1、【例11如圖所示，MBC中，/ABC=90%AB=3,BC=5,以AC為一邊向BC外作正方形ACDE,中心為O,求AOBC的面積.如圖，將AOAB沿著O點順時針旋轉90°,到達BCF的位置.由于ZABC=90ZAOC=90)所以NOAB+NOCB=180上而NOCF=NOAB,所以/OCF+/OCB=180：那么B、C、F三點在一條直線上.由于OB=OF,/BOF=/AOC=90口，所以ABOF是等腰直角三角形，且斜邊BF為5+3=8,所以它的面積為82x1=16.4根據面積比例模型，AOBC的面積為16父5=10.8例2如圖所示，長方形ABCD內的陰影部分的面積之和為70,AB=8

2、,AD=15,四邊形EFGO的面積BFC利用圖形中的包含關系可以先求出三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和，以及三角形AOE和DOG的面積之和，進而求出四邊形EFGO的面積.1由于長萬形ABCD的面積為15M8=120,所以二角形BOC的面積為120父=30,所以三角形AOE和DOG4的面積之和為120M3-70=20；4又三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和為120Ml=30,所以四邊形EFGO的面積為2 430-20=10.另解：從整體上來看，四邊形EFGO的面積=三角形AFC面積十三角形BFD面積-白色部分的面積，而三角形AFC面積十三角形BFD面積為長方形面積的一半

3、，即60,白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即12070=50,所以四邊形的面積為6050=10.如圖，長方形ABCD的面積是36,E是AD的三等分點，AE=2ED,則陰影部分的面積為如圖，連接OE.根據蝴蝶定理，ON:ND所以S.OEN=2SOED；1SCOE：S.CDE=2S.CAE：SCDE=1：1OM:MASBOE：S.BAE1=2S.BDE:S.BAE=1：4,所以SAOEM又SOED11.S矩形ABCD34=3，SOEA=2SOED=6，一一，11所以陰影部分面積為：3-62.7.25例3四個面積為1的正六邊形如圖擺放，求陰影三角形的面積.【解析】如圖r將原圖獷展成T

4、大正三角形QEF,則MG產與A8T都是正三角形.幅設正六邊形的邊長為為。，則MGF與NEH的邊長都是4*所以大正三角形DEF的邊長為4x2-1=7r那么它的面積為單位小正三角形面積的49倍,而TIE六邊形是由6個單位小正三角形組成的r所以一T單位小正三角形的面積為士r三角形DEF的面積為多.664317由于E4=4*FB=3a，所以AJFS與三角形DEF的面積之比為翼=，.7749同理可知BDC、2EC與三角形DEF的面積之比都為r所以3丹C的面積占三角形DEF面49積的，所以上面仁的面積的面積為義冥U=12.49496496【鞏固】已知圖中每個正六邊形的面積都是1,則圖中虛線圍成的五邊形HE

5、CDE的面積是【解析I從圖中可以看出，虛線.鋁和虛線CD外的圖形都等于兩個正六邊形的一半，也就是都等于一個正六邊形的面積：虛線SC和虛線QE外的圖形都等于一個正六邊形的一半，那么它們合起來等于一個正六邊形的面積；虛線且E外的圖形是兩個三角形，從右圖中可以看出r每個三角形都是T正六邊形面積的1.所以虛線外圖形的面積等于1x3+1*二=3工，所以五邊形的面積是663121。一3±=6二.33例4如圖，已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6,線段AB將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38,右邊部分面積是65,那么三角形ADG的面積是.根據題意可知,CF=5+7+15=27;DG=7+1

6、5+6=28;所以，S.BEF_15二27SCBF,SBEC1227SCBF,SAEG21二28S用DG'7S&ED=TTS%DG,28211577S.ADG'SZSCBF=65；28277_12荔SADG工SCBF=38；2827可得SADG=40.故三角形ADG的面積是40.例5如圖，平行四邊形ABCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四邊形ABCD的面積是ABCD與四邊形EFGH的面積比.2,求平行四邊形F5F連接AC、BD.根據共角定理在AABCABFE中，/ABC與/FBE互補,又SxABCS_ABBC111Safbe-BEBF-13

7、3同理可得SAGCF=8,SADHG=15SAEH=8所以SEFGHSAAEH+SACFG+Sadhg+Sabef+Sabcd=8+8+15+3+2=36.S_所以-SEFGH3618例6如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內作直角三角形ABE,/AEB=90=AC、BD交于O.已知AE、BE的長分別為3cm、5cm,求三角形OBE的面積.F如圖，連接DE,以A點為中心，將AADE順時針旋轉90口到AABF的位置.那么ZEAF=/EAB+/BAF=/EAB+/DAE=909，而/AEB也是90°,所以四邊形AFBE是直角梯形,且AF=AE=3,(3+5)x3x-=12(cm).又因為

8、MBE是直角所以梯形AFBE的面積為：根據勾股定理，AB=A2日E23E25234所以-12Sabd=尸=17，一2、(cm).那么SBDESABD-S.ABE'SADE)=SaBD_SAFBE=17一12=5(cm2),所以SQBE122SBDE=2.5(cm2).【例71如下圖，六邊形ABCDEF中，AB=ED,AF=CD,BC=EF,且有AB平行于ED,AF平行于CD,BC平行于EF,對角線FD垂直于BD,已知FD=24厘米，BD=18厘米，請問六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？如圖，我們將ZBCD平移使得CD與AF重合，將ADEF平移使得ED與AB重合，這樣EF、BC都重

9、合到圖中的AG了.這樣就組成了一個長方形BGFD,它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形BGFD的面積為24x18=432平方厘米，所以六邊形ABCDEF的面積為432平方厘米.如圖，長方形ABCD的面積是2平方厘米，EC=2DE,F是DG的中點.陰影部分的面積是多少平方厘米？y設Sdef=1份，則根據燕尾定理其他面積如圖所示S陰影=777SaBCD=平方厘米.1212例8如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于O點，CEF、AOEF>AODF>BOE的面積依次是2、4、4和6.求：求OCF的面積；求4GCE的面積.根據題意可知，4BCD的面積為2十4十4+6=16,那么ABCO和A

10、CDO的面積都是16+2=8,所以OCF的面積為84=4;由于ABCO的面積為8,ABOE的面積為6,所以4OCE的面積為8.6=2,1nScef根據蝴蝶定理，EG:FG=S#oe:Sof=2:4=1:2,所以S貨CE:SmCF=EG:FG=1:2,那么S3CE例9如圖，MBC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CD相交于K點.已知正方形DEFG的面積48,AK:KB=1:3,則iBKD的面積是多少？由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，ABDK和&ACK的面積是相等的.而AK:KB=1:3,所以MCK的面積是MBC面積的,那么

11、ABDK的面積也是134一一一1MBC面積的1.4由于MBC是等腰直角三角形，如果過A作BC的垂線，M為垂足，那么M是BC的中點，而且AM=DE,可見MBM和MCM的面積都等于正方形DEFG面積的一半，所以MBC的面積與正方形DEFG的面積相等，為48.那么3DK的面積為48父1=12.4【例10】G、H分別是AB,BC,CD,DA的中點,卜圖中，四邊形ABCD都是邊長為1的正方形，E、F如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分數m,那么，（m+n）的值等于n左、右兩個圖中的陰影部分都是不規則圖形，不方便直接求面積，觀察發現兩個圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的

12、面積，再求陰影部分的面積.如下圖所示，在左圖中連接EG.設AG與DE的交點為M.左圖中AEGD為長方形，可知AAMD的面積為長方形AEGD面積的-,所以三角形AMD的面積為412MlM1=1.又左圖中四個空白三角形的面積是相等的，所以左圖中陰影部分的面積為11二1.24882如上圖所示，在右圖中連接AC、EF.設AF、EC的交點為N.可知EF/AC且AC=2EF.那么三角形BEF的面積為三角形ABC面積的-,所以三角形BEF的面積4為12x1x1=1,梯形AEFC的面積為11=3.248288在梯形AEFC中，由于EF:AC=1:2,根據梯形蝴蝶定理，其四部分的面積比為：12：1父2:1父2:

13、22=1:2:2:4,所以三角形EFN的面積為3乂1=工，那么四邊形BENF的面積為812242411111-+=-.而右圖中四個空白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為1-父4=-.824663那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為1:1=3:2,即m=3,23n210那么m+n=3+2=5.【例11】如圖所示，已知平行四邊形ABCD的面積是1,E、F是AB、AD的中點,BF交EC于M,求ABMG的面積.解法一：由題意可得，E、F是AB、AD的中點，得EB:CDEF/BD,而FD:BC=FH:HC=1:2,=BG:GD=1:2所以CH:CF=GH:EF=2:3并得G、H

14、是BD的三等分點，所以BG=GH,所以BG:EF=BM:MF=2:3,所以BM2=BF,5SBFDSABCD2工4'1211354301又因為BG=-BD,所以SBMG3解法二：延長CE交DA于I,如右圖,可得，AI:BC=AE:EB=1:1,從而可以確定M的點的位置,一21BC+F2:,3BM=-BF,BG=1BD（鳥頭定理）,可得SBMG21-=sSBDF53211一一S.ABCD5343011【例12】如圖，已知AB=AE=4cm,則S華BC+S叢CE+SDE1BC=DC,/BAE=/BCD=90°,AC=10cm,=2cm-CD/f/于產C'將三角形ABC繞A

15、點和C點分別順時針和逆時針旋轉90,構成三角形AEC'和A'DC,再連接A'C',顯然AC_LAC',AC_LA'C,AC=A'C=AC',所以ACA'C'是正方形.三角形AEC'和三角形A'DC關于正方形的中心O中心對稱，在中心對稱圖形ACA'C'中有如下等量關系:S&EC=SMDC'；S"EC'=SM'DC；SCEDSC'DE-所以SABCS.ACESCDE=SAEC'1SACESCDE=-SACA'C'1

16、21010V50cm2122cm【例13】如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長為10cm的正方形，則陰影部分四邊形的面積是【解析】如圖所示，分別過陰影四邊形EFGH的四個頂點作正方形各邊的平行線，相交得長方形MNPQ,易知長方形MNPQ的面積為4X1=4平方厘米.？從圖中可以看出，原圖中四個空白三角形的面積之和的2倍，等于AENH、BFME、CGQF、DHPG?四個長方形的面積之和，等于正方形ABCD的面積加上長方形MNPQ的面積，為10X10+4=104平方厘米，所以四個空白三角形的面積之和為104+2=52平方厘米，那么陰影四邊形EFGH的面積為100-52=48平方厘米.13鞏固】如匡.

17、陰影部分四邊形的外接圖形是邊長為門城米的F方影，則陰影部分四邊形的面根是多少平方屋米？如圖，正方形的邊長為1解析】加圖所示.分別a的影四邊形門燈用的四個頂點作正方形各隘平行線,相點得長方形他79.易加氏方形紅VFQ的面積為T平方釐米.從圖中可以事出.蟀度中四個空E三角形的面阻之和的2倍,等于TG7TBFMECGQFDHPQ四個區方形的直歸之和,等于正75升的面職加上怪方JHMAF。的面憫，為12I2-S-152平方厘米，所以四個至日三角彬的面根之和為1"+2。飛平萬厘米.那么阻乾四邊形£FG占的面怛力1H飛二秘平為屋中.【例14】10,四邊形EFGH的面積為5,那么陰影部分的面積是14工解析】如圖所示,設.爐上的兩個點分別為.連接CN.根據面積比例模型.“KF與ABF的面積是相等的，那么mCMF與A5州F的面積之和.等于ACZF與A5AF的面積之和，即等于AJ5CN的面積.而A5CW的面積為正方形一空面積的一半,為10力x-=5Q.2又M,MF與SBNF的面積之和與陰影部分的面積相匕匕較，多了2個四邊形EFGH的面積.