1、函數(shù)之函數(shù)的周期性與對稱性函數(shù)的周期性與對稱性一.定義：若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立則f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期。二.重要結(jié)論1、f(x)=f(x+a),則y=f(x)是以T=a為周期的周期函數(shù)；2、若函數(shù)(x)滿足f()(x)(a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。3、若函數(shù)f(x+a戶f(x-a),則f(x)是以T=2a為周期的周期函數(shù)4、(x)滿足f()=L(a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。fx5、若函數(shù)(x)滿足f()=-(a>0),則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。

2、fx6、f(x+a)=匕3，則f(x)是以T=2a為周期的周期函數(shù).1f(x)7、f(x+a)=_1f(x),則f(x港以T=4a為周期的周期函數(shù).1f(x)8、若函數(shù)(x)滿足f()=1+f(x)(xCR,a>0),則f(x)為周期函數(shù)且4a是它的一個周期。1-f(x)9、若函數(shù)(x)的圖像關(guān)于直線(b>a)都對稱，則f(x)為周期函數(shù)且2()是它的一個周期。10、函數(shù)y=f(x)(xwR)的圖象關(guān)于兩點A(a,y0)、B(b,y0)(a<b)都對稱，則函數(shù)f(x)是以2(b-a)為周期的周期函數(shù)；11、函數(shù)y=f(x)(xwR)的圖象關(guān)于A(a,y0川口直線x=b(a&l

3、t;b)都對稱，則函數(shù)f(x)是以4(b-a)為周期的周期函數(shù)；12、若偶函數(shù)(x)的圖像關(guān)于直線對稱，則f(x)為周期函數(shù)且2a是它的一個周期。13、若奇函數(shù)(x)的圖像關(guān)于直線對稱，則f(x)為周期函數(shù)且4a是它的一個周期。14、若函數(shù)(x)滿足f(x)()()(a>0),則f(x)為周期函數(shù),6a是它的一個周期。15、若奇函數(shù)(x)滿足f()(x)(x6R,Tw0),則f(工)=0.2三、兩個函數(shù)的圖象對稱性1、 y=f(x)與y=-f(x)關(guān)于X軸對稱。換種說法：y=f(x)與y=g(x)若滿足f(x)=g(x),即它們關(guān)于y=0對稱。2、 y=f(x)與y=f(x)關(guān)于丫軸對稱

4、。換種說法：y=f(x)與y=g(x)若滿足f(x)=g(x),即它們關(guān)于x=0對稱。3、 y=f(x)與y=f(2ax)關(guān)于直線x=a對稱。換種說法：y=f(x)與y=g(x)若滿足f(x)=g(2ax),即它們關(guān)于x=a對稱。4、 y=f(x)與y=2af(x)關(guān)于直線y=a對稱。換種說法：y=f(x)與y=g(x)若滿足f(x)+g(x)=2a,即它們關(guān)于y=a對稱。5、 y=f(x)與y=2bf(2ax)關(guān)于點()對稱。換種說法：y=f(x)與y=g(x)若滿足f(x)+g(2ax)=2b,即它們關(guān)于點()對稱。ab6、 y=f(ax)與y=(xb)關(guān)于直線x=對稱。27、函數(shù)的軸對稱

5、：定理1:如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-對稱.2推論1：如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(ax),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.推論2：如果函數(shù)y=f(x質(zhì)足f(x)=f(-x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=0(y軸)對稱.特別地，推論2就是偶函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理1的簡化.8、函數(shù)的點對稱：定理2：如果函數(shù)y=f(x蹣足f(a+x)+f(a-x)=2b,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱.推論3：如果函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(ax)=0,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,

6、0網(wǎng)稱.推論4：如果函數(shù)y=f(x)滿足f(x)+f(_x)=0,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(0,0網(wǎng)稱.特別地，推論4就是奇函數(shù)的定義和性質(zhì).它是上述定理2的簡化.經(jīng)典試題：知識梳理對于函數(shù)f(x),存在非0常數(shù)T,使得對于其定義域內(nèi)總有f(x+T)=f(x),則稱的常數(shù)T為函數(shù)的周期.1 .周期函數(shù)的定義：對于函數(shù)f(x),存在非0常數(shù)T,使得對于其定義域內(nèi)總有f(x+T)=f(x),則稱的常數(shù)為函數(shù)的周期.2 .周期函數(shù)的性質(zhì)：f(x+T)=f(x戶f(x)的周期為；f(x+a)=f(xAf(x用周期為；f(x)的周期為;f(x)的周期為;1-f(x)_1fx-f(x)的周期為;1

7、f(x)_-7f1-fxf(x)的周期為;fxa=f(xb)f(x)的周期為;如果奇函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)=f(x)的周期為;如果偶函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)=f(a-x)=f(x)的周期為;、經(jīng)典例題一.，一，一一“八1例1、(安徽卷)函數(shù)f(x網(wǎng)于任意實數(shù)x滿足條件f(x+2)=,若f(1)=-5，則fx例2、已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T=5,函數(shù)y=f(x)(1EXE1)是奇函數(shù)又知y=f(x)在0,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值一5證明：f(1)+f(4)=0;求y=f(x),xw1,4的解析式例3、

8、設(shè)函數(shù)f(x)(xwR)是以3為周期的奇函數(shù)，且f(1)>1,f(2)=aM()A.a>2B.a<-2C.a>1D.a<-1例4、(2019山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2)=-f(x),則(6)的值為()A.-1B.0C.1D.2例5、函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，又是以2為周期的周期函數(shù).若f(x)在11,0上是減函數(shù)，那么f(x)在2,3上是()A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減的函數(shù)D.先減后增的函數(shù)例6、已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，對xWR都有f(2+x)=f(2x),當(dāng)f(3)=2時，f(2007)的值為()A.2B.4C.-

9、2D.-4例7、定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，T是它的一個正周期.若將方程f(x)=0在閉區(qū)間Lt,T】上的根的個數(shù)記為n,則n可能為()A.0B.1C.3D.5跟蹤練習(xí)：11、函數(shù)f(x于任意實數(shù)x滿足條件f(x+2)=，若f(1)=-5，則f(f(5)=f(2)=2、已知函數(shù)y=f(x)是一個以4為最小正周期的奇函數(shù)，則A. 0B. -4C. 4D.不能確定3、設(shè)“刈是(口,收)上的奇函數(shù)，f(x+2)=f(x),當(dāng)0ExE1時，f(x)=x，則f(47.5)等于4、已知定義在R上的函數(shù)f(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程f(x)=0在2,2上至少有個實數(shù)根5、已知f(

10、x)是偶函數(shù)，且f(1)=993,g(x)=f(x1)是奇函數(shù)，求f(2005)的值6、定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則f(1)+f(4)+f(7)等于()A.-1B.0C.1D.47、f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(2)=0,則方程f(x)=0在區(qū)間(一6,6)內(nèi)解的個數(shù)的最小值是()A10B.8C.6D.48、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x4)=f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)vf(80)vf(25)D.f(

11、-25)<f(80)<f(11)9、設(shè)函數(shù)f(x)在(8,+8)上滿足f(2x)=f(2+x),f(7x)=f(7+x),且在閉區(qū)間0,7上，只有f(1)=f(3)=0.(1)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性；(2)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間2009,2009上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論.10、已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y土勻有f(x)+f(y)=2f(f)f(tl),f(0)#0,且22存在非零常數(shù)c,使f(c)=0.(1)求f(0)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明；(3)求證f(x)是周期函數(shù)，并求出f(x)的一個周期.11、已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期函數(shù)

12、，周期T=5,函數(shù)y=f(x)(1MxM1)是奇函數(shù)，又知y=f(x)在0,1上是一次函數(shù)，在1,4上是二次函數(shù)，且在x=2時函數(shù)取得最小值-5。證明：f(1)+f(4)=0;求y=f(x),xw1,4的解析式；求y=f(x)在4,9上的解析式。課后作業(yè):1.,1、設(shè)偶函數(shù)f(x)對任息xwR,都有f(x+3)=_，且當(dāng)xwI3_2時，f(x)''2_21_1f(x)=2x,則f(113.5)=A.B.C.-D.77552、設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對于任意的xwR,都有f(x+1)=1_f(x),1f(x),.-1-1當(dāng)0<xw1時，f(x)=2x,則f(11

13、.5)=A.-1B.1C.1D.-223 .已知f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，滿足f(x+2)=f(x),且xw0,2時，2f(x)=2xx.(1)求xW2,0時，f(x)的表達式；(2)證明f(x)是R上的奇函數(shù).3、一一一34 .(05朝陽模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點,0對稱，且滿足f(x)=f(x+),I4J2又f(1)=1,f(0)=-2,求f(1)+f(2)+f(3)+f(2006)的值(六)走向Wj考：1. (05福建)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)=0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個數(shù)的最小值是A.2B.3C.4D.52. (07安徽)定義在R上的函數(shù)f(

14、x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，T是它的一個正周期.若將方程f(x)=0在閉區(qū)間-T,T上的根的個數(shù)記為n,則n可能為3. (96全國)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，且滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)0Wx<1時，f(x)=x，則f(7.5)等于(),八1一，一4. (06安徽)函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x+2)=，若f(1)=-5,fx則ff5=5. (06福建文)已知f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0cx<1時，f(x)=lgx.、幾，6,3,5,設(shè)a=f(-),b=f(-),c=f(-),則5226. (04天津)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(

15、x)的最小正周期5二是n,且當(dāng)xW0,時，f(x)=sinx,則f()的值為2317. (05天津)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱，則f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)=8. (05廣東)設(shè)函數(shù)f(x)在(，)上滿足f(2x)=f(2+x),f(7x)=f(7+x),且在閉區(qū)間b,7】上，只有f(1)=f(3)=0.(i)試判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性;(n)試求方程f(x)=0在閉區(qū)間2005,2005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論9、定義在(_«,y)上的偶函數(shù)f(x)，滿足f(x1)=f(x)，且f(x)在0,1上是減函數(shù)。下面四個關(guān)于f(x)的命題：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱；f(x)在-1,0上是減函數(shù)；f(x)在1,2上為增函數(shù)。其中真命