1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 第九章 習題課習題課一、一、 根本概念根本概念 二、多元函數微分法二、多元函數微分法 三、多元函數微分法的運用三、多元函數微分法的運用 多元函數微分法多元函數微分法目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、 根本概念根本概念延續性 偏導數存在 方導游數存在可微性1. 多元函數的定義、極限 、延續 定義域及對應規律 判別極限不存在及求極限的方法 函數的延續性及其性質2. 幾個根本概念的關系目錄 上頁 下頁 返回 結束 思索與練習思索與練習1. 討論二重極限討論二重極限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令令, xky 01lim0

2、kkxx原式解法解法3 令令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式時, 以下算法能否正確?目錄 上頁 下頁 返回 結束 分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式此法第一步排除了沿坐標軸趨于原點的情況, 此法排除了沿曲線趨于原點的情況. 時例如xxy21lim2230 xxxx原式此時極限為 1 .第二步 未思索分母變化的一切情況, , 1,111xyxxy時例如目錄 上頁 下頁 返回 結束 解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式此法忽略了 的恣意性,時當4,

3、 0r)sin(2sincossincossincos4rr極限不存在 !由以上分析可見, 三種解法都不對, 由于都不能保證自變量在定義域內以恣意方式趨于原點 .特別要留意, 在某些情況下可以利用極坐標求極限, 但要留意在定義域內 r , 的變化應該是恣意的. 同時還可看到, 此題極限實踐上不存在 .目錄 上頁 下頁 返回 結束 0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故 f 在 (0,0) 延續;, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0

4、(yxff所以知在點(0,0) 處延續且偏導數存在 , 但不可微 . 2. 證明證明:目錄 上頁 下頁 返回 結束 而)0 , 0(f,00時，當yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在點(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 知知求出 的表達式. ),(yxf解法解法1 令令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解法解法2 )()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下與解法1 一樣., )(),(22yxyxyxyx

5、f,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,那么xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、多元函數微分法二、多元函數微分法顯示構造隱式構造1. 分析復合構造(畫變量關系圖)自變量個數 = 變量總個數 方程總個數自變量與因變量由所求對象斷定2. 正確運用求導法那么“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導留意正確運用求導符號3. 利用一階微分方式不變性目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 設設其中 f 與F分別具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導, 得得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23F

6、Ffx 1 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一階導數或偏導數, 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(2019 考研)目錄 上頁 下頁 返回 結束 解法解法2 0),(, )(zyxFyxfxz方程兩邊求微分, 得化簡消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3.3.設設),(zyxfu 有二階延續偏導數, 且,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu

7、解解:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx1cos tyx 1yx 1 32f目錄 上頁 下頁 返回 結束 練習題練習題1. 設函數 f 二階延續可微, 求以下函數的二階偏導數.2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz2. P130 題12目錄 上頁 下頁 返回 結束 解答提示解答提示: )() 1 (2xyfxz : )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2x

8、yfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22第 1 題目錄 上頁 下頁 返回 結束 2222fxyyxz) (2xy21f 2222fxy : ),()3(2xyxfz 22fxyyz目錄 上頁 下頁 返回 結束 xvuxuvP130 題12 設求,sine,cosevuzvyvxuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sine,cosevyvxuu得由,vuz vvuvxuudsinedcosed提示提示:vvuvyuudcosedsinedyvuyuvyz利用行列式解出 du, dv ：目錄 上頁

9、下頁 返回 結束 vvvvvyvxuuuuuuucosesinesinecosecosedsineddxuyxdd vucosevusineyu代入即得 ;xzxvyxvdddvusinevucoseyvxvxu及將代入即得 .yzyvyu及將目錄 上頁 下頁 返回 結束 t dttyxzxxyx0sine, 2e),(zyxfu 有延續的一階偏導數 , )(xyy 及)(xzz 分別由下兩式確定求.ddxu又函數答案答案:321)sin()(e1ddfzxzxfxyfxux( 2019考研 3. 設設目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、多元函數微分法的運用三、多元函數微分法的運用1.1.在幾何

10、中的運用在幾何中的運用求曲線在切線及法平面 (關鍵: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法線 (關鍵: 抓住法向量) 2. 極值與最值問題極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數法) 求解最值問題3. 在微分方程變形等中的運用在微分方程變形等中的運用 最小二乘法目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4.4.在第一卦限作橢球面在第一卦限作橢球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小, 并求切點. 解解: 設設, 1),(222222czbyaxzyxF切點為),(000zyxM那么切平面的法向量為,220ax,220by202c

11、zM即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby)(2020 xxax),(zyxFFFn 目錄 上頁 下頁 返回 結束 問題歸結為求222222zcybxas在條件1222222czbyax下的條件極值問題 .設拉格朗日函數222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx切平面在三坐標軸上的截距為,02xa,02yb02zc目錄 上頁 下頁 返回 結束 222222zcybxaF1222222czbyax令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222czzczcFz

12、1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由實踐意義可知cbacccbabbcbaaaM,為所求切點 .獨一駐點目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5.22yxz求旋轉拋物面與平面之間的最短間隔.解解: 設設2261zyxd為拋物面上任一點，那么 P ),(zyxP22yxz的間隔為022zyx問題歸結為(min)22(2zyx約束條件:022zyx目的函數:22 zyx作拉氏函數)()22(),(222yxzzyxzyxF到平面目錄 上頁 下頁 返回 結束 )()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程組得獨一駐點02)22(2yz

13、yxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由實踐意義最小值存在 ,241414161mind647故目錄 上頁 下頁 返回 結束 上求一點 , 使該點處的法線垂直于練習題：練習題：1. 在曲面在曲面yxz ,093zyx并寫出該法線方程 .提示提示: 設所求點為設所求點為, ),(000zyx那么法線方程為000zzyyxx利用113100 xy得3,1,3000zyx平面0y0 x1000yxz 法線垂直于平面點在曲面上目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 在第一卦限內作橢球面在第一卦限內作橢球面1222222czbyax的切平面使與三坐標面圍成的四面體體積最小,并求此體積

14、.提示提示: 設切點為設切點為, ),(000zyx) 1(222222czbyaxzyxF用拉格朗日乘數法可求出. ),(000zyx那么切平面為所指四面體體積1202020czzbyyaxx00022261zyxcbaV V 最小等價于最小等價于 f ( x, y, z ) = x y z 最大最大, 故取拉格朗日函數 例4 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 設設),(),(yxyxf均可微, 且在約束條件(x, y) 0下的一個極值點, 0),(,0),()(0000yxfyxfAyx則若, 0),(yxy知 (x0, y0) 是 f (x, y)以下選項正確的選項是( ) 0),(,0),()(0000yxfyxfByx