1、 2.3 連續型隨機變量連續型隨機變量 一、連續型隨機變量及其概率密度函數的定義一、連續型隨機變量及其概率密度函數的定義 定義定義 設隨機變量設隨機變量X 的分布函數為的分布函數為F(x)，若存在非負可積函，若存在非負可積函數數 f(x)，使得對于任意實數，使得對于任意實數 x 有有 dttfxXPxFx )()(則稱則稱X 為為連續型隨機變量連續型隨機變量，函數，函數 f(x) 稱為隨機變量稱為隨機變量X 的的概率密度概率密度函數函數，簡稱，簡稱概率密度概率密度 可以證明可以證明連續型隨機變量的分布函數連續型隨機變量的分布函數F(x)為連續函數為連續函數 在實際應用中遇到的基本上是離散型或連

2、續型隨機變量本在實際應用中遇到的基本上是離散型或連續型隨機變量本書只討論這兩種隨機變量書只討論這兩種隨機變量 概率密度函數概率密度函數f(x) 具有以下性質：具有以下性質： (1) f(x)0)( x 1)()2(dxxf (4) 若若 f(x) 在點在點 x 處連續，則處連續，則F(x) = f (x) 由積分的幾何意義：概率值由積分的幾何意義：概率值Px1X x2 為曲線為曲線y = f(x)與與x 軸及兩直線軸及兩直線x = x1 和和x = x2 所圍的平面圖形的面積所圍的平面圖形的面積 性質性質(4)為我們揭示了密度函數的概率涵義由導數定義，為我們揭示了密度函數的概率涵義由導數定義，

3、 21)()()()3(1221xxdxxfxFxFxXxP 于是當于是當x( 0)充分小時充分小時, PxXx+ xf(x) x。這表明這表明f(x) 本身并非概率，但它的大小卻決定了本身并非概率，但它的大小卻決定了X 落入區間落入區間x ,x+x內的概內的概 率的大小即率的大小即f(x) 反映了點反映了點x 附近所分布的概率的附近所分布的概率的“疏密疏密”程度程度 即概率密度。即概率密度。xxFxxFxfx )()(lim)(0 xxxXxPx lim0 連續型隨機變量的一個連續型隨機變量的一個重要特征重要特征是：連續型隨機變量取任意是：連續型隨機變量取任意一個指定值的概率均為零，即一個指

4、定值的概率均為零，即PX =x0=0 事實上，對事實上，對 , 0000 xXxxxXx 0000 xXxxPxXP 有有)()(00 xxFxF ，令令0 x并注意到并注意到F(x) 的連續，即得的連續，即得PX = x0 = 0 由于連續型隨機變量取一個值的概率為零，所以事件由于連續型隨機變量取一個值的概率為零，所以事件 aX b、aXb、aX b與與aX b的概率都是的概率都是相等相等的的 注意注意：PX = x0= 0，并不意味著事件，并不意味著事件X = x0為不可能事件為不可能事件 例例1 已知連續型隨機變量已知連續型隨機變量X 的分布函數為的分布函數為 000)(2xxBeAxF

5、x及及1)(lim xFx0)0()(lim)(lim200 FBABeAxFxxx 0001)(2xxexFx即即(1) 試確定常數試確定常數A 和和B；(2) 求求P1/2 X 2；(3)求概率密度求概率密度f(x) 解解 （1）由分布函數的性質）由分布函數的性質 ABeAxFxxx )(lim)(lim2A = 1 因為連續型隨機變量的分布函數因為連續型隨機變量的分布函數F(x) 連續，因此，連續，因此，B = 1 (2) P1/2 X 2 = P1/2 X 2 = F(2) F(1/2) =(1e4)(1e1) = e1e4 (3) 當當x0， 0002)()(2xxexFxfx 00

6、02)(2xxexfx 其它其它0)2 , 0)(xAxxf 由于函數在一點處的值不影響函數的可積性和積分值，故由于函數在一點處的值不影響函數的可積性和積分值，故定義定義f(0) = 0（也可定義（也可定義f(0) = 2），那么），那么X 的概率密度函數的概率密度函數 例例2 設隨機變量設隨機變量X 的概率密度函數的概率密度函數(1) 確定常數確定常數A；(2) 求求X 的分布函數的分布函數F(x)；(3) 求求P|X|2 和和P3/2 X 3。 解解 (1) 由概率密度函數的性質由概率密度函數的性質 1)(dxxf 20220000)(AxdxdxAxdxdxdxxfAxA22202 2A

7、 = 1，A = 1/2 xdttfxF)()()2(當當x0 ,00)( xdtxF 當當0 x2 ,420)(200 xdttdtxFx 當當x2， 1020)(2200 xdtdttdxxF 2120400)(2xxxxxF212121|)3( XPXP2121 XP161)21()21( FF1671691)23()3(323 FFXP 二、幾種常見的連續型隨機變量二、幾種常見的連續型隨機變量 1均勻分布均勻分布 若連續型隨機變量若連續型隨機變量X 的概率密度函數為的概率密度函數為 其其它它0,1)(baxabxf bxbxaabaxaxxF10)( 則稱則稱X 在在a,b上服從上服從

8、均勻分布均勻分布記作記作X U(a, b) 容易求得其分布函數為容易求得其分布函數為于是，對于任意的于是，對于任意的x1、x2(a, b) (x1x2), 有有Px1X x2 = F(x2) F(x1) =(x2 x1)/(b a) 這表明，均勻分布隨機變量落入這表明，均勻分布隨機變量落入(a, b)的任意子區間內的的任意子區間內的概率與子區間的長度成正比，而與子區間的位置沒有關系概率與子區間的長度成正比，而與子區間的位置沒有關系 均勻分布的密度函數與分布函數的圖形如圖均勻分布的密度函數與分布函數的圖形如圖 均勻分布是常見的連續分布之一例如數值計算中的舍入均勻分布是常見的連續分布之一例如數值計

9、算中的舍入誤差、在每隔一定時間有一輛班車到來的汽車站上乘客的候車誤差、在每隔一定時間有一輛班車到來的汽車站上乘客的候車時間等常被假設服從均勻分布此外，均勻分布在隨機模擬中時間等常被假設服從均勻分布此外，均勻分布在隨機模擬中亦有廣泛應用亦有廣泛應用 例例3 某市每天有兩班開往某旅游景點的列車某市每天有兩班開往某旅游景點的列車, 發車時間分發車時間分別為早上別為早上7點點30分和分和8點設一游客在點設一游客在7 點至點至8點間任何時刻到達點間任何時刻到達車站是等可能的車站是等可能的, 求此游客候車時間不超過求此游客候車時間不超過20分鐘的概率分鐘的概率 解設游客到車站的時間為解設游客到車站的時間為

10、7點點 X 分分, 則則X U(0，60)，故故X 的密度函數為的密度函數為 其它其它0600601)(xxf 只有在只有在7:107:30或或7:408:00到車站其候車時間才不超過到車站其候車時間才不超過20分分 鐘鐘, 故所求概率為故所求概率為 P“10X 30”“ 40X 60” = P10X 30+ P 40X 603260160160403010 dxdx 例例4 在一特別的計算機存儲系統中在一特別的計算機存儲系統中, 系統內的信息檢索是系統內的信息檢索是 隨機的隨機的, 且所有條目的有順序的檢索是勻速的如果在且所有條目的有順序的檢索是勻速的如果在b 秒內秒內 可以檢索完整個系統，

11、則到達指定條目的時間是一個服從由可以檢索完整個系統，則到達指定條目的時間是一個服從由 時間時間0 到時間到時間b 區間上的均勻分布的隨機變量若從區間上的均勻分布的隨機變量若從a 秒鐘開秒鐘開 始檢索，則所需時間服從由時間始檢索，則所需時間服從由時間a 到到a+b 區間上的均勻分布區間上的均勻分布 2指數分布指數分布 如果隨機變量如果隨機變量X 的概率密度函數為的概率密度函數為為為正正常常數數） (000)( xxexfx則稱則稱X 服從參數為服從參數為的的指數分布指數分布記作記作X exp() 顯然，顯然，f (x)滿足：滿足： (1) f (x)01)()2(0 dxedxxfx 0001)

12、(xxexFx X 的分布函數的分布函數 本節例本節例1中的隨機變量中的隨機變量X 就是服從參數就是服從參數=2 的指數分布的指數分布 指數分布常用來描述隨機服務系統中的等候時間及電子元指數分布常用來描述隨機服務系統中的等候時間及電子元件的使用件的使用“壽命壽命”等等指數分布的等等指數分布的概率密度函數曲線概率密度函數曲線見圖見圖 例例5 某種元件的壽命某種元件的壽命(單位：小時單位：小時)服從服從=1/2000的指數分的指數分布，一報警系統裝有該元件布，一報警系統裝有該元件4個它們是獨立工作的，而且只要個它們是獨立工作的，而且只要不少于不少于3個元件正常工作，該系統就正常運行求該系統能正常個

13、元件正常工作，該系統就正常運行求該系統能正常運行運行1000小時以上的概率小時以上的概率 解設解設X 為元件的壽命，為元件的壽命，Y 為系統中壽命超過為系統中壽命超過1000小時的小時的元件數則由題設，有元件數則由題設，有X exp(1/2000)，YB(4，p), 其中其中p = P X1000于是，于是，X 的概率密度函數為的概率密度函數為 0020001)(2000 xoxexfxp = P X10006065. 02000110005 . 02000 edxexkkkkC 4434)6065. 01()6065. 0( 從而從而 YB(4，0.6065) 故所求概率為故所求概率為 P

14、Y3 = =0.4865 3正態分布正態分布 若隨機變量若隨機變量X 的概率密度函數為的概率密度函數為 )(21)(222)( xexfx )(21)(22 xexx 其中其中、 (0)為常數，則稱為常數，則稱X 服從參數為服從參數為、 的的正態正態 分布分布，記為，記為X N( ,2) 特別特別 = 0, = 1時稱為時稱為標準正態分布標準正態分布，記作，記作X N(0，1)， 其概率密度函數記為其概率密度函數記為由微積分知識可知：由微積分知識可知：1)()2( dxx dtexxt 2221)( 0)()1( x 是偶函數，圖形關于是偶函數，圖形關于y 軸對稱；軸對稱；x = 0時有最大值

15、；時有最大值；x=1時，曲線上對應點為拐點；時，曲線上對應點為拐點；x 軸為曲線的水平漸近線軸為曲線的水平漸近線標準正態分布的分布函數記為標準正態分布的分布函數記為)(x 正態分布正態分布N(,2)中的參數中的參數確定了對稱軸的位置，而參確定了對稱軸的位置，而參數數的大小則決定了曲線的形態即的大小則決定了曲線的形態即“峰峰”的陡峭程度：值小則的陡峭程度：值小則“峰峰”高而陡峭，值大則高而陡峭，值大則“峰峰”低而平緩下圖顯示了參數取低而平緩下圖顯示了參數取不同不同值的正態分布曲線的不同形態值的正態分布曲線的不同形態正態分布是連續型隨機正態分布是連續型隨機變量中最重要、最常用變量中最重要、最常用的

16、分布在諸如某個產的分布在諸如某個產品的質量指標品的質量指標(如長度、如長度、重量、強度等重量、強度等)的測量的測量結果；人的身高、體重；單位面積農作物的產量等都具有或近結果；人的身高、體重；單位面積農作物的產量等都具有或近似地具有正態分布似地具有正態分布一般地，如果某個數量指標一般地，如果某個數量指標X 是很多隨機是很多隨機因素的和，而每個因素所起的作用均勻微小，則因素的和，而每個因素所起的作用均勻微小，則X 為服從正態為服從正態分布的隨機變量分布的隨機變量 例如：大量生產某一產品，當設備、技術、原料、操作等例如：大量生產某一產品，當設備、技術、原料、操作等可控制的生產條件都相對穩定，不存在產

17、生系統誤差的明顯因可控制的生產條件都相對穩定，不存在產生系統誤差的明顯因素，則產品的質量指標近似服從正態分布又如，大地測量及素，則產品的質量指標近似服從正態分布又如，大地測量及化學分析中某元素含量的測定，測量及測定結果通常可以表示化學分析中某元素含量的測定，測量及測定結果通常可以表示為為X= ae，其中，其中a為真值，為真值，e 表示隨機誤差，那么表示隨機誤差，那么e 和和X一般都一般都服從正態分布正態分布還是許多概率分布的極限分布例如，服從正態分布正態分布還是許多概率分布的極限分布例如，服從二項分布的隨機變量服從二項分布的隨機變量XB(n，p)，當，當n 充分大，而充分大，而p 不是很不是很

18、小，則小，則X 近似服從近似服從N(np,npq)，那么，那么 )()(2122abdtebnpqnpXaPbat 第五章將作詳細介紹第五章將作詳細介紹. 由于正態分布的重要地位，人們特地編制了標準正態分布由于正態分布的重要地位，人們特地編制了標準正態分布函數值表函數值表(見附表見附表1)以方便計算標準正態分布以方便計算標準正態分布N(0，1)的分布函的分布函數具有以下性質：數具有以下性質： (1) (0) =0.5； (2) ( x) =1 (x) (簡略證明簡略證明) 當當X N(,2) 時，其分布函數時，其分布函數F(x)可以通過變量代換轉可以通過變量代換轉化為標準正態分布的函數化為標準

19、正態分布的函數(x) 來表示事實上，在一般正態分來表示事實上，在一般正態分布的分布函數中布的分布函數中, 只需令只需令u = (t )/, 則可得則可得dtexFtx222)(21)( )(2122 xdtetx)()( xxF顯然，還有下列關系式成立：顯然，還有下列關系式成立：Px1Xx2 =F(x2)F(x1) )()(12 xx 例例6 XN(0,1)，求，求PX1.5，PX1，P|X|1，P|X|3 解解 查附表查附表1可得：可得：PX1.5= (1.5) = 0.9932 PX1 =1PX1 =1(1) =10.8413 = 0.1587 P|X|1= P1X1= P1X1 = (1

20、) (1) 表中只有表中只有x0 時的值，這里利用性質時的值，這里利用性質 ( x) =1 (x) P|X|1 = (1) (1) = (1) 1 (x) = 2(1) 1= 20.841 31 = 0.6826 P|X|2=2(2) 1=20.97721 = 0.9544 P|X|3=2(3) 1 = 20.99871 = 0.99741| XPXP對于對于X ),(2 N =(1)(1) = 0.6826 222| XPXP =(2)(2) = 0.9544333| XPXP =(3)(3) = 0.9974 由此可見當由此可見當X N(,2) 時，時，X 以很大的概率在區間以很大的概率在

21、區間 (3 , + 3) 內取值，在此區間之外的概率不超過內取值，在此區間之外的概率不超過 0.0026，這就是統計推斷中，這就是統計推斷中“3原則原則”的道理的道理 例例7 若若X N(0，1) ，當，當 = 0.10、 = 0.05、 = 0.01時，分別確定時，分別確定u0，使得，使得P|X|u0 = 解解 P|X|u0 = PXu0 PXu0 = (u0)1PXu0 =1(u0) 1 (u0) = 22 (u0) 若若P|X|u0= ，則，則(u0) =1/2于是，當于是，當= 0.10 時時(u0) = 0.95 ，查表得，查表得u0= 1.645 當當= 0.05時時(u0) = 0.975，查表得，查表得u0= 1.96 當當= 0.01時時(u0) = 0.995，查表得，查表得u0= 2.58這里所求的這里所求的u0