1、1111118.,.ABCABCa E FAA CCB EFB如圖，設(shè)三棱柱為正三棱柱，底面邊長與側(cè)棱長均為 ，分別是的中點(diǎn)，求幾何體的體積1,BBGEG FG解：取的中點(diǎn)連則EFG與三棱柱的兩個(gè)底面平行且全等11B EFBB EFGBEFGVVVABFC1A1B1CEG1BBEFG平面11()3GEFSBGBGABC113SBB3312a 求組合體的體積時(shí)要注意幾何體的結(jié)構(gòu)特征，用求組合體的體積時(shí)要注意幾何體的結(jié)構(gòu)特征，用分割與組合分割與組合方法，利用體積公式進(jìn)行求解。方法，利用體積公式進(jìn)行求解。1.3.2球的表面積和體積球的表面積和體積柱柱體、錐體、臺(tái)體的表面積體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面

2、積之和各面面積之和rr0 r展開圖展開圖lrrrrS)(22 圓臺(tái)圓臺(tái)圓柱圓柱rlrS 222rlrS 2圓錐圓錐柱體、錐體、臺(tái)體的體積柱體、錐體、臺(tái)體的體積Sh31V 錐體錐體h)SSSS(31V 臺(tái)體臺(tái)體柱體柱體ShV SS 0S知識(shí)探究（一）知識(shí)探究（一）:球的體積球的體積思考思考1:1:底面半徑和高都為底面半徑和高都為R R的圓柱和圓錐的體積分的圓柱和圓錐的體積分是什么？是什么？331RV 圓錐圓錐3RV 圓柱圓柱332RV 半球半球思考思考2:2:如圖，對(duì)一個(gè)半徑為如圖，對(duì)一個(gè)半徑為R R的半球，其體積與上的半球，其體積與上述圓柱和圓錐的體積有何大小關(guān)系？述圓柱和圓錐的體積有何大小關(guān)

3、系？思考思考3:3:根據(jù)上述圓柱、圓錐的體積，你猜想半球根據(jù)上述圓柱、圓錐的體積，你猜想半球的體積是什么？的體積是什么？RRRR思考思考5:5:由猜想知，半徑為由猜想知，半徑為R R的球的體積的球的體積 ，這這是一個(gè)正確的結(jié)論，你能提出一些證明思路嗎？是一個(gè)正確的結(jié)論，你能提出一些證明思路嗎？332RV 半球半球RhRhhS1=(R2-h2)S2=R2-h2334RV 球球假設(shè)將圓假設(shè)將圓n等分，則等分，則n=6n=12A1A2OA2A1AnO13221OAAOAAOAAnSSSS 正正多多邊邊形形)(2113221AAAAAApn 正正多多邊邊形形pC21 圓圓正正多多邊邊形形時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)CC

4、Rpn ,2221RRRS 圓圓pA3回顧圓面積公式的推導(dǎo)回顧圓面積公式的推導(dǎo) 割割 圓圓 術(shù)術(shù) 早在公元三世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面早在公元三世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家劉徽為推導(dǎo)圓的面積公式而發(fā)明了積公式而發(fā)明了“倍邊法割圓術(shù)倍邊法割圓術(shù)”他用加倍的方式他用加倍的方式不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面不斷增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，使其面積與圓的面積之差更小，即所謂積之差更小，即所謂“割之彌細(xì)，所失彌小割之彌細(xì)，所失彌小”這樣這樣重復(fù)下去，就達(dá)到了重復(fù)下去，就達(dá)到了“割之又割，以至于不可再割，割之又割，以至于不可再割，則與圓合體而無所失矣則與圓合體而無所失矣”這是世界上最早的這是世界上

5、最早的“極限極限”思想思想第一步：分割第一步：分割O O 球面被分割成球面被分割成n n個(gè)網(wǎng)格，個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：表面積分別為：nSSSS.321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS.321則球的體積為：則球的體積為：nVVVVV.321iViSO OnVVVV 321, 以這些以這些“小球面片小球面片”為底，球?yàn)榈祝蛐臑轫旤c(diǎn)的心為頂點(diǎn)的“小錐體小錐體”的體積分的體積分別為別為第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得：由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiVO O第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積第三步：轉(zhuǎn)化為球

6、的表面積RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: S=4R2334RV 球的體積球的體積: :iSiVih的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑R RRihiSO OiV“小錐體小錐體”就越接近小棱錐。就越接近小棱錐。334RV 球球24 RS 球球 影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素，影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素，就就是是球的半徑球的半徑. . 例例1:圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑. 求證求證:(1)球的體積等于圓柱體積的球的體積等

7、于圓柱體積的2/3 (2)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積球的表面積等于圓柱的側(cè)面積證明證明:(1)設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R,則圓柱則圓柱的底面半徑為的底面半徑為R,高為高為2R由由334RV球3222RRRV圓柱圓柱球VV32證明證明:(2)由由24 RS 球球2422RRRS 圓圓柱柱側(cè)側(cè)圓柱側(cè)圓柱側(cè)球球SS 例例1:圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證求證:(1)球的體積等于圓柱體積的球的體積等于圓柱體積的2/3 (2)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積球的表面積等于圓柱的側(cè)面積例例2.2.有三個(gè)小鐵球，半徑分別為有三個(gè)小鐵球，半徑分別為1,2,31,2,3，將它們

8、，將它們重重新鑄成一個(gè)大鐵球，則大鐵球的半徑是多少？新鑄成一個(gè)大鐵球，則大鐵球的半徑是多少？3333343634334234134RV 大大解：由體積相等解：由體積相等336 R.363答：大鐵球的半徑是答：大鐵球的半徑是例例3 某街心花園有許多鋼球某街心花園有許多鋼球(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm3)，每每個(gè)鋼球重個(gè)鋼球重145kg，并且外徑等于，并且外徑等于50cm，試根據(jù)以，試根據(jù)以上上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的如果是空數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的如果是空心心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（取取3.14，結(jié)果精確，結(jié)果精確到到1cm）解：解：由于外徑為由于

9、外徑為50cm50cm的鋼球的質(zhì)量為：的鋼球的質(zhì)量為： 街心花園中鋼球的質(zhì)量街心花園中鋼球的質(zhì)量為為145000g，而，而145000516792，所以鋼球是空心的所以鋼球是空心的)(516792)250(349 . 73克克 解：解：設(shè)球的內(nèi)徑是設(shè)球的內(nèi)徑是2xcm，那么球的質(zhì)量為：，那么球的質(zhì)量為： 答：答：鋼球是空心的其內(nèi)徑約為鋼球是空心的其內(nèi)徑約為45cm14500034250349 . 733 x,42.112393 x 解得：解得：. 4 .22 x8 .442 x例例3 某街心花園有許多鋼球某街心花園有許多鋼球(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm3)，每每個(gè)鋼球重個(gè)鋼球重145k

10、g，并且外徑等于，并且外徑等于50cm，試根據(jù)以，試根據(jù)以上上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的如果是空數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的如果是空心心的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（的，請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑（取取3.14，結(jié)果精確，結(jié)果精確到到1cm）例例4 把直徑把直徑5cm的鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙的鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙 盒中，至少要用多少紙盒中，至少要用多少紙?用料最省時(shí)用料最省時(shí), ,球與正方體有什么位置關(guān)系球與正方體有什么位置關(guān)系? ? 解解:當(dāng)球內(nèi)切于正方體時(shí)，用料最省當(dāng)球內(nèi)切于正方體時(shí)，用料最省. 此時(shí)正方體此時(shí)正方體的棱長為球的直徑的棱長為球的直徑5cm,正方體的表面積正方體的表面積

11、 S=652=150(cm2)所以至少要用所以至少要用150cm2的紙的紙.例例5 一個(gè)棱長為一個(gè)棱長為5cm的正方體紙盒恰好能裝入的正方體紙盒恰好能裝入 一一 個(gè)球狀木盒里，此時(shí)球的體積為多少個(gè)球狀木盒里，此時(shí)球的體積為多少?想一想想一想: :此時(shí)正方體與球盒有什么位置關(guān)系此時(shí)正方體與球盒有什么位置關(guān)系? ?球外接于正方體球外接于正方體(即正方體的八個(gè)即正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在球面上頂點(diǎn)在球面上)面對(duì)角線面對(duì)角線體對(duì)角線體對(duì)角線abcABC2.b2面對(duì)角線AB= a2222.ABcabc2體對(duì)角線AC=長方體體對(duì)角線的平方等于長寬高的平方和。長方體體對(duì)角線的平方等于長寬高的平方和。正方體體對(duì)角線的平方等于棱長平方的正方體體對(duì)角線的平方等于棱長平方的3倍。倍。球外接于正方球外接于正方體體(即正方體的六個(gè)即正方體的六個(gè)頂點(diǎn)在球面上頂點(diǎn)在球面上)解解:棱長為棱長為5cm的正方體的正方體的體對(duì)角線長的體對(duì)角線長5 3d即為球的直徑即為球的直徑.3245 3125 3().322Vcm球的體積為例例5 一個(gè)棱長為一個(gè)棱長為5cm的正方體紙盒恰好能裝入的正方體紙盒恰好能裝入 一一 個(gè)球狀木盒里，此時(shí)球的體積為多少個(gè)球狀木盒里，此時(shí)球的體積為多少?253 d(1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉淼娜羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉淼? 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉淼?/p>