1、2020屆廣東省潮州市高三上學期期末數學（理）試題一、單選題1 .若 P xx 1 , Q xx 1,則（）A.P QB.Q PC.CRPQD.QCRP【答案】D【解析】利用集合的補集的定義求出P的補集；利用子集的定義判斷出Q .P .【詳解】解：Q P x|x 1,，P x|xf,QQ x|x 1,Q 釬，故選：D .【點睛】本題考查利用集合的交集、補集、并集定義求交集、補集、并集；利用集合包含關系的 定義判斷集合的包含關系.2 . 是虛數單位，復數”為純虛數，則實數卜為（）3 .已知函數f x-一翌，若f f 02x4 ,則 log6 a ()A. 1B, 22【答案】CC. 1D. 6【

2、解析】首先計算出 f 0 ,再根據f f 0 的值求出a ,即可得解.解：Q f x2.x ax 12f 01,一 一一 一 .1 a 1., f f 0 f 1 4,解得 a 6.于是，log6 a 12故選：C【點睛】 本題考查實數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意分段函數的性質的合理運 用.4 .“數列an既是等差數列又是等比數列”是“數列 a是常數列”的（）.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】數列 an既是等差數列又是等比數列，則可知an是常數列，所以充分性成立；若an是an 0常數列，則 an不是等比數列，所以必要性不成

3、立，所以“數列 an既是等差數列又是等比數列”是“數列an是常數列”的充分不必要條件，故選Aor x b5 .函數f x T的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（）x cA. b 0,c 0 b. b 0,c 0c. b 0,c 0d. b 0,c 0【答案】C【解析】根據定義域及特殊點可判斷.【詳解】£ x bb解： f x 2的圖象與y軸交于M ,且點M的縱坐標為正，y : 0,x ccx b故b 0, Q f x T定義域為 x|x cx c其函數圖象間斷的橫坐標為正，c 0,故c 0.故選：C本題考查函數圖象的識別，考查數形結合思想，屬于基礎題6.現有10個數，它們能成一個以

4、1為首項，3為公比的等比數列，若從這個 10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是()A,1B, 3C. 1D. 210525【答案】B【解析】先由題意寫出成等比數列的10個數，然后找出小于 8的項的個數，代入古典概率的計算公式即可求解【詳解】解：由題意an3 n1成等比數列的10個數為：1, 3, ( 3)2, ( 3)3 ( 3)9其中小于8的項有：1,3, (3)3,(3)5,(3)7,(3)9共6個數這10個數中隨機抽取一個數，_63則它小于8的概率是P -10 5故選：C .【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式及古典概率的計算公式的應用，屬于基礎試題7,在四邊形ABCD中，AC

5、 1,2 ,bD 4,2，則該四邊形的面積為()A. ,5B, 2、5C. 5D. 10【答案】C【解析】注意到兩向量的縱坐標都為2,所以借助坐標系如圖，1 uur uuu ，一一，一一S (1 4)*2 5 .或者注意到 AC BD 0分為四個小直角二角形算面積.2【考點定位】本題的處理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的轉化還是屬于 容易題.8.若實數x, y滿足1 x y 1，則2x y的最大值和最小值分別為()1 x y 1A. 1, 1B. 2, 2C. 1, 2D, 2, 1【解析】由不等式組作出可行域，令z 2x y,數形結合求出z的最大值和最小值.解：由作可行域如圖,令

6、z 2x y ,貝U y 2x z ,由圖可知，當y 2x z過A(1,0)時，截距z最大，最大值為z 2 1 0 2;當y 2x z過C( 1,0)時，截距z最小，最小值為z 2 1 02 .2x y的最大值和最小值分別為 2, 2.故選：B .【點睛】本題考查線性規劃問題， 數形結合是數學思想的重要手段之一，是連接代數和幾何的重第4頁共17頁要方法.屬于中檔題.9.設an是任意等比數列，它的前 n項和，前2n項和與前3n項和分別為X,Y,Z,則下列等式中恒成立的是A.XZ 2YB.Y Y XZ ZXC. Y2XZD.Y Y XX ZX【答案】D【解析】本題主要考查等比數列的性質：等比數列連

7、續n項之和仍為等比數列。即X,Y X,Z Y成等比數列，則由等比中項的性質有（Y X）2 X（Z Y）整理得D選項。10 .已知雙曲線相一b： = 1（a>0, b>0）的左頂點與拋物線 y2=2px（p>0）的焦點的距離為4, 且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（一2, 1）,則雙曲線的焦距為（）A.赤 B . 2<3 C . 4京 D . 41三【答案】A【解析】解：根據題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為（-2,-1）,即點（-2, -1）在拋物線的準線上，又由拋物線 y2=2px的準線方程為x="-p" 2,則p=4

8、, 則拋物線的焦點為（2, 0）;則雙曲線的左頂點為（-2, 0）,即a=2;點（-2 , -1 ）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y=± 1 2 x ,由雙曲線的性質，可得 b=1;貝U c=" 5",則焦距為2c=2后； 故選A.2一x2x, x 011 .已知函數f（x）=右|f（x）| >ax,則a的取值氾圍是（）ln（x 1）,x 0A. (8, 0C. -2,1B.(巴 1D. 2,0由 |f(x)| >ax 得，x2-2x>ax,整理【解析】當xW0時，f （x） = x2+2xW 0恒成立,得 x2(2+a)x>0,由于

9、 g(x) =x2(2+a)x>0 恒成立,因為g(0)=0,所以(2a)>0,解得a>- 2, 2同時滿足以上兩個條件一x>0 時，由于 |f(x)|>0 ,若|f(x)| >ax 恒成立，滿足 ax<0,2w a< 0.12 .三棱錐P ABC中，PA 平面ABCABC 30APC的面積為2,則三ABC的外接球體積的最小值為（D.絲3A,上3【答案】由題意畫出圖形，設 AC x,由APC的面積為 42,得PA 一,再由xABC解：如圖，設AC x,由 APC的面積為2,得PAABC 30 ,三角形ABC外接圓的半徑r xQ PA 平面ABC,

10、 PAO到平面ABC的距離為4x1 2d PA 2 x '設球O的半徑為R ,則R, r2 d2x2-2 22,當且僅當x應時“ ”成立.三棱錐P ABC的外接球體積的最小值為2332330 ,得三角形ABC外接圓的半徑r x,求出球心到平面 ABC的距離，再由勾股定理可得外接球的半徑，利用基本不等式求得最小值，代入球的體積公式求解.屬于中檔題.本題考查了棱錐與球的位置關系，考查正弦定理的應用,二、填空題13 .曲線y = x（3ln x +1）在點（1,1）處的切線的斜率為【答案】4【解析】先求導函數，利用導數的幾何意義，求出在點(1,1)處的切線的斜率.【詳解】y = x (3ln

11、x+1)的導函數為： y' =3lnx+4,當 x= 1 時，y' = 4,曲線y = x (3lnx+1)在點(1, 1)處的切線的斜率為：4.故答案為：4.【點睛】本題考查導數的幾何意義的應用，屬于基礎題.114 .已知an為等差數列，Sn為其前n項和，若a2 ,S2a3,則S7 【答案】14【解析】設公差為 d ,根據S2 a3求出公差，即可求出其前 n項和公式，代入求解即可.1解：設公差為d , Q S2 a3則2a d a1 2d ,把a1 一代入得d 21-n2 Sn1n n 1 ,4故S714sin5sin x ,并求出cos和sin ,由條件和正弦函數的最值列出

12、方程,求出的表達式，由誘導公式求故答案為：14本題考查等差數列通項公式以及前n項和公式，屬于基礎題.15 .函數y 3sinx 4cosx在x處取得最大值，則【解析】利用輔助角公式、兩角差的正弦公式化簡解析式:出sin 的值.丘力c .3.解：y 3sin x 4cos x 5 sin x54一 cosx55sin,其中cos4sin 一52k ,k Z 2依題意可得5sin5 ,即sin1,3所以 sin sin 2k cos 一253故答案為：35【點睛】 本題主要考查輔助角公式、誘導公式，以及正弦函數的最大值的應用，考查化簡、變形能力.16 .已知圓O：x2 y2 1和點A 2,0 ,若

13、定點B b,0 b 2和常數 滿足，對圓O上任意一點M ,都有MB MA,則 .【答案】-2【解析】設 M (cos ,sin )，則(cos b)2 sin22(cos2)2 sin2 ，則2bcosb2 1 4 2 cos 5 2對任意 都成立，由此能求出 、b .【詳解】解：Q圓O:x2 y2 1和點A( 2,0),定點B(b, 0)(b2)和常數 滿足：對圓。上任意一點，都有|MB| |MA|,設 M(cos ,sin )，則(cos b)2 sin22(cos2)2 sin2 ,2222bcos b 1 4 cos 5 對任息 都成立，2b 4 2b2 1 5 2 由 |MB| |M

14、A|,得 0,且 b 2,11解得b 11. 22,1故答案為：1 2【點睛】本題考查實數值的求法，考查圓、兩點間距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運 算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，屬于中檔題.、解答題317.設 ABC的內角A, B,C的對邊分別為a,b,c,且acosB -bsin A 3 4(1)求邊長a的值；(2)若 ABC的面積S 10,求 ABC的周長L.【答案】(1)5(2)10 2/5【解析】(1)由圖及已知作 CD垂直于AB ,在直角三角形 BDC中求BC的長.(2)由面積公式解出邊長 c,再由余弦定理解出邊長 b,求三邊的和即周長.【詳解】解：解：(1

15、) Q acosB bsin A 34bsin A 4過 C作 CD AB 于 D,則由 CD bsin A 4 , BD acosB 3在 Rt BCD 中，a BC JbD2CD2 511(2)由面積公式得 S - AB CD - AB 4 10得AB 5,3又 a cos B 3 ,得 cos B ,5由余弦定理得：b 括一c2 2accosB 卜5 25 2 25 | 2J5,ABC的周長l 5 5 2屈10 2岳.【點睛】本題主要考查了射影定理及余弦定理，考查運算能力，屬于中檔題.18.如圖，直三棱柱 ABCAB1C1中，D,E分別是AB,BBi的中點,AA AC CB -2 AB2

16、(1)證明：BC1P平面ACD；(2)求二面角D AC E的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 叵3【解析】(1)連接ACi交AiC于點F ,由三角形中位線定理得 BC"/DF ,由此能證明 BC1 / /平面 ACD .(2)以C為坐標原點，CA的方向為X軸正方向，CB的方向為y軸正方向，CC1的方 向為Z軸正方向，建立空間直角坐標系C xyz.分別求出平面 ACD的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角D AC E的余弦值.【詳解】證明：證明：連接 AG交A1C于點F ,則F為AC1的中點.又d是AB的中點，連接 DF ,則 BC1 /DF .因為DF 平面ACD

17、 , BC1 /平面ACD ,所以BC"/平面ACD .(2)由 AA AC CB -AB 金,可得：AB 2,即 AC2 BC2 AB2 2所以AC BC又因為ABC A1B1C1直棱柱，所以以點 C為坐標原點，分別以直線 CA、CB、CC1為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則C 0,0,0、A1 也0,無)、D浮冬。、E。瓜號uuurCA一 一 uuur 22 uuu2，°,2，CDyE0，Wr設平面ACD的法向量為nr umrr uuurx, y,z，則n CD 0且n CA0，可解得ry x z,令x 1,得平面AiCD的一個法向量為n 1, 1, 1nr同理

18、可得平面 ACE的一個法向量為 m 2,1, 2 ,r ir 貝U cos n, m所以二面角D【點睛】AC E的余弦值為今本題主要考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯 推理能力，屬于中檔題.19.已知函數fx x aln x a R(1)當a 0時，求函數f x的單調區間；(2)談論函數f x的零點個數【答案】(1) f x的單調遞減區間是 0,a ,單調遞增區間是 a, (2)見解析【解析】(1)求出函數的導數，解關于導函數不等式，求出函數的單調區間；(2)由(1)知當 a 0時，f a max a 1 帖2,分0 a e, a e, a e三種情況討論，a

19、 0由函數的定義域為 0,顯然沒有零點，當a 0轉化為函數的交點問題.解：（1）. f x x alnx,x 0,a x a故 f x 1 ,x xa 0x 0,a時，f x 0,故f x單調遞減,x a,時，f x 0,故f x單調遞增,所以，a 0時,f x的單調遞減區間是0,a ,單調遞增區間是a,(2)由(1)知,當a 0時，f x在x a處取最小值f a a alna a 1 Ina ,當0 a e時，a 1 Ina 0, f x在其定義域內無零點當a e時，a 1 In a0, f x在其定義域內恰有一個零點當a e時，最小值fa a 1 ln a 0,因為f 11 0,且f x在

20、0,a單調遞減，故函數f x在0,a上有一個零點,因為 a e, ea a2 a , f eaea a In ea ea a2 0,又 f x 在 a, 上單調遞增，故函數 f x在a,上有一個零點，故 f x在其定義域內有兩個零點；當a 0時，f x x在定義域0, 內無零點；當a 0時，令f x 0,可得x alnx,分別畫出y x與y alnx,易得它們的圖象有唯一交點，即此時 f x在其定義域內恰有一個零點綜上，0 a e時,f x在其定義域內無零點； a e或a 0時，f x在其定義域內恰有一個零點；ae時，f x在其定義域內有兩個零點;【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，函數

21、的零點問題，屬于中檔題(1)求橢圓C的標準方程;b 0的焦距為4,且過點P 2,J2(2)設Q xo,yo xoyo 0為橢圓C上一點，過點Q作x軸的垂線，垂足為 E ,取點A 0,2 J2，連接AE ,過點A作AE的垂線交x軸于點D ,點G是點D關于y軸的對稱點，作直線 QG,問這樣作出的直線 QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.22【答案】(1) 人匕 1(2)直線OG與橢圓C 一定有唯一的公共點，見解析84【解析】(1)根據題意得到關于 a、b的方程組，解得.uuir umr(2)由題息，E點坐標為Xo，0 ,設D Xd ,0 ,由AD AE知，AE AD 0求出Xd ,根據

22、對稱表示出 G點坐標，即可表示出直線 QG的方程，聯立直線與橢圓方程消元可得.【詳解】解：(1)因為焦距為4,所以a2 b24 ,又因為橢圓C過點P 2,J2 ,2x8 , b2 4,從而橢圓C的方程為 8已知橢圓2 x C:a2 匕 b11 a b 0的焦距為4,且過點P 2, J2(2)由題意，E點坐標為x0,0，設 D Xd,0uur,則AEXo, 272 ,uurADXd, 272 ,再由 ADAE知,uuur uuurAE AD0 ,即 Xd%8 0.，一88 八由于x0y0 0 ,故Xd一,因為點G是點D關于y軸的對稱點，所以點G ,0xoxo,yoXoyo故直線QG的斜率0G8x

23、2 8 .Xo 0Xo22又因Q xo,yo在橢圓C上，所以xo 2yo 8.從而Qg色-,故直線QG的方程為y 衛 x C 2 yo2yo%將代入橢圓C方程，得2- 222Xn 2yo x 16xox 64 16y00再將代入，化簡得：x2 2x0x x2 o解得xxo, y y°,即直線OG與橢圓C 一定有唯一的公共點本題考查利用待定系數法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應用問題，屬于中檔題.21 .心理學研究表明，人極易受情緒的影響，某選手參加7局4勝制的兵乒球比賽.1(1)在不受情緒的影響下，該選手每局獲勝的概率為-；但實際上，如果前一句獲勝31的話，此選手該局獲勝的概率可提升到

24、,；而如果前一局失利的話，此選手該局獲勝的21，、一 一、概率則降為'，求該選手在前3局獲勝局數X的分布列及數學期望； 4(2)假設選手的三局比賽結果互不影響，且三局比賽獲勝的概率為sin A、sin Bk sinC ,記A、B、C為銳角 ABC的內角，求證：sin A sinB+sinC sin Asin B sinAsinC sinBsinC sinAsinBsinC 1【答案】(1)分布列見解析，數學期望 1 (2)證明見解析【解析】(1)依題意前3局獲勝局數X可取。,1,2,3,分別計算概率，列出分布列，即可求出期望.(2)根據相互獨立事件的概率計算公式可得選手至少勝一局的概率

25、為：P X 1 sin A sin B sin C sin Asin BsinAsinCsin BsinCsin Asin Bsin C且概率要小于1,即可得證【詳解】解：(1)依題意，可知X可?。?,1,2,39248245241112P X 3 P X 23 2 2 24° 1且242424241.隨機變量X的分布列為:X0123P924824524224(2)ABC是銳角三角形,0 sin A 1,0 sin B 1,0 sinC 1 ,則三局比賽中，該選手至少勝一局的概率為:sin A sin B sin Csin Asin B sinAsinC sin BsinC sin Asin BsinC由概率的定義可知：P X 1 1 ,故有：sin A sin B+sinC sin Asin B sin AsinC sinBsinC sin Asin BsinC 1【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列以及相互獨立事件的概率計算問題，屬于中檔題22.選修4-4 :坐標系與參數方程x 2cost已知動點P,Q都在曲線C:(為參數)上，對應參數分別為ty 2sin tt 2 02, M為PQ的中點.(1)