1、 1. 掌握求兩圓內外公切線長的方法。掌握求兩圓內外公切線長的方法。 2.掌握兩圓內公切線的性質，并能根據內公切線的概念及掌握兩圓內公切線的性質，并能根據內公切線的概念及其性質其性質 解答有關的計算和證明問題。解答有關的計算和證明問題。 3.掌握用直尺作兩圓內公切線的方法，了解用兩圓內公切掌握用直尺作兩圓內公切線的方法，了解用兩圓內公切線的尺規作圖法。線的尺規作圖法。(2)天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群公切線的概念：內公切線的概念： 在上一講的學習中，我們已經知道：和兩個圓都相切在上一講的學習中，我們已經知道：和兩個圓都相切的直線

2、，叫做的直線，叫做兩圓的公切線兩圓的公切線，若兩個圓在公切線兩旁時，若兩個圓在公切線兩旁時，這樣的公切線叫做這樣的公切線叫做內公切線內公切線。 當兩圓外離時，有兩條內公切線，當兩圓外切時有一當兩圓外離時，有兩條內公切線，當兩圓外切時有一條內公切線，兩圓相交，內切或內含時無內公切線。條內公切線，兩圓相交，內切或內含時無內公切線。 22內公切線的性質：內公切線的性質：3內公切線長的計算：內公切線長的計算：如圖，作如圖，作O1EAB交交O2B的延長線于的延長線于E， 兩圓外離時，有兩條內公切線、由圓的對稱性可知這兩圓外離時，有兩條內公切線、由圓的對稱性可知這兩條內公切線的長相等，且兩公切線的交點在連

3、心線上，兩條內公切線的長相等，且兩公切線的交點在連心線上，連心線平分兩內公切線的夾角。如圖連心線平分兩內公切線的夾角。如圖(1)所示：內公切線所示：內公切線 AB CD，AB與與CD的交點的交點P在連心線在連心線O1O2上，上，APO1CPO2 .ABCDPRrO2O1E22)(rRd構成構成RtO1EO2，則則O2ERr，O1O2d，ABO1E 。設設 O1和和 O2的半徑分別為的半徑分別為r，R，3例例2、（教材例、（教材例2）已知：）已知： O1和和 O2的半徑分別的半徑分別為為4厘米和厘米和2厘米，圓心距厘米，圓心距 為為10厘米，厘米，AB是是 O1和和 O2的一條內公切線，切點分別

4、是的一條內公切線，切點分別是A，B求：公切線的長求：公切線的長AB。解 ： 連 結解 ： 連 結 O1A 、 O2B ， 作作 O1A A B ，O2BAB過過 O1作作O1CO2B，交交O2B的延長線于的延長線于C，則則O1C= AB，O1A=BC在在RtO2CO1和和O1O2=10，O2C= O2B+ O1A=6O1C= (cm) AB=8（cm）O O1O O2ABC86102244范例解析：范例解析：例例1 要做一個如圖那個的要做一個如圖那個的V形架，將兩個鋼管托起，已知形架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為鋼管的外徑分別為200mm和和80mm，求求V形角形角 的度數。的度數。O

5、2O1CBAPDE5 連結連結O1O2、O1A、O2B，過過O1作作O1CAB交交O2B延長延長線于線于C，則則O1AAB，O2BAB，四邊形四邊形AO1CB為矩形。為矩形。例例2 已知已知 O1與與 O2的半徑之和等于的半徑之和等于8cm，兩圓的一條兩圓的一條內公切線長為內公切線長為6cm，求這兩圓的圓心距。求這兩圓的圓心距。(如圖如圖)解：解：O1CAB6cm，O1ABCO2CO2BBCO2BO1A8cmO1O2 10(cm)2268 6可知可知 ，O O1 1Q QO O2 2Q QO O1 1B BO O2 2A A分析：分析：例例3 如圖如圖5，已知，已知 O1和和 O2的內公切線的

6、內公切線CD和外公切和外公切線線AB分別與連心線分別與連心線O1O2相交于相交于P、Q， 直接證明這個比例式較困難，直接證明這個比例式較困難，為此先看比為此先看比 ，O O1 1P PO O2 2P P因此可得因此可得 ，O O1 1P PO O2 2P PO O1 1C CO O2 2D D注意注意CD為內公切線，為內公切線， 連連O1C、O2D可得可得O1CO2D，O O1 1P PO O2 2P PO O1 1Q QO O2 2Q Q求證：求證： . 連連O1B、O2A可得可得O1BO2A，而而O1CO2B，O2A O2D，同樣注意同樣注意 和和AB為公切線，為公切線，O O1 1Q Q

7、O O2 2Q Q得得 ，故可以得證，故可以得證 .O O1 1C CO O2 2D DO O1 1B BO O2 2A AO2O1ABCDQP7證明：連結證明：連結O1C、O1B、O2A、O2D ，O O1 1P PO O2 2P PO O1 1C CO O2 2D DCD為為 O1和和 O2的內公切線的內公切線O1CCD，O2DCDO1CO2DO1BAB，O2AAB又又AQ為為 O1和和 O2的外公切線的外公切線O1BO2AO1CO1B，O2DO2A O O1 1Q QO O2 2Q QO O1 1A AO O2 2B B .O O1 1P PO O2 2P PO O1 1Q QO O2

8、2Q QO2O1ABCDQP8 本講著重介紹了求內公切長的方法、內公切線的性質、內公本講著重介紹了求內公切長的方法、內公切線的性質、內公切線的作法以及內公切線條數與兩圓位置之間的聯系，這些都是切線的作法以及內公切線條數與兩圓位置之間的聯系，這些都是有關內公切線的基本知識，應當認真體會，確實掌握好。有關內公切線的基本知識，應當認真體會，確實掌握好。 內公切線是圓的切線，因此具有圓的切線的性質，例如內公內公切線是圓的切線，因此具有圓的切線的性質，例如內公切線垂直過切點的半徑。在解答有關內公切的問題時，常常要連切線垂直過切點的半徑。在解答有關內公切的問題時，常常要連結圓心和切點，得出垂直關系，并且據

9、此可以推出兩圓外切時，結圓心和切點，得出垂直關系，并且據此可以推出兩圓外切時，內公切線垂直連心線。內公切線垂直連心線。 如果兩圓外切或內切時，過切點作兩圓的公切線是解題時常如果兩圓外切或內切時，過切點作兩圓的公切線是解題時常用的輔助線，因為這條切線是兩圓公共的切線，其作用是可以構用的輔助線，因為這條切線是兩圓公共的切線，其作用是可以構成兩個圖中的有關角的關系，從而為利用弦切角、圓周角、圓心成兩個圖中的有關角的關系，從而為利用弦切角、圓周角、圓心角等的性質創造了條件。由此達到計算和論證的目的。角等的性質創造了條件。由此達到計算和論證的目的。91兩圓半徑分別為兩圓半徑分別為8和和5，若兩圓共有三條

10、公切線，那么圓心距，若兩圓共有三條公切線，那么圓心距d為為( )Ad3B3d13Cd13Dd13 A兩圓有兩條外公切線，有且只有一條內公切線。兩圓有兩條外公切線，有且只有一條內公切線。 B兩圓既有兩條外公切線，又有兩條內公切線。兩圓既有兩條外公切線，又有兩條內公切線。 C兩圓只有兩條外公切線，沒有內公切線。兩圓只有兩條外公切線，沒有內公切線。 D兩圓既無外公切線，又無內公切線。兩圓既無外公切線，又無內公切線。3若若 O1和和 O2的半徑分別為的半徑分別為3cm和和1cm，其內公切線長為其內公切線長為4cm，則則O1O2 長為長為 _ 。4兩圓外離，圓心距為兩圓外離，圓心距為25cm，兩圓的周長

11、為兩圓的周長為15cm和和10cm，則內公切則內公切 線與連心線的夾角（銳角）等于線與連心線的夾角（銳角）等于 _ 。2 O1與與 O2的半徑分別為的半徑分別為 cm和和 cm，O1O22 cm，則則( )756105已知：如圖已知：如圖(6)， O1與與 O2外切于點外切于點T，外公切線外公切線AB與連心線與連心線O1O2交于交于P，A、B是切點，是切點，求證：求證：(1)ATB90； (2)PT2PBPA .116若兩圓內切時，圓心距為若兩圓內切時，圓心距為14cm，外切時，圓心距為外切時，圓心距為40cm，則兩圓圓心則兩圓圓心 距為距為50cm時，內公切線的長為時，內公切線的長為_cm。

12、8如圖所示，已知兩圓的內公切線互相垂直，若兩圓的如圖所示，已知兩圓的內公切線互相垂直，若兩圓的半徑分別為半徑分別為5和和4厘米，則兩圓圓心距為厘米，則兩圓圓心距為( )7若外離兩圓的半徑是若外離兩圓的半徑是5cm和和3cm，內公切線與連心線所夾銳內公切線與連心線所夾銳角的正弦為角的正弦為 ，則內公切線長，則內公切線長_ cm，圓心距為圓心距為_cm。45A . 9cm B . 9 cm C . cm D . cm292241129若若 O1與與 O2外離，外離，A、B是一條內公切線與兩條外公切是一條內公切線與兩條外公切線的交點，則線的交點，則 AB的長的長( )( )A等于一條外公切的長。等于

13、一條外公切的長。B等于內公切線長與外公切線長的平均數。等于內公切線長與外公切線長的平均數。 C等于內公切線長與外公切線長的比例中項。等于內公切線長與外公切線長的比例中項。 D當且僅當兩圓為等圓時等于一條外公切線的長。當且僅當兩圓為等圓時等于一條外公切線的長。13 10已知：如圖，兩圓外切于已知：如圖，兩圓外切于P，直線直線MN與兩圓分別切于與兩圓分別切于M、N，過過P作一直作一直 線交兩圓于線交兩圓于A、B，求證：求證：AMBN . .14課外作業課外作業2兩圓的半徑分別為兩圓的半徑分別為2.5和和1.5，圓心距為，圓心距為5，則兩圓的內公切線，則兩圓的內公切線長為長為_ 。3兩圓共有四條公切

14、線，如果兩圓圓心距為兩圓共有四條公切線，如果兩圓圓心距為12，大圓半徑為，大圓半徑為7，則小圓半徑的所有可能的正整數值是則小圓半徑的所有可能的正整數值是_ 。1 如果兩圓半徑分別為如果兩圓半徑分別為4cm和和6cm，其圓心距為其圓心距為20cm，則則兩圓的兩條內公切線所成的角是兩圓的兩條內公切線所成的角是_度。度。154已知：如圖已知：如圖(7)， O1與與 O2外切于點外切于點A，BC是是 O1和和 O2的外公切線，的外公切線，B、C為切點，過為切點，過A作直線作直線EF交交 O1于于E，交交 O2于于F，連結連結EB、FC并延長交于并延長交于G，(7)求證：求證：GB2GC2BC2。165

15、如圖如圖(8)， O1與與 O2外切于外切于E點，點，AF是外公切線，直線是外公切線，直線AB、CD過點過點E，分別與分別與 O1、 O2交于點交于點A、C、B、D，若若AF2AE，3AE2CE， AF4，求求DE的長。的長。176若兩圓外離且外公切線長若兩圓外離且外公切線長m與內公切線長與內公切線長n的大小關系的大小關系是是( )7如果兩圓的半徑和它們的圓心距分別等于一個三角如果兩圓的半徑和它們的圓心距分別等于一個三角形的三條邊，那么形的三條邊，那么 這兩圓的公切線的條數是這兩圓的公切線的條數是( ) AmnBmnCmnD不能確定不能確定A4B3C2D1188如圖，兩圓的兩條內公切線和一條外公切線圍成如圖，兩圓的兩條內公切線和一條外公切線圍成ABC，則則ABC的周長等于的周長等于( )A一條外公切線長的二倍。一條外公切線長的二倍。 B兩條內公切線長的和。兩條內公切線長的和