瞬時測得飛機位置為 ， 后測得 均在鉛直平面內。求飛機瞬時速率的近似值和飛行方向（角）。解 :代入

2、數值得： 利用正弦定理可解出 2.2.2 一小圓柱體沿拋物線軌道運動，拋物線軌道為 （長度 mm ）。第一次觀察到圓柱體在 x=249mm 處，經過時間 2ms 后圓柱體移到 x=234mm 處。求圓柱體瞬時速度的近似值。 解:2.2.3 一人在北京音樂廳內聽音樂，離演奏者 17m 。另一人在廣州聽同一演奏的轉播，廣州離北京 2320km ，收聽者離收音機 2m ，問誰先聽到聲音聲速為 340m/s, 電磁波傳播的速度為 。 解 : 在廣州的人先聽到聲音。 2.2.4 如果不允許你去航空公司問訊處，問你乘波音 747 飛機自北京不著陸飛行到巴黎，你能否估計大約用多少時間如果能，試估計一下（自己

3、找所需數據）。 解 : 2.2.5 火車進入彎道時減速，最初列車向正北以 90km/h 速率行駛， 3min 后以 70km/h 速率向北偏西 方向行駛。求列車的平均加速度。 解，2.2.6 （ 1 ） R 為正常數。求 t=0, /2 時的速度和加速度。（ 2 ） 求 t=0,1 時的速度和加速度（寫出正交分解式）。 解：（ 1 ） 當 t=0 時， 當 t= /2 時， （ 2 ） 當 t=0 時， 當 t=1 時， 2.3.1 圖中 a 、 b 和 c 表示質點沿直線運動三種不同情況下的 x-t 圖，試說明三種運動的特點（即速度，計時起點時質點的坐標，位于坐標原點的時刻）。  

4、 解 : a 直線的斜率為速度 b 直線的斜率為速度 c 直線的斜率為速度 2.3.2 質點直線運動的運動學方程為 x=acost, a 為正常數。求質點速度和加速度并討論運動特點（有無周期性，運動范圍，速度變化情況等）。 解 : 質點受力 ，是線性恢復力，質點做簡諧振動，振幅為 a ，運動范圍在 ，速度具有周期性。 2.3.3 跳傘運動員的速度為 v 鉛直向下，、 q 為正常量。求其加速度。討論當時間足夠長時（即 t ），速度和加速度的變化趨勢。 解 : 2.3.4 直線運動的高速列車在電子計算機控制下減速進站。列車原行駛速度為 ，其速度變化規律如圖所示。求列車行駛至 x=1.5km 時加速

5、度的大小。 解 : 當 x= 時，   2.3.5 在水平桌面上放置 A 、 B 兩物體，用一不可伸長的繩索按圖示的裝置把它們連接起來。 C 點與桌面固定。已知物體 A 的加速度 ，求物體 B 的加速度。 解 :以 C 為坐標原點，建立一維坐標系 o-x 。設繩的總長度為 ， B 的坐標為 ， A 的坐標為 ，則得 兩端對 t 求導 2.3.6 質點沿直線的運動學方程為 。 （ 1 ）將坐標原點沿 ox 軸正方向移動 2m ，運動學方程如何初速度有無變化 （ 2 ）將計時起點前移 1s ，運動學方程如何初始坐標和初始速度都發生怎樣的變化加速度變不變 解 :（ 1 ） ，代入上式得：

6、初速度不變。 （ 2 ） 代入上式得： 初坐標 由 0 變為 -7m. , 初速度由 10m/s 變為 4m/s. 加速度不變，都是 . 以下四題用積分 2.4.1 質點由坐標原點出發時開始計時，沿 x 軸運動，其加速度 ，求在下列兩種情況下質點的運動學方程、出發后 6s 時質點的位置、在此期間所走過的位移及路程： （ 1 ）初速度 ； （ 2 ）初速度 的大小為 9cm/s, 方向與加速度方向相反。 解 :（1） ， ， 當 t=6s時， , , 質點運動的路程： (2) , , 當 t=6s時， , , 質點運動的路程如圖， ， ， 質點運動的路程： 2.4.2質點直線運動瞬時速度的變化規

7、律為 求 至 時間內的位移。 解 : ， 2.4.3一質點作直線運動，其瞬時加速度的變化規律為 在 t=0 時， 其中 均為正常數，求此質點的運動學方程。 解 : ， ， 2.4.4飛機著陸時為盡快停止采用降落傘制動。剛著陸時，t=0時速度為 且坐標為 x=0. 假設其加速度為 ， b= 常量，求此質點的運動學方程。 解 : ， ， 解以下四題中勻變速直線運動時應明確寫出所選的坐標系、計時起點和初始條件。 2.4.5 在 195m 長的坡道上，一人騎自行車以 18km/h 的速度和 -20cm/s 2 的加速度上坡，另一自行車同時以 5.4km/h 的初速度和 0.2m/s 2 的加速度下坡。

8、問（ 1 ）經過多長時間兩人相遇；（ 2 ）兩人相遇時，各走過多少路程。 解 :建立坐標系 o-x, 原點為質點 1 的初始位置。 對上坡的質點 1:t=0,v 10 =5m/s, x 10 =0, a 1 =s 2 , 對下坡的質點 2:t=0,v 20 =s,x 20 =195m, a 2 =-0.2m/s 2 , 相遇時， x 1 =x 2 , 所需時間設為 t ，則 質點 1 的速度表達式為： ，所以質點 1 的路程為兩段路程之和，如圖所式。前 25s 的路程： 后 5s 的路程： 質點 2 的路程： +=135(m) 2.4.6 站臺上送行的人，在火車開動時站在第一節車廂的最前面。火

9、車開動后經過 t=24s ，第一節車廂的末尾從此人的面前通過。問第七節車廂駛過他面前需要多長時間火車作勻加速運動。解 :  設火車第六節末尾經過此人的時間為 t 6 ， 火車第七節末尾經過此人的時間為 t 7 ， 2.4.7 在同一鉛直線上相隔 h 的兩點以同樣的速率 v 0 上拋二石子，但在高處的石子早 t 0 秒被拋出。求此二石子何時何處相遇。解 : 解出 t 得： ， 將 t 代入 ，得 2.4.8 電梯以 1.0m/s 的勻速率下降，小孩在電梯中跳離地板 0.50m 高，問當小孩再次落到地板上時，電梯下降了多長距離 解 : 建立基本坐標系 o-x, 原點固結在地面上，建立運動

10、坐標系 原點固結在電梯的地板。 小孩相對運動參照系 （電梯）跳起到落回地板所需時間設為 t ，則 解出 td 得， 這段時間電梯下降的距離為 , 2.5.1 質點在 o-xy 平面內運動，其加速度為 位置和速度的初始條件為 t=0 時 ，求質點的運動學方程并畫出軌跡（本題用積分）。 解 :由 得 初始條件： t=0 時 ,v 0x =0,v 0y =1,x 0 =1,y 0 =0 , ,  , , 軌道方程： 2.5.2 在同豎直值面內的同一水平線上 A 、 B 兩點分別以 30 0 、 60 0 為發射角同時拋出兩小球欲使兩小球相遇時都在自己的軌道的最高點，求 A 、 B 兩點的距

11、離。已知小球在 A 點的發射速率 解 :， 2.5.3 迫擊炮彈的發射角為 60 0 , 發射速率 150m/s. 炮彈擊中傾角 30 0 的山坡上的目標，發射點正在山腳。求彈著點到發射點的距離 OA. 解 : 由幾何關系： 將 (2) 、 (3) 式代入 (1) 式 2.5.4 轟炸機沿與鉛直方向成 俯沖時，在 763m 高度投放炸彈，炸彈離開飛機 時擊中目標。不計空氣阻力。（ 1 ）轟炸機的速率是多少（ 2 ）炸彈在飛行中經過的水平距離是多少（ 3 ）炸彈擊中目標前一瞬間的速度沿水平和鉛直方向的分量是多少解 :以投放炸彈處為坐標原點 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 2.5.5 雷達觀測

12、員正在監視一越來越近的拋射體，在某一時刻，靠他得到這樣的信息：（ 1 ）拋射體達到最大高度且以速率 v 沿水平方向運動；（ 2 ）觀察者到拋射體的直線距離為 ；（ 3 ）觀測員觀察拋體的視線與水平方向成 角。 問：（ 1 ）拋射體命中點到觀察者的距離 D 等于多少（ 2 ）何種情況下拋體飛越觀察者的頭頂以后才擊中目標何種情況下拋體在未達到觀測員以前就命中目標   解 :（ 1 ） ， ，命中點， 觀測者 拋射體命中點到觀察者的距離 （ 2 ） 當 ，飛越觀察者的頭頂擊中目標，即 當 ，拋體在未達到觀測員以前就命中目標，即 2.6.1 列車在圓弧形軌道上自東轉向北行駛，在我們

13、所討論的時間范圍內，其運動學方程為 （長度： m 時間： s ）。 t=0 時，列車在圖中 o 點，此圓弧形軌道的半徑 r=1500m. 求列車駛過 o 點以后前進至 1200m 處的速率及加速度。   解 :采用自然坐標系， o 為自然坐標系的原點。 由 得 ， ， 當 s=1200m 時，由 得 （舍去）因為當 t=60 時， 當 ，即列車駛過 o 點以后前進至 1200m 處的速率為 40m/s. 過 o 點以后前進至 1200m 處的加速度： 可以算出 與 的夾角為 152 0 。 2.6.2 火車以 200km/h 的速度駛入圓弧形軌道，其半徑為 300m 。司機一進入圓弧

14、形軌道立即減速，減速度為 2g 。求火車在何處的加速度最大最大加速度是多少解 : ， 由上式可見 t=0 時（剛進入圓弧形軌道時）， a 最大。 代入數值得 2.6.3 斗車在位于鉛直平面內上下起伏的軌道運動。當斗車達到圖中所示位置時，軌道曲率半徑為 150m ，斗車速率為 50km/h, 切向加速度 a =0.4g. 求斗車的加速度。   解， 加速度與水平方向的夾角 2.8.1 飛機在某高度的水平面上飛行。機身的方向是自東北向西南，與正西夾 15 0 角，風以 100km/h 的速率自西南向東北方向吹來，與正南夾 45 0 角，結果飛機向正西方向運動。求飛機相對于風的速度及相對地

15、面的速度。 解 :基本參照系：地面 運動參照系：風 研究對象：飛機 絕對速度： ，相對速度： ，牽連速度： = + （ 1 ） （ 2 ） 2.8.2 飛機在靜止空氣中的飛行速率是 235km/h ， 它朝正北的方向飛行，使整個飛行的時間內都保持在一條南北向的公路上空。地面觀察者利用通訊設備告訴駕駛員正在刮著速率等于 70km/h 的風，但飛機仍能以 235km/h 的速率沿公路方向飛行。（ 1 ）風的方向是怎樣的（ 2 ）飛機的頭部指向哪個方向也就是說，飛機的軸線和公路成怎樣的角度解 :基本參照系：地面 運動參照系：風 研究對象：飛機 絕對速度： ，相對速度： ，牽連速度： = + 2.8.3 一輛卡車在平直路面上以恒定速率 30m/s 行駛，在此車上射出一拋體，要求在車前進 60m 時，拋體仍落回到車上原拋出點，問拋體射出時相對于卡車的初速度的大小和方向，空氣阻力不計。解 :以卡車為參照系，以起拋點為坐標原點，建立直角坐標系o-xy,如圖所示。以拋出時刻為計時起點。 得： 由已知， 代入 表明：拋射體相對卡車以 s的速率豎直上拋時，當卡車前進了60m，拋體落回拋射點。 2.8.4河的兩岸互相平行，一船由A點朝與岸垂直的方向勻速行駛，經10min到達