1、（圖6）13準備題1.如圖，直線y=1x+1和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點A(2,0)和點B(k,/.(1)k的值是;yu(2)求拋物線的解析式；/一一一c1'(3)不等式x2+bx+c>-2x+1的解集是例1.如圖，直線yx3與x軸，y軸分別相交于點B,點C,小&B/C兩點的拋物線yax2bxc與x軸的另一交點為A,頂點為P,且對球軸是直線x2.(1)求A點的坐標；(2)求該拋物線的函數(shù)表達式；(3)連結(jié)AC.請問在x軸上是否存在點Q,使得以點P,B,Q為頂點的三角形與ABC相似，若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.解=直線yx3與x軸相交于點B,當y0

2、時，x3,點B的坐標為(3,0).又：拋物線過x軸上的AB兩點，''且對稱軸為x2,根據(jù)拋物線的對稱性，點A的坐標為(10).、'.QF(2)yx3過點C,易知C(0,3),c3.1、又；拋物線yax2bxc過點A(1,0)B(3,0),'jab30,a1,2/解得yx4x3.9a3b30.b4.,(3)連結(jié)PB,由yx24x3(x2)21,得P(2,1),設拋物線的對稱軸交x軸于點M,在RtzXPBM中，PMMB1,ZPBM45：,PB近.由點B(3,0),C(0,3)易得OBOC3,在等腰直角三角形OBC中，/ABC45：,由勾股定理，得BC3J2.假設在x

3、軸上存在點Q,使得以點P,B,Q為頂點的三角形與ABC相似.-BQPB_，當,PPBQZABC45時，APBQABC.BCAB即BQ3、222,BQ3,又;BO3,點Q與點O重合，Qi的坐標是(0,0).QBPB，當,QQBPZABC45時，zQBPABC.ABBC22QB-.,OB3,OQOBQB3一323Q2的坐標是7,0.3；/PBx180：45：135</BAC135,/PBxZBAC.點Q不可能在B點右側(cè)的x軸上綜上所述，在x軸上存在兩點Q1(0,0)Q27,03,能使得以點P,B,Q為頂點的三角形與ABC相似。12例2.一次函數(shù)y-x的圖象如圖所示，過y軸上一點M0,2的直線

4、與拋物線交于A,8B兩點，過點A,B分別作y軸的垂線，垂足分別為C,D.(1)當點A的橫坐標為2時，求點B的坐標；(2)在(1)的情況下，分別過點A,B作AEx軸于E,85，乂軸于5,在EF上是否存在點P,使/APB為直角.若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由；(3)當點A在拋物線上運動時(點A與點O不重合)，求AC|BD的值.1解(1)根據(jù)題意，設點B的坐標為x,xMD-x22.RtABDMsRQACM.8，其中x0:點A的橫坐標為2,83AC±y軸，BD±y軸，M0,2,AC/BD,MC-,BDACk22膽.即3一MC232解得X12(舍去)，X28.B8,8.(

5、2)存在.連結(jié)AP,BP.由(1),AE*AE±x軸,1BF8,EF10.設EPa,則PF10aJ,EOBFx軸，ZAPB90、AEPspfb.AEEPPFBF12a.解得a5后.經(jīng)檢驗a5歷均為原方程的解.10a8點P的坐標為3扃,0或3(3)根據(jù)題意,設Am,-m81n,-n8,不妨設m0,n0.由(1)則工m.BD知AC12n8MDMC'化簡，得28m28m22mn160.mmnw0,mn16.AClBD16.例3.(湖北湛江課改卷)已知拋物線y2axbx2與x軸相交于點A(Xi,0),30的兩個實數(shù)根，點C為拋物線與y軸的交點.(1)求a,b的值(2)分別求出直線AC

6、和BC的解析式;(3)若動直線ym(0m2)與線段AC,BC分別相交于D,E兩點，則在x軸上是否存在點P,使得4DEP為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；Illi-X1234解2(1)由x2x30,得X1,x23.A(1,0),B(3,0),把A,B兩點的坐標分別代入y2axbx2聯(lián)立求解，得2u4一,b33由(1)可得y0時,224-x-x2,:當x33設AC:ykxAC兩點坐標分別代入ykx聯(lián)立求得k2,b2.直線AC的解析式為y2x2.同理可求得直線一一，一2BC的解析式是y2x3(3)假設存在滿足條件的點P,并設直線m與y軸的交點為F(0,m).當DE為腰時，分別過點D,E作DP

7、1x軸于R,作EP2x軸于P2,如圖，則RDE和BED都是等腰直角三角形,DEDP1FOEP2m,*DE/AB,ACDEACAB,DECF口.m2m,即.解得mABOC42點D的縱坐標是4，二點D在直線3AC上,八八4一2x2一,解得x314一,一331P,-,0,同理可求3P2(1,0).當DE為底邊時,過DE的中點G作GP3x軸于點如圖,則DGEGGP3m,由CDEs/XCAB,/日DECF口u得,即ABOC2m4,解得m1.同1方法.求得_11OP3FGFEEG,P3,0.22結(jié)合圖形可知，P3D2P3E22ED24,222_.EDP3DBE,DEP3是RtA,1,P3,0也滿足條件.2

8、綜上所述，滿足條件的點P共有3個，即P110，P2(10)E,022AB所在的直線為x軸,例4.在矩形ABCD中，AB4,BC2,以A為坐標原點,建立直角坐標系.然后將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在y軸的E點上，則C和D點依次落在第二象限的F點上和x軸的G點上(如圖).(1)求經(jīng)過B,E,G三點的二次函數(shù)解析式；(2)設直線EF與(1)的二次函數(shù)圖象相交于另一點H，試求四邊形EGBH的周長.(3)設P為(1)的二次函數(shù)圖象上的一點，BP/EG,求P點的坐標.(1)解：由題意可知，AEAB4,AGADBC2.B(4,0),E(0,4),G(2,0).設經(jīng)過B,E,G三點的二次函數(shù)解析式

9、是ya(x2)(x4).1把E(0,4)代入之，求得a1.3分2所求的二次函數(shù)解析式是：1 12,y(x2)(x4)xx4.2 2(2)解：由題意可知，四邊形AEFG為矩形.FH/GB,且GB6.直線y4與二次函數(shù)圖象的交點H的坐標為H(2,4),vG與B,E與H關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,.BHEGJ4222275.四邊形EGBH的周長84.底.(3)設BP交y軸于M.:BP/EG,AB:AGAM:AE,即4:2AM:4AM8,于是M(0,8).設直線BM的解析式為ykxb.把B(4,0),M(0,8)代入之,得4kbb°，解得8.2,8.y2x8.y2x8,組成方程組12yxx4.2x6.x4.解得或(此組數(shù)為B點坐標)y20y0.所求的P點坐標為P(6,20).練習.如圖11,拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于點A、B,與y軸交于點