1、主編：文國治 副主編：陳名弟土木工程指導性專業規范系列教材 出版社基本要求基本要求 了解變形體系虛功原理的內容及其在結構位移計算中的應用；了解變形體系虛功原理的內容及其在結構位移計算中的應用；理解廣義力及廣義位移的概念；熟練掌握計算結構位移的理解廣義力及廣義位移的概念；熟練掌握計算結構位移的單位荷載法單位荷載法；熟練；熟練掌握圖乘法在位移計算中的應用；了解線性彈性體系的掌握圖乘法在位移計算中的應用；了解線性彈性體系的互等定理互等定理。重點重點 靜定結構由于荷載、支座位移、溫度變化等原因引起的位移計算靜定結構由于荷載、支座位移、溫度變化等原因引起的位移計算，特別是用，特別是用圖乘法圖乘法計算靜定

2、梁和剛架在荷載作用下的位移。計算靜定梁和剛架在荷載作用下的位移。難點難點 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理及其證明；及其證明；廣義力及廣義位移廣義力及廣義位移的概念。的概念。本章小結本章小結4-1 概述概述4-2 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理4-3 平面桿件結構位移計算的一般公式平面桿件結構位移計算的一般公式4-4 靜定結構在荷載作用下的位移計算靜定結構在荷載作用下的位移計算4-6 靜定結構在支座移動時的位移計算靜定結構在支座移動時的位移計算4-7 靜定結構在溫度變化時的位移計算靜定結構在溫度變化時的位移計算4-5 圖乘法圖乘法*4-8 具有彈性支座的靜定結構的位移計算具有彈性支座

3、的靜定結構的位移計算4-9 線性線性靜定結構的互等定理靜定結構的互等定理線位移線位移(撓度撓度)截面形心所移動距離截面形心所移動距離(圖圖4.1A)、 (圖圖4.2CD) 角位移角位移(轉角轉角) 截面轉動的角度截面轉動的角度(圖圖4.1 A)、 (圖圖4.1 AB) 絕對位移絕對位移相對位移相對位移 4.1.1 4.1.1 廣義位移廣義位移 荷載、溫度變化、支座位移等外因作用下，結構各截面位置的移荷載、溫度變化、支座位移等外因作用下，結構各截面位置的移動，稱為位移。動，稱為位移。 結構的結構的 廣義位移廣義位移 圖圖4.14.1絕對位移絕對位移 ABCDABABCDFPA1AAAHVAA圖圖

4、4.24.2相對位移相對位移廣義荷載廣義荷載 力和力偶力和力偶4.1.2 4.1.2 計算位移的目的計算位移的目的保證剛度條件保證剛度條件 D D DD為計算超靜定結構打下基礎。為計算超靜定結構打下基礎。在結構或構件的制作、施工過程中，常需預先知道其位移。在結構或構件的制作、施工過程中，常需預先知道其位移。在計算結構位移時，通常采用以下幾個假定：在計算結構位移時，通常采用以下幾個假定： 1.1.結構的材料在結構的材料在彈性范圍內彈性范圍內工作，且符合胡克定律，即工作，且符合胡克定律，即應力與應變成應力與應變成線性關系。線性關系。 符合上述假定的結構體系稱為符合上述假定的結構體系稱為線彈性變形體

5、系或線性變形體系線彈性變形體系或線性變形體系。由。由于線彈性變形體系的位移與荷載成比例，因此在計算位移時可以應用疊于線彈性變形體系的位移與荷載成比例，因此在計算位移時可以應用疊加原理。加原理。 2.2.結構結構位移是微小的位移是微小的，以致不影響變形后荷載的作用位置。，以致不影響變形后荷載的作用位置。3.3.結構各處的約束都為理想約束。所謂結構各處的約束都為理想約束。所謂理想約束是指在結構發生位移理想約束是指在結構發生位移的過程中約束力不作功的約束的過程中約束力不作功的約束，例如剛性支座、鏈桿和無摩擦的光，例如剛性支座、鏈桿和無摩擦的光滑鉸等就是理想約束?；q等就是理想約束。 4.1.3 4.

6、1.3 計算位移的方法計算位移的方法虛功法虛功法依據虛功原理的依據虛功原理的單位荷載法單位荷載法。（F表示廣義力，表示廣義力，表示廣義位移）表示廣義位移） W=F 功是力與位移的矢量點積功是力與位移的矢量點積 1 1功功 cosD FW MFrW2FF4.2.1 4.2.1 實功與虛功實功與虛功2 2實功實功 外力（其值由零逐漸增加到最大值）在其自身引起的位移外力（其值由零逐漸增加到最大值）在其自身引起的位移上所作的功稱為實功。上所作的功稱為實功。力力F F 本身引起的位移對力本身引起的位移對力F F 而言為實位而言為實位移，移，力在實位移上所作的功稱為實功。力在實位移上所作的功稱為實功。(

7、(設比例常數為設比例常數為) )T=22111110001122|PF ddDDDD DD DD（4.1a）DPF21OFPAB11dFPFP1FPOFPAB11dFPFP1FP圖圖4.3 4.3 靜力荷載所做的實功靜力荷載所做的實功即即T T為三角形為三角形O OABAB的面積。的面積。FPM（4.1b）MT21圖圖4. .4 靜力荷載所做的實功靜力荷載所做的實功3 3虛功虛功 外力在其他原因外力在其他原因(其他荷載、溫度變化、支座位移等其他荷載、溫度變化、支座位移等)引起的引起的位移上所做的功稱為虛功。位移上所做的功稱為虛功。位移不是由作功的力引起的，而是位移不是由作功的力引起的，而是由其

8、他因素引起的是虛位移由其他因素引起的是虛位移, ,力力F F在虛位移上所作的功稱為虛功。在虛位移上所作的功稱為虛功。 FPFP1FP1FP力狀態力狀態 FP1FP位移狀態位移狀態 圖圖4. .5虛功虛功圖圖4. .6虛功虛功 W1=FP （4.2）4.2.2 4.2.2 剛體體系的虛功原理剛體體系的虛功原理 或者說：對于具有理想約束的剛體體系，如果力狀態或者說：對于具有理想約束的剛體體系，如果力狀態中的力系能滿足平衡條件，位移狀態的剛體位移是約束容中的力系能滿足平衡條件，位移狀態的剛體位移是約束容許的可能位移，則外力所作的虛功總和等于零，即許的可能位移，則外力所作的虛功總和等于零，即 W 外外

9、= 0 對于具有理想約束的剛體體系，其虛功原理可表述為：對于具有理想約束的剛體體系，其虛功原理可表述為：剛體體系處于平衡的必要和充分條件是，對于符合剛體體剛體體系處于平衡的必要和充分條件是，對于符合剛體體系約束情況的任意微小虛位移，剛體體系上所有外力所做系約束情況的任意微小虛位移，剛體體系上所有外力所做的虛功總和等于零。的虛功總和等于零。4.2.3 4.2.3 變形體系的虛功原理變形體系的虛功原理W=U (4.3) 證明：圖示力狀態和位移狀態互不相關。將圖證明：圖示力狀態和位移狀態互不相關。將圖4.7(a)4.7(a)中微中微段上的各力在圖段上的各力在圖4.7(b)4.7(b)中微段上的對應位

10、移上做虛功，并把所中微段上的對應位移上做虛功，并把所有微段的虛功總加起來，便是整個結構的虛功有微段的虛功總加起來，便是整個結構的虛功W W總總。 變形體系處于平衡的必要和充分條件是，對于符合變形體變形體系處于平衡的必要和充分條件是，對于符合變形體系約束條件的任意微小的連續虛位移，變形體系上所有外力所系約束條件的任意微小的連續虛位移，變形體系上所有外力所做的虛功總和做的虛功總和W W，等于變形體系各微段截面上的內力在其虛變形，等于變形體系各微段截面上的內力在其虛變形上所做的虛功上所做的虛功U U。即外力虛功等于變形虛功（或稱虛應變能）。即外力虛功等于變形虛功（或稱虛應變能）。FP2P1FMdsq

11、FQMFNM+dMNF +dNF+dFQFQsdqdssdsdABDCA1B1C11D2CD2(a)(a)力狀態力狀態 (b)(b)位移狀態位移狀態 圖圖4.74.7虛功原理的證明虛功原理的證明FP2P1FMdsqFQMFNM+dMNF +dNF+dFQFQsdqdssdsdABDCA1B1C11D2CD2FP2P1FMdsqFQMFNM+dMNF +dNF+dFQFQsdqdssdsdABDCA1B1C11D2CD2FP2P1FMdsqFQMFNM+dMNF +dNF+dFQFQsdqdssdsdABDCA1B1C11D2CD2(a)(a)力狀態力狀態 (b)(b)位移狀態位移狀態 （2 2

12、）按剛體虛功與變形虛功計算）按剛體虛功與變形虛功計算W W總總( (考慮力系平衡條件考慮力系平衡條件) ) 將微段的虛位移分解為兩步：先只發將微段的虛位移分解為兩步：先只發生剛體位移生剛體位移( (由由ABCDABCD移到移到A A1 1B B1 1C C2 2D D2 2) )，然后，然后再發生變形位移再發生變形位移( (截面截面A A1 1B B1 1不動，不動，C C2 2D D2 2再移再移到到C C1 1D D1 1) )，如圖，如圖4.7(b)4.7(b)所示。所示。變變總WdWWdW總總=dW剛剛+dW變變dW剛剛=0即即變WW（1 1）按外力虛功與內力虛功計算）按外力虛功與內力

13、虛功計算W W總總( (考慮變形連續條件考慮變形連續條件) )WWW外總號由相鄰截面內力等值反dW總總=dW外外+dW內內dddWWW總外內或或 W總總=W外外+W內內dWW內內dWW外外FP2P1FMdsqFQMFNM+dMNF +dNF+dFQFQsdqdssdsdABDCA1B1C11D2CD2FP2P1FMdsqFQMFNM+dMNF +dNF+dFQFQsdqdssdsdABDCA1B1C11D2CD2(a)(a)力狀態力狀態 (b)(b)位移狀態位移狀態 （3 3）變形虛功）變形虛功W W變變的計算的計算sdddsdsddu圖圖4. .8 微段變形微段變形dW變=Md+FQdh+F

14、Ndu sdddsdsdduduFdFMddWWUNQh變變虛功原理虛功原理 W W = =U U 可寫為可寫為PQNdddFMFF uDh平衡力系平衡力系位移狀態位移狀態位移狀態(4.4)平衡力系和位移狀態是平衡力系和位移狀態是相互獨立無關相互獨立無關的。的。虛功原理具有虛功原理具有普遍適用性普遍適用性。適用于彈性、非彈性、線性、非適用于彈性、非彈性、線性、非 線性的變形體系。線性的變形體系。 即即外力虛功之和為零外力虛功之和為零。剛體系的虛功原理是變形體系。剛體系的虛功原理是變形體系虛功原理的一個特例。虛功原理的一個特例。 力系是力系是平衡力系平衡力系，位移是可能的、微小的、連續的位移。，

15、位移是可能的、微小的、連續的位移。(4)(4)變形體系的虛功原理的幾點說明變形體系的虛功原理的幾點說明 若平衡力系狀態實際存在，位移狀態是虛設的，稱為若平衡力系狀態實際存在，位移狀態是虛設的，稱為虛位移原理虛位移原理，可用于求未知力。，可用于求未知力。 若位移狀態實際存在，平衡力系狀態是虛設的若位移狀態實際存在，平衡力系狀態是虛設的, ,稱為稱為虛力原理虛力原理。此時式。此時式(4.4)(4.4)表示變形協調條件，可用于求位移。表示變形協調條件，可用于求位移。虛功原理的兩種表述形式：虛功原理的兩種表述形式：虛功原理同樣適用于剛體系。此時變形虛功虛功原理同樣適用于剛體系。此時變形虛功U U =0

16、=0，則，則W W =0=0。 虛擬位移狀態，求未知力虛擬位移狀態，求未知力 WeBBFFF =0 BBFFFlaBFFlaFB根據幾何根據幾何關系有關系有: F 可令可令B B =1 =1，這種沿未知力方向虛設單位位移的方，這種沿未知力方向虛設單位位移的方法稱為法稱為單位位移法單位位移法 用虛位移原理建立的虛功方程形式上是功的方程，用虛位移原理建立的虛功方程形式上是功的方程，實質上是平衡方程。實質上是平衡方程。 虛位移是人為虛設的。為了計算方便，可設欲求未虛位移是人為虛設的。為了計算方便，可設欲求未知力方向上的虛位移為單位位移。知力方向上的虛位移為單位位移。 用虛位移原理求解時的一個重要步驟

17、是找出虛位移用虛位移原理求解時的一個重要步驟是找出虛位移間的幾何關系，由此可得到力系之間的平衡關系。間的幾何關系，由此可得到力系之間的平衡關系。因此，該法的特點是把靜力平衡問題轉化為幾何問因此，該法的特點是把靜力平衡問題轉化為幾何問題求解。題求解。 上述計算是在虛擬位移狀態與給定的實際力狀態之間上述計算是在虛擬位移狀態與給定的實際力狀態之間應用虛功方程，這種形式的虛功原理又稱為應用虛功方程，這種形式的虛功原理又稱為虛位移原理虛位移原理。 【*例例4.1】 試用虛位移原理試用虛位移原理(單位位移法單位位移法)求圖求圖(a)所示所示多跨靜定梁的支座多跨靜定梁的支座B處的反力。處的反力。 【解解】去

18、掉支座去掉支座B處的約束，代之以相應的約束反力處的約束，代之以相應的約束反力FB。設在。設在B處產生一個向下的虛單位位移處產生一個向下的虛單位位移B=1，則體系的虛位移如圖，則體系的虛位移如圖(b)中中虛線所示。應用虛位移原理建立虛功方程為虛線所示。應用虛位移原理建立虛功方程為 (a) 0332211FFFFBB21211B32323421212BBC3131212123BE321313221FFFFB 將以上各關系式代入式將以上各關系式代入式(a)，得，得 虛位移之間的關系為虛位移之間的關系為 虛擬力狀態，求未知位移虛擬力狀態，求未知位移 在虛擬力狀態和給定的實際位移狀態之間應用在虛擬力狀態

19、和給定的實際位移狀態之間應用虛功原理，這種形式的虛功原理又稱為虛力原理。虛功原理，這種形式的虛功原理又稱為虛力原理。 本章就采用此方法求結構位移。本章就采用此方法求結構位移。 【*例例4.2】 已知圖已知圖(a)所示靜定梁的支座所示靜定梁的支座B向下移動向下移動距離距離c，試用虛力原理求梁上點，試用虛力原理求梁上點C的豎向位移。的豎向位移。FCV FBy c=0 令令F=1。得。得 CV=cla靜定結構在支座移動時只產生剛體位移。欲求靜定結構在支座移動時只產生剛體位移。欲求C點的豎向位移，可虛擬一力狀態如圖點的豎向位移，可虛擬一力狀態如圖(b)所示。所示。應用虛力原理建立虛功方程為應用虛力原理

20、建立虛功方程為 VC【解解】 沿所求位移方向沿所求位移方向虛設單位荷載虛設單位荷載F F=1=1的方法稱為的方法稱為單位荷載法單位荷載法，或稱為，或稱為單位力法單位力法。 當支座有給定位移時，靜定結構的位移可用單當支座有給定位移時，靜定結構的位移可用單位荷載法來求解，其計算步驟如下：位荷載法來求解，其計算步驟如下： 沿欲求位移的方向虛設相應的單位荷載，并求出沿欲求位移的方向虛設相應的單位荷載，并求出在單位荷載作用下給定位移的支座處的反力在單位荷載作用下給定位移的支座處的反力 令虛擬力系在相應實際位移上作功，寫出虛功方令虛擬力系在相應實際位移上作功，寫出虛功方程程 由虛功方程解出欲求位移。如果求

21、得的位移為正由虛功方程解出欲求位移。如果求得的位移為正值，表明位移的實際方向與所設單位荷載的方向值，表明位移的實際方向與所設單位荷載的方向一致；如果求得的位移為負值，表明位移的實際一致；如果求得的位移為負值，表明位移的實際方向與所設單位荷載的方向相反。方向與所設單位荷載的方向相反。 (a) 實際狀態(b) 虛擬狀態i1c21csdsdKii1FP=1MFQNF、FR1R2FK1KP1FP2Fddudi 此即平面桿件結構位移計算的一般公式，此即平面桿件結構位移計算的一般公式，這種計算位移的方法又稱為這種計算位移的方法又稱為單位荷載法單位荷載法。 此方法既適用于靜定結構，也適用于超此方法既適用于靜

22、定結構，也適用于超靜定結構；既適用于彈性材料，也適用于非靜定結構；既適用于彈性材料，也適用于非彈性材料；既適用于荷載作用下的位移計算，彈性材料；既適用于荷載作用下的位移計算，也適用于由支座移動、溫度改變等因素影響也適用于由支座移動、溫度改變等因素影響下的位移計算。下的位移計算。 4.3.1 4.3.1 單位荷載法與結構位移計算的一般公式單位荷載法與結構位移計算的一般公式 (a) 實際狀態(b) 虛擬狀態i1c21csdsdKii1FP=1MFQNF、FR1R2FK1KP1FP2Fddudi圖圖4.9虛力原理虛力原理R1R2RP121FFcFcF cDDD RQNdddF cMFFuDhRQNd

23、ddMFFuF cDh（4.6）4.3.2 4.3.2 單位力設置方法單位力設置方法 (a)(b)(c)(d)1iK1iK1KK1111KK11求求i-i 1方向上的方向上的D D求求 K求求D DKK1求求 KK1虛擬狀態所加的荷載應是與所求廣義位移相應的廣義單位力。虛擬狀態所加的荷載應是與所求廣義位移相應的廣義單位力。 圖圖4.10單位力設置法單位力設置法2. 2. 若欲求的位移是結構上若欲求的位移是結構上某兩點沿指定方向的相對線某兩點沿指定方向的相對線位移，位移，則虛單位荷載應該是則虛單位荷載應該是作用于該兩點沿指定方向的作用于該兩點沿指定方向的一對反向共線的單位集中力一對反向共線的單位

24、集中力(b)(b)。1F1F1F(b) 1. 1. 若欲求的位移是結構上若欲求的位移是結構上某一點沿某一方向的線位移，某一點沿某一方向的線位移，則虛單位荷載應該是則虛單位荷載應該是作用于該點沿該方向的單位集中力作用于該點沿該方向的單位集中力(a)(a)。 3.3.若欲求的位移是結構上若欲求的位移是結構上某一截面的角位移，某一截面的角位移，則虛則虛單位荷載應該是單位荷載應該是作用于此截面上的單位集中力偶作用于此截面上的單位集中力偶(c)(c)。 4.4.若欲求的位移是結構上若欲求的位移是結構上某兩個截面的相對角位某兩個截面的相對角位移，移，則虛單位荷載應該是則虛單位荷載應該是作用于這兩個截面上的

25、一作用于這兩個截面上的一對反向單位集中力偶對反向單位集中力偶(d)(d)。1eM(e)1eM1eM(c)(d) 5. 5. 若欲求的位移是結構（如若欲求的位移是結構（如桁架）中某一桿件的角桁架）中某一桿件的角位移，位移，則應在則應在該桿件的兩端沿垂直于桿件方向施加一該桿件的兩端沿垂直于桿件方向施加一個由一對大小相等、方向相反的集中力所構成的虛單個由一對大小相等、方向相反的集中力所構成的虛單位力偶，每一集中力的大小等于桿件長度的倒數。位力偶，每一集中力的大小等于桿件長度的倒數。 虛單位荷載的指向可任意假設，若按式（虛單位荷載的指向可任意假設，若按式（4.64.6）計）計算出來的結果是正的，則表示

26、實際位移的方向與虛單算出來的結果是正的，則表示實際位移的方向與虛單位荷載的方向相同，否則相反。位荷載的方向相同，否則相反。 (e)結構的位移計算一般公式結構的位移計算一般公式 )6 . 4(dcFduFdFMRNQlh 在只考慮荷載作用，沒有支座位移的影響時（即在只考慮荷載作用，沒有支座位移的影響時（即c=0） ，故式故式(4.6)可簡化為可簡化為 duFdFMNQhd其中其中, ,微段的變形微段的變形d d 、 d dh h、 d du u均由實際狀態中的荷載引起。均由實際狀態中的荷載引起。(a) 實際狀態(b) 虛擬狀態FQMACsdBM1FQFNNFsdCFPABsdMPMPddsFQP

27、FQPNPFNPFddsud圖圖4.11 荷載引起的微段變形荷載引起的微段變形根據材料根據材料力學，有力學，有 則則線彈性線彈性結構在荷載作結構在荷載作用下的位移計用下的位移計算公式算公式為：為：PQPNPddsddsddsMEIFGAFuEAh(4.7) QQPNNPPdsdsdsF FF FMMEIGAEAD式中：式中：E E為材料的彈性模量；為材料的彈性模量；G G為剪切彈性模量；為剪切彈性模量；I I和和A A分別為截面的分別為截面的慣性矩和面積。慣性矩和面積。 式中式中, , 為反映剪應力沿截面高度不均勻分布的修正系數。為反映剪應力沿截面高度不均勻分布的修正系數。如對矩形截面如對矩形

28、截面, , =1.2;=1.2;對圓形截面對圓形截面, , =10/9;=10/9;薄壁圓環截面薄壁圓環截面, , =2;=2;工字型截面工字型截面, , = =A/AA/Aj j（A Aj j為腹板面積）為腹板面積） 。 虛擬狀態中由廣義虛單位荷載引起的虛內力；虛擬狀態中由廣義虛單位荷載引起的虛內力；F FNPNP、F FQPQP、M MP P 原結構由實際荷載引起的內力。原結構由實際荷載引起的內力。式（式（4.74.7）即為靜定結構在荷載作用下位移計算的一般公式。）即為靜定結構在荷載作用下位移計算的一般公式。 NQFFM、.1梁和剛架的位移計算梁和剛架的位移計算正負號規定正

29、負號規定：M MP P與與 同側受拉相乘為正，否則為負。同側受拉相乘為正，否則為負。MD D的方向確定：的方向確定：當當D D的計算結果為正時，其方向與單位力的計算結果為正時，其方向與單位力 指向相同；指向相同；D D為負時，其方向與單位力指向相反。為負時，其方向與單位力指向相反。(4.8) PdsMMEID由（由（4.74.7）式導出）式導出幾種典型結構的位移計算公式幾種典型結構的位移計算公式 1. 1. 梁和剛架梁和剛架 2. 2. 桁架桁架 EAlFFNPN3. 3. 組合結構組合結構 (4.7) QQPNNPPdsdsdsF FF FMMEIGAEADlsEIMMdEAlFFNPNCq

30、ABxl/2l/2CAB1x(b)(a)(2)(2)加相應單位力，求加相應單位力，求 M （0 x ）xM212/ l(3)(3)計算計算C CV V圖圖4.12 例例4.1圖圖2P()2qMlxx當當0 x2/ l /224PV02 152d( ) d()223 8 4ClCAM Mqxxlxxxq lE I E IE ID 【例【例4.14.1】求簡支梁在均布荷載】求簡支梁在均布荷載q q作用下跨中截面作用下跨中截面C C的豎向位移的豎向位移( (即即撓度撓度) )C CV V，已知抗彎剛度，已知抗彎剛度EIEI為常數。為常數。 【解】【解】(1)(1)建立建立x x坐標，求荷載作用下的坐

31、標，求荷載作用下的M MP PCqABxl/2l/2CAB1x(b)(a)/224PV02152d()d( )2 2384ClCAMMqxxlx x xqlEIEIEID考察剪切變形考察剪切變形對位移的影響。對位移的影響。由圖由圖(b)(b)可得，可得， )2(221SSxlqFF，則剪力對位移的影響為則剪力對位移的影響為 GAqlxxlqGAlC8d)2(22112220V設梁的截面為矩形，設梁的截面為矩形， =1.2=1.2，泊松比，泊松比v= v= 則則。于是有。于是有 122hAI3138)1 (2GE2VV)(56. 2lhCC101%56. 2VVCC當梁的高度為跨度的當梁的高度為

32、跨度的時，時， 因此對一般梁來說，可略去剪切變形對位移的影響。因此對一般梁來說，可略去剪切變形對位移的影響。但對深梁（但對深梁（hl/5hl/5）則不能忽略。）則不能忽略。 ABCqxxaaM1=0M =x(右)1M =1(上)=1(左)M(a)(b)(c)qaFFqaMPNPQP, 0,212AB桿 BC桿 0,212PNPQPFqxFqxM圖圖4.13 例例4.2圖圖【例【例4.24.2】試求圖示剛架中截面試求圖示剛架中截面C C 豎向位移豎向位移CVCV 。設各桿。設各桿EIEI為常數。為常數?！窘狻俊窘狻?1)(1)先建立各桿的先建立各桿的x x坐標，各桿內力方程為坐標，各桿內力方程為

33、(2)(2)計算計算CV 加相應單位力，并求各桿內力加相應單位力，并求各桿內力 BC桿桿 0, 1,NQFFxM1, 0,NQFFaMAB桿桿 由式由式(4.7) (4.7) 得得DdsEAFFdsGAFFdsEIMMNNPQQPP)58541 (85285)(1(12121224224000202AaIGAaEIEIqaEAqaGAqaEIqadxEAqadxGAqxEIdxqaaEIdxqxxaaaa 上式中，第一項為彎矩的影響，后兩項分別為剪上式中，第一項為彎矩的影響，后兩項分別為剪力和軸力的影響。設為矩形截面力和軸力的影響。設為矩形截面( (b bh h) )，則，則A A = =bh

34、bh，I I= =bhbh3 3/12/12， =6/5=6/5，帶入上式，帶入上式，得得D224C)(152)(252185ahahGEEIqaV)750150011 (854CDEIqaV 即即剪力和軸力的影響非常小剪力和軸力的影響非常小。故用公式。故用公式(4.8)(4.8)計算梁計算梁和剛架的位移已足夠精確。和剛架的位移已足夠精確。若取若取 ， ，可算得，可算得101ahEG4 . 0可以看出，高跨比可以看出，高跨比 h/ah/a 愈大，則剪力和軸力所占比例愈大。愈大，則剪力和軸力所占比例愈大?！? *例例4.24.2】 求圖求圖(a)(a)所示剛架所示剛架上點上點C C 的水平位移的

35、水平位移C CH H和截面和截面C C 的轉角。已知各桿的彎曲剛的轉角。已知各桿的彎曲剛度度EIEI為常數。為常數。 C【解解】1 1）求點）求點C C的水平位移的水平位移C CH H。虛。虛擬力狀態如圖擬力狀態如圖4.12(b)4.12(b)所示。兩種狀所示。兩種狀態的內力分別為態的內力分別為2210qxMM， 橫梁橫梁BC：221qlMxM， 豎柱豎柱AB：(b)（）EIqlxqlxEIxEIMMllC4d)21(1d402H代入式代入式 得點得點C的水平位移為的水平位移為 sEIMMlKd 計算結果為負，表明計算結果為負，表明C CH H的方向與所設單位力的方向相反，的方向與所設單位力的

36、方向相反，即即C CH H向右。向右。 豎柱豎柱AB： 2211qlMM， 橫梁橫梁BC： 2211qxMM，2 2）求截面）求截面C C的轉角的轉角 。虛擬力狀態如圖。虛擬力狀態如圖4.12(c)4.12(c)所示。所示。兩種狀態的內力分別為兩種狀態的內力分別為 C(c)llCxqxEIxqlEI0022d)21(11d)21(11EIql323代入式代入式 得截面得截面C的轉角為的轉角為 sEIMMlKd 計算結果為正，表明計算結果為正，表明 的轉向與所設單位力偶的轉向與所設單位力偶的轉向相同，即的轉向相同，即 順時針轉向。順時針轉向。 CC【解解】實際位移狀態中，與實際位移狀態中，與OB

37、OB成角成角 的的C C截面上圖截面上圖(b)(b)，各內力分量為，各內力分量為 M=Frsin ， FS=Fcos ， FN=Fsin （a） 虛擬力狀態如圖虛擬力狀態如圖(c)(c)所示，與所示，與OBOB成角成角 的的C C截面上的各內力分量為截面上的各內力分量為 又由于又由于ds=rd ，利用，利用式式 sEIMMsGAFFsEAFFlllKd dd dd dS SS SN NN NsinrM sinNF（b） cossF【例例4.34.3】 求圖示圓弧曲桿上點求圖示圓弧曲桿上點B B的豎向的豎向位移位移B BV V。不計曲率的影響，已知桿的截。不計曲率的影響，已知桿的截面積面積A A

38、和慣性矩和慣性矩I I均為常量。均為常量。 上式中最后一項是軸向變形和剪切變形對位移的影響，上式中最后一項是軸向變形和剪切變形對位移的影響，當截面高度當截面高度h h遠小于半徑遠小于半徑r r時，該項可以忽略不計，只剩下時，該項可以忽略不計，只剩下彎曲變形的影響。彎曲變形的影響。 設桿的截面為矩形（設桿的截面為矩形（ =1.2=1.2），寬度為），寬度為b b、高度為、高度為h h，并設材料的彈性常數之間的關系為并設材料的彈性常數之間的關系為G G=0.4=0.4E E，則有，則有 )(311 423VrhEIFrB（） )(4dsindcosdsin32023202202VEIFrGAFrE

39、AFrEIFrGAFrEAFrB 計算結果為正，表示計算結果為正，表示B BV V的方向與所設單位力的方向的方向與所設單位力的方向相同，即相同，即B BV V向下。向下。 .2桁架的位移計算桁架的位移計算 在結點荷載作用下，桁架中各桿只有軸力，且同一桿件的在結點荷載作用下，桁架中各桿只有軸力，且同一桿件的F FNPNP、NF及及EAEA沿桿長沿桿長l l均為常數，故式均為常數，故式(4.7)(4.7)化簡為：化簡為： F FNPNP：荷載引起的桁架軸力。受拉為正，受壓為負。：荷載引起的桁架軸力。受拉為正，受壓為負。NNPNNPNNPdsdsF FF FF FlEAEAEAD(4

40、.9) ：單位力引起的桁架軸力。受拉為正，受壓為負。：單位力引起的桁架軸力。受拉為正，受壓為負。NF注意：注意：當要求桁架中某桿的角當要求桁架中某桿的角位移時，不能直接在桿上位移時，不能直接在桿上 施加單位力偶，而應將其轉施加單位力偶，而應將其轉換為等效的結點集中荷載。換為等效的結點集中荷載。 1d1ddACB 如求如求BCBC桿的角位移桿的角位移時的單位力偶設置方法時的單位力偶設置方法 。圖圖4.16 求桁桿轉角時的虛擬狀態求桁桿轉角時的虛擬狀態【例【例4.44.4】試求圖示桁架中結點】試求圖示桁架中結點5 5的撓度的撓度 5V5V。設各桿的橫截面。設各桿的橫截面面積均為面積均為A A=14

41、4cm=144cm2 2，彈性模量，彈性模量E E=850kN/cm=850kN/cm2 2。 8F(a)NP圖(kN)50-401802m8022m520kN-205-20340kN054052m4062m200-2054-20720kN0(b)NF 圖/2-1m11m50111/2- 50-0/251/215-【解】【解】 (1) (1) 求各桿軸力求各桿軸力F FNPNP并標于圖并標于圖(a)(a)中桿旁。中桿旁。 (3)(3)計算位移計算位移當桿件較多時，最好列表進行。當桿件較多時，最好列表進行。 圖圖4.15 例例4.4圖圖(2) (2) 在結點在結點5 5處加豎向單位力，如圖處加豎

42、向單位力，如圖(b)(b)所示，求出軸力所示，求出軸力 并標于桿旁。并標于桿旁。 NF)(8 . 80088. 014485052052505DmmmEAlFFNPNVNF555555250桿件桿件FNP(kN)l(m)上上弦弦13344778下下弦弦1280121602580121605640128068401280豎豎桿桿23001045201240670010斜斜桿桿350057000 +5205- -205- -405- -205- -205- -2055- -/25- -/25- -/25- -/2NFFNPl(kNm)5100550550550【解解】 虛擬力狀態如圖（虛擬力狀態如

43、圖（b）所示。為清楚起見，將）所示。為清楚起見，將兩種狀態中各桿的內力列于表兩種狀態中各桿的內力列于表4.2中。中。 【*例例4.4】 求圖求圖(a)所示桁架中桿所示桁架中桿BC的角位移的角位移 。各。各桿的截面面積如圖所示，材料的彈性模量均為桿的截面面積如圖所示，材料的彈性模量均為E。 BC表表4.2 4.2 例例4.54.5計算表計算表 桿桿 件件桿長桿長l/mm截面積截面積A/mm2FNFNFNFNl/AAC28282000-0.354-0.707F0.354FBC282820000-0.707F0AD20001000+0.250+0.500F0.25FBD20001000+0.250+

44、0.500F0.25FCD20001000000利用式利用式 可得桿可得桿BC的角位移為的角位移為 EAlFFKNN 計算結果為正，表示計算結果為正，表示BCBC的轉向與所設的轉向與所設單位力偶的轉向相同，即單位力偶的轉向相同，即BCBC逆時針轉向。逆時針轉向。 EFEAlFFBC854. 0NN4.4.3 4.4.3 組合結構的位移計算組合結構的位移計算EAlFFdsEIMMNPNP桁梁D(4.10)4.4.4 4.4.4 拱結構的位移計算拱結構的位移計算 一般拱的位移計算只要考慮彎曲變形的影響已足夠精確，一般拱的位移計算只要考慮彎曲變形的影響已足夠精確，即按式即按式(4.8)(4.8)計算

45、。計算。f5l扁平拱扁平拱 需同時考慮彎曲變形和軸向變形的影響，即需同時考慮彎曲變形和軸向變形的影響，即 DdsEAlFFdsEIMMNPNP復習復習: :4.14.4 習題習題: :4.3(b),4.5 預習預習: :4.5計算梁和剛架在荷載作用下的位移時，常需利用公式（計算梁和剛架在荷載作用下的位移時，常需利用公式（4.84.8） 1)1)簡化的條件（適用條件）簡化的條件（適用條件）桿段的桿段的EIEI為常數；為常數；桿段的軸線為直線；桿段的軸線為直線； 桿段的桿段的 圖和圖和M MP P圖中至少有一個為直線圖形。圖中至少有一個為直線圖形。MdsEIMMPD該公式在一定條件下可簡化計算。該

46、公式在一定條件下可簡化計算。2)2)簡化方法簡化方法DsEIMMdP(a)CAxAxd(b)xMMEId1P)d)(tan(1AxEIAxEIdtan將式（將式（b b）代入（）代入（a a），有），有 EIxAAxEIsEIMMCC)tan()(tandPEIAyCBA圖AOxyCxCBMdxMx圖y形心AdMPCMP圖圖4.17 圖乘法圖乘法EIAysEIMMCdP(4.11)故有式中，式中，A A 一個一個彎矩圖的面積彎矩圖的面積；y yC C 另一個另一個直線彎矩圖直線彎矩圖中與中與A A 圖的形心對應的縱標圖的形心對應的縱標。對于對于EIEI為分段常數的桿，應當分別對為分段常數的桿，

47、應當分別對EIEI等于常數的各段等于常數的各段圖乘，然后疊加起來。圖乘，然后疊加起來。M當當MP是曲線圖形是曲線圖形,而而 是折線是折線圖時圖時,應當分段圖乘。如圖所示：應當分段圖乘。如圖所示：CyA11Cy2A2圖M圖MPCy1A1圖M2yCM 圖P2AEI12EI(a)(b)CyA11Cy2A2圖M圖MPCy1A1圖M2yCM 圖P2AEI12EI(a)(b)222111111cccyAEIyAEIAyEID112212111CCCAyAyA yEIEIEI圖圖4.18 分段圖乘分段圖乘3)3)幾點說明幾點說明 必須符合圖乘法的適用條件。必須符合圖乘法的適用條件。 A A與與y yC C應

48、取自不同的圖形。它們位于桿件的同側時應取自不同的圖形。它們位于桿件的同側時相乘為正，否則為負。相乘為正，否則為負。取取y yC C的圖形必須是直線圖，不能是折線圖或曲線圖。的圖形必須是直線圖，不能是折線圖或曲線圖。PMM若若 與與 均為直線圖，則從任一圖中取均為直線圖，則從任一圖中取y yC C（另一（另一圖則取圖則取A A）均可。）均可。記住以下常見圖形的面積及其形心位置。記住以下常見圖形的面積及其形心位置。1=Alh3l/4l/43l 4 /5/5l14三次拋物線A=lh二次拋物線2=Alh3(a)(b)(c)(d)(e)(f)l12/3A=lhhhhhhhll/32/3(l+a)/3+

49、)bl (l=A2lh1abl/2/2l頂點llll頂點頂點頂點=A3lh2二次拋物線l/853 /8l二次拋物線圖圖4.19 常見彎矩圖形的面積及其形心位置常見彎矩圖形的面積及其形心位置5l當取當取A A的圖形較復雜時，應將其分解為簡單圖形，再分別的圖形較復雜時，應將其分解為簡單圖形，再分別圖乘后疊加起來。圖乘后疊加起來。ababA12A1yCCy2yCA21yCCyyCaAb2abA1A圖圖4.20 分解面積分解面積圖圖4.21 分解面積分解面積AyC=A1yC1A2yC2AyC=A1yC1A2yC2abql8212ql81ab2Cy1AA23ACy31yC(a)(b)(c)(d)PM 圖

50、M 圖圖圖4.22 分解面積分解面積AyCA1yC1+A2yC2-A3yC3復雜圖形分解為簡單圖形復雜圖形分解為簡單圖形 (1) 若彎矩圖為梯形若彎矩圖為梯形 ，可以把它分解為二個三角形，則有，可以把它分解為二個三角形，則有 )12211CCyAyAEI（ A2A1C2C1A2A1C2C1)12211CCyAyAEI（cdbldcalEI3132213132211= )22(6bcadbdacEIlD(2)(2)若兩個圖形都是直線，但都含有不同符號的兩部分，若兩個圖形都是直線，但都含有不同符號的兩部分，如圖所示，可將其中一個圖形分解為如圖所示，可將其中一個圖形分解為ABDABD和和ABCABC

51、兩個三角形，兩個三角形，分別與另一個圖形圖乘并求和，即分別與另一個圖形圖乘并求和，即 )12211CCyAyAEI（cdbldcalEI3132213132211= A2A1C1圖MM圖圖ACDBC1C2yC2yC1)22(6bcadbdacEIlD(3)(3)若若M M 圖是由豎向均布荷載和桿端彎矩所引起的，如圖圖是由豎向均布荷載和桿端彎矩所引起的，如圖(a)(a)所所示，可把它分解為一個梯形圖示，可把它分解為一個梯形圖(b)(b)和一個拋物線形圖和一個拋物線形圖(c)(c)兩部分，再將上述兩圖形分別與兩部分，再將上述兩圖形分別與 圖相圖乘并求和。圖相圖乘并求和。 MABABqaABCDdx

52、dxaqABMBMA82ql82ql 圖圖4.20(a)4.20(a)、(b)(b)所示所示M M 圖是由豎向均布荷載和桿圖是由豎向均布荷載和桿端彎矩所引起的另外兩種端彎矩所引起的另外兩種情況情況, ,它們可分別分解為三它們可分別分解為三角形角形( (或梯形或梯形) )和拋物線形。和拋物線形。 圖圖4.20 （4）分段圖乘）分段圖乘 圖圖4.21 A1C2C1A2A1C2C3A2A1C2C1C1A3ACqB/2l/2l1ql28111/4l(a)(b)圖MP(c)圖M(d)圖M 【解】先作【解】先作M MP P圖，如圖圖，如圖(b)(b)所示。所示。 (1) 求求AACqB/2l/2l1ql2

53、8111/4l(a)(b)圖MP(c)圖M(d)圖MACqB/2l/2l1ql28111/4l(a)(b)圖MP(c)圖M(d)圖MACqB/2l/2l1ql28111/4l(a)(b)圖MP(c)圖M(d)圖M(2) (2) 求求C CV V )(EIqllqlEIA2421)8132(132（ ）圖圖4.23 例例4.5圖圖42V121552() ()38284384CllqlqlEIEID4)4)計算步驟計算步驟作實際荷載彎矩圖作實際荷載彎矩圖M MP P圖；圖；建立相應虛設狀態建立相應虛設狀態, ,作單位彎矩圖作單位彎矩圖 圖；圖； M【例【例4.54.5】求圖示簡支梁】求圖示簡支梁A

54、 A端的端的轉角轉角 及跨中截面及跨中截面C C的撓度的撓度CVCV。EIEI為常數。為常數。 A用圖乘法公式（用圖乘法公式（4-114-11） 求位移。求位移。CAyEI【* *例例4.54.5】求圖求圖(a)(a)所示簡所示簡支梁中點支梁中點C C 的豎向位移的豎向位移C CV V和和B B端截面的轉角端截面的轉角 。已。已知梁的知梁的EIEI為常數。為常數。 B【解解】 繪出在荷載作用繪出在荷載作用下的下的M M圖圖（圖圖（b b）。在）。在點點C C虛加一豎向單位力虛加一豎向單位力: : 1FA1A21M繪出繪出 圖圖（圖圖（c c）。兩圖分段圖乘后相加，得）。兩圖分段圖乘后相加，得

55、EIFllFllEIC4826)4221(13V() 計算結果為正，表示計算結果為正，表示CVCV的方向與所設單位力的方向的方向與所設單位力的方向相同，即相同，即CVCV向下。向下。A1A2 為了求為了求B B截面的轉角，截面的轉角，在在B B 截面虛加一單位力偶截面虛加一單位力偶 繪出圖繪出圖 圖（圖（d d）。）。將將M M圖與圖圖與圖 相乘，得相乘，得 1eM2M2MEIFlFllEIB1621)421(12 計算結果為負，表明計算結果為負，表明 的轉向與所設單位力偶的轉向的轉向與所設單位力偶的轉向相反，即相反，即 逆時針轉向。逆時針轉向。 BB【* * *例例4.54.5】求圖求圖(a

56、)(a)所示外伸梁上所示外伸梁上點點C C豎向位移豎向位移C CV V。已知梁。已知梁EIEI為常數。為常數。 【解解】在在C C點虛加豎向單位力點虛加豎向單位力 =1=1，繪出繪出M M圖和圖和 圖，分別如圖圖，分別如圖(b)(b)、(c)(c)所示。所示。ABAB段的段的M M圖可以分解為一個三角圖可以分解為一個三角形和一個標準拋物線形；形和一個標準拋物線形；BCBC段的段的M M圖則圖則為一個標準拋物線形。為一個標準拋物線形。M M圖中各分面積圖中各分面積與相應的與相應的 圖中的豎標分別為圖中的豎標分別為 FMM A3C3A1C1A2C28324348823142211283232321

57、6821332323221321llyqlqllAllyqlqllAllyqlqllACCC，代入圖乘公式得代入圖乘公式得C C點的豎向位移為點的豎向位移為 EIqllqllqllqlEIC1288348)4(1231614333V（） 計算結果為正，計算結果為正，表示表示C CV V的方向與所的方向與所設單位力的方向相同，設單位力的方向相同，即即C CV V向下。向下。 【例【例4.64.6】求圖示結構中】求圖示結構中C C點的豎向位移點的豎向位移C CV V。EIEI為常數。為常數。llBqC1EI2EIAql22ql31ql82A13AA2ABCll2l32lll(b)PM 圖(c)圖M

58、(a)ABC3qlB1A22812qlC22ql3CBA1BCql1822AllBqC1EI2EIAql22ql31ql82A13AA2ABCll2l32lll(b)PM 圖(c)圖M(a)ABCllBqC1EI2EIAql22ql31ql82A13AA2ABCll2l32lll(b)PM 圖(c)圖M(a)ABC 【解解】圖圖4.24 例例4.6圖圖圖圖4.25 BC桿彎矩圖的分解桿彎矩圖的分解V112233112CCCCA yA yA yEIEID222411322113832223382248lqlllqllqlllqlEIEIEI )(EIqlllqlqllEAB4)22023(142

59、2H() 計算結果為計算結果為正，表示正，表示B BH H的的方向與所設單位方向與所設單位力的方向相同，力的方向相同，即即B BH H向右。向右。 C1C2A2【*例例4.64.6】 求圖求圖(a)(a)所示剛架上點所示剛架上點B B的水平位移的水平位移B BH H 。已知各桿的。已知各桿的EIEI為常數。為常數。 解：作剛架解：作剛架M M圖；為求圖；為求B BH H ，在點，在點B B虛加一水虛加一水平單位力平單位力 =1=1，繪出圖，繪出圖 ，如圖，如圖(b)(d)(b)(d)所示。將所示。將M M圖和圖和 圖分段圖乘后相加，得圖分段圖乘后相加，得 2M2MF復習復習: :4.14.4

60、習題習題: :4.7(b),4.9 預習預習: :例例4.79例例4.64.6 試求圖示結構試求圖示結構A A點的豎向位移。點的豎向位移。aBAEI例例4.6”4.6” 試求圖示結構試求圖示結構B B點的水平位點的水平位移。移。)(2454 D DEIqaAV22qa82qaa圖圖PM圖圖KMP=1） D D(3284EIqaBH24qaa2a22qa圖圖KM圖圖PMP=1qqaaaaEIEIEIAB【* * *例例4.64.6】試求圖示三鉸剛架試求圖示三鉸剛架c c鉸左右兩截面的相對角位移鉸左右兩截面的相對角位移 ， EI= EI=常數。常數。 c解：解：1 1）建立虛設狀態，）建立虛設狀態