1、CopyrightLinhui, Department of Finance, Nanjing University整理ppt1金融工程學金融工程學第九章第九章 二叉樹期權定價模型二叉樹期權定價模型 整理ppt29.1 概述概述 二叉樹期權定價（二叉樹期權定價（Binomial option Pricing Model）由）由Cox,Ross,Rubinstein等人提出等人提出 為期權定價模型為為期權定價模型為B-S模型提供一種比較簡模型提供一種比較簡單和直觀的方法單和直觀的方法 二叉樹模型已經成為建立復雜期權（美式二叉樹模型已經成為建立復雜期權（美式期權和奇異期權）定價模型的基本手段期權和

2、奇異期權）定價模型的基本手段 對于所有不能給出解析式的期權，都可以對于所有不能給出解析式的期權，都可以通過二叉樹模型給出。通過二叉樹模型給出。整理ppt3A Simple Binomial Model A stock price is currently $20 In three months it will be either $22 or $18Stock Price = $22Stock Price = $18Stock price = $20整理ppt4Stock Price = $22Option Price = $1Stock Price = $18Option Price = $

3、0Stock price = $20Option Price=?A 3-month call option on the stock has a strike price of 21. 整理ppt5 Consider the Portfolio:long D D sharesshort 1 call optionPortfolio is riskless when 22D D 1 = 18D D or D D = 0.2522D D 118D DSetting Up a Riskless PortfolioD股股票股股票1份期權份期權=無風險證券無風險證券1份期權份期權= D D股股股股票票-

4、無風險證券無風險證券整理ppt69.2 單期二叉樹期權定價模型單期二叉樹期權定價模型 考慮一個買權在當前（考慮一個買權在當前（t0），下期（），下期（t1）到期到期 假設該買權的標的股票是一個服從二項分布假設該買權的標的股票是一個服從二項分布的隨機變量。當前為的隨機變量。當前為s0，到期為，到期為s110010011,1,1Pr(),Pr() 1ududSSuSS uSSdSS dob SSqob SSq 或者其中，其中，u為上漲因子，為上漲因子，d為下跌因子為下跌因子整理ppt7S1=Su=uS0S1=Sd=dS0S0q1-q問題：問題：如何確定該期權在期初的價值如何確定該期權在期初的價值c

5、0？設想：設想：構造如下投資組合，以無風險利率構造如下投資組合，以無風險利率r借入資金借入資金B（相當于無風險債券空頭），并且在股票市場上購入（相當于無風險債券空頭），并且在股票市場上購入N股股票（股票多頭）。股股票（股票多頭）。目的目的：在買權到期日，上述投資組合的價值特征與買：在買權到期日，上述投資組合的價值特征與買權完全相同。權完全相同。整理ppt8 期初，構造上述組合的成本為期初，構造上述組合的成本為0NSB 期末，若希望該組合的價值期末，若希望該組合的價值V與買權的價值完全與買權的價值完全相同相同uuruddrdVNSBecVNSBec 由上兩式得到由上兩式得到0()/()()/()

6、()/()()/()/()udududduududrddrudrNccSSccud SBS cS cSSeNScedcucud e整理ppt9 由此得到的組合由此得到的組合 稱為合成期權稱為合成期權（synthetic option）0NSB由無套利定價原則，期權買權的價值就為由無套利定價原則，期權買權的價值就為00cNSB0hererdrude SSedpSSud，(1)udrpcp c e0()/()()/()()/()()/()/()udududduududrddrudrNccSSccud SBS cS cSSeNScedcucud e整理ppt10例子例子 假設有一個股票買權合約，到期

7、日為假設有一個股票買權合約，到期日為1年，執行年，執行價格為價格為112美元，股票當前的價格為美元，股票當前的價格為100美元，無美元，無風險利率為風險利率為8（連續復利折算為單利）。在到（連續復利折算為單利）。在到期日股票的價格有兩種可能：期日股票的價格有兩種可能：180美元或者美元或者60美美元，求期權的價值？元，求期權的價值？S1=Su=uS0180S1=Sd=dS0=60S0q1-qC0？c1=cu=max(0, Su-112)68c1=cd=max(0, Sd-112)0整理ppt11()/()(680)/(18060)0.57()/(0.57 600)/1.0831.48ududd

8、drNccSSBNSce01.08 100600.418060rdude SSpSS0(1)25.18(udrcpcp c e美元)整理ppt12討論討論風險中性概率風險中性概率p。考慮離散的場合，定義總收。考慮離散的場合，定義總收益率益率0011,11ududSSRuRdSS 若定義若定義1rmRer 則則redRdpudud(1)(1)1ududmRdRdpRp RRRRrudud 整理ppt13 上式表明，以上式表明，以p計算的標的股票投資回報率計算的標的股票投資回報率的期望值等于無風險利率。的期望值等于無風險利率。 同時，按照同時，按照p計算的買權的投資回報率的期計算的買權的投資回報率

9、的期望值也等于無風險利率。望值也等于無風險利率。0(1)/11udrmpcp ccer 所以，所以，p是使得風險性的股票投資和買權投是使得風險性的股票投資和買權投資的期望回報等于無風險利率的概率，因資的期望回報等于無風險利率的概率，因此，稱為風險中性概率（此，稱為風險中性概率（risk neutral probability）整理ppt14股價上升概率股價上升概率q是投資者對標的股票價格是投資者對標的股票價格上漲可能性大小的主觀判斷。上漲可能性大小的主觀判斷。雖然各個人對雖然各個人對q的信念是不同的，但是在期的信念是不同的，但是在期權的定價過程中并沒有涉及到權的定價過程中并沒有涉及到q，也就是

10、人，也就是人們對們對q認識的分歧并不影響對期權的定價結認識的分歧并不影響對期權的定價結果。果。投資者最終都一致風險中性概率投資者最終都一致風險中性概率p，它只取，它只取決于決于R，u，d這三個客觀因子這三個客觀因子討論討論整理ppt15風險中性的另一種解釋風險中性的另一種解釋 若在期初構造如下組合：以若在期初構造如下組合：以S0的價格買入的價格買入N股股票，同時以股股票，同時以c0的價格賣出一個期權，則的價格賣出一個期權，則該組合的投資成本為該組合的投資成本為NS0c0，若無套利它，若無套利它必然等于必然等于B。 證明：若證明：若S1Su()/()ududuurVccSSScBe若若S1Sd(

11、)/()ududddrVccSSScBe整理ppt16 這說明，上述風險性資產投資的組合相當這說明，上述風險性資產投資的組合相當于一個無風險的套期保值組合于一個無風險的套期保值組合 所以，投資的風險態度對于這樣的組合是所以，投資的風險態度對于這樣的組合是無關緊要。無關緊要。 基于上述的理由，只要以上述方式構建投基于上述的理由，只要以上述方式構建投資組合來對期權定價，就等價于假設投資資組合來對期權定價，就等價于假設投資者是風險中性的，由此就大大簡化對期權者是風險中性的，由此就大大簡化對期權的推導過程。的推導過程。整理ppt17套期保值比率套期保值比率根據上面的討論，為保證期初的投資組合根據上面的

12、討論，為保證期初的投資組合（合成期權）能夠完全復制買權到期時候的（合成期權）能夠完全復制買權到期時候的價值特征，需要購買的標的股票數量價值特征，需要購買的標的股票數量N()/()ududNccSSN是期末買權價值之差與標的股票價格之差是期末買權價值之差與標的股票價格之差的比值，該比率稱為套期保值比率，即期權的比值，該比率稱為套期保值比率，即期權的的Delta。整理ppt180000cNSBdcNdS在其他條件不變的條件下，如果股票在其他條件不變的條件下，如果股票價格發生微小變化，則期權價值的變價格發生微小變化，則期權價值的變化為化為00/NdcdS所以，所以，N套期保值比率套期保值比率整理pp

13、t19 由于標的資產市場價格是一個連續（接近由于標的資產市場價格是一個連續（接近連續）的隨機變量，不可能只有兩種情形。連續）的隨機變量，不可能只有兩種情形。 兩期：若把從定價日至到期日的時間劃分兩期：若把從定價日至到期日的時間劃分為兩個階段，在每一個階段，仍然假設標為兩個階段，在每一個階段，仍然假設標的資產價格只可能取兩種狀態，上漲和下的資產價格只可能取兩種狀態，上漲和下跌，且上漲和下跌的幅度不變，則可以證跌，且上漲和下跌的幅度不變，則可以證明，第二階段結束時候，標的資產價格的明，第二階段結束時候，標的資產價格的取值為取值為3個個9.3 多期二叉樹期權定價模型多期二叉樹期權定價模型整理ppt2

14、0 n期：若將定價日到到期日的時間進一步細期：若將定價日到到期日的時間進一步細分為分為n個階段，則標的資產在到期日的狀態個階段，則標的資產在到期日的狀態可能取值為可能取值為n1個個.若若n，即每個階段所對應的長度無窮小，即每個階段所對應的長度無窮小，則完全有理由用兩狀態的二叉樹來近似表示標則完全有理由用兩狀態的二叉樹來近似表示標的資產價格的連續變化過程的資產價格的連續變化過程數學意義：用無窮期的二項式模型來逼近一個數學意義：用無窮期的二項式模型來逼近一個標的資產價格連續變化的期權定價模型。標的資產價格連續變化的期權定價模型。 思路：推導出思路：推導出n期的二項式模型，然后令期的二項式模型，然后

15、令n趨于無窮。趨于無窮。整理ppt21兩期模型兩期模型S0c0Su,cuuduuddSd,cdSuu,cuuSud,cudSdd,cdd其中，其中，u1/d整理ppt22 第二期本來有四種狀態，但若規定第二期本來有四種狀態，但若規定u1/d，則第二、三兩種狀態為同一結果，可以將則第二、三兩種狀態為同一結果，可以將其合并，由期權的定義式其合并，由期權的定義式兩期模型兩期模型20002max(0,)max(0,)max(0,max(0,)max(0,)ma)x(0,uuuuudduudddddudScSXu SXccSXcSXd SXX整理ppt23 由風險中性定價公式，由風險中性定價公式，為單位

16、時間為單位時間(1)(1),uuuudrrdudddrcpcp ceedcpcp cepud2222 (1)(1)uuudddrp cpp cp ce0(1)udrcpcp ce整理ppt2420002max(0,)max(0,)max(0,max(0,)max(0,)ma)x(0,uuuuudduudddddudScSXu SXccSXcSXd SXX22202 (1)(1)uuudddrcp cpp cpce22002220max(0,)2 (1)max(0,)(1)max(0,)rpu SXppudSXpd SX e整理ppt25定價思路：倒推定價法定價思路：倒推定價法 首先得到二期節點

17、的股票價格，從而得到首先得到二期節點的股票價格，從而得到該期的期權價格。該期的期權價格。 采用風險中性定價，通過貼現得到一期節采用風險中性定價，通過貼現得到一期節點的股票價格和期權價格。點的股票價格和期權價格。 由一期的股票價格得到期權價格，得到當由一期的股票價格得到期權價格，得到當前期權的價格。前期權的價格。 風險中性定價下，每一期的風險中性概率風險中性定價下，每一期的風險中性概率都是相同的。都是相同的。整理ppt26二叉樹定價模型的一般形式二叉樹定價模型的一般形式 二期模型可以推廣到二期模型可以推廣到n期的場合。假設當前期的場合。假設當前時刻時刻t0買入一個股票買權，該買權在買入一個股票買

18、權，該買權在n期期后到期。后到期。 標的股票當前價格為標的股票當前價格為S0，而在以后任意一，而在以后任意一期，股價的變化有兩個可能。這樣經過期，股價的變化有兩個可能。這樣經過n期期后，到期日股價為后，到期日股價為Sn為為0,0,1,.,jnjnSS u djn即上漲即上漲j次，下跌次，下跌nj次。次。整理ppt27 由概率論可知，由概率論可知，Sn服從二項分布，即服從二項分布，即Sn的的概率為概率為(1)jjnjnC pp()! !jnnjCn j按照二期模型的推導思路，從最后的按照二期模型的推導思路，從最后的n期開始逐期期開始逐期向前推導，則向前推導，則000(1)max(0,)njjnj

19、jnjnrnjcC ppS u dX e整理ppt2822220200(1)max(0,)jjjjjrjcC ppS u dXe二期情形下二期情形下002022201111122022020220(1) max(0,)(1) max(0,)(1) max(0,)rrrC ppS u dX eC ppS u dX eC ppS u dX e2220202220(1) max(0,)2 (1)max(0,)max(0,)rrrpS dX eppS udX epS uX e整理ppt29000(1)max(0,)njjnjjnjnrnjcC ppS u dX e由上式，隨著由上式，隨著j增加，增加，

20、 在逐漸增加在逐漸增加0jnjS u d則必然存在一個充分大的則必然存在一個充分大的jmm，使得，使得0jnjS u dX這樣這樣00(1)()njjnjjnjnrnj mcC ppS u dXe整理ppt30000(1)()njjnjjnjnrnjcC ppS u dX e不妨記不妨記rppu e1(1)rpp d e由于由于redpud00(1)(1)nnjjnjnrjjnjnnj mj mcSC ppXeC pp則則0( ,)( , )nrS B n m pXeB n m p整理ppt3100( ,)( , )nrcS B n m pXeB n m p就是就是n期買權二項式定價模型。這里

21、期買權二項式定價模型。這里( , )(1)njjnjnj mB n m pC pp為二項分布函數。它代表在給定的每期股價向上運動為二項分布函數。它代表在給定的每期股價向上運動的概率的概率p之下，股價經過之下，股價經過n期的運動至少上升期的運動至少上升m次、期次、期末價格大于執行價格末價格大于執行價格X的概率，即的概率，即0( , )Pr()mjnjB n m pob jmS u dX其中， 是使最小正整數。最小正整數。整理ppt32 二叉樹定價中關鍵是確定二叉樹定價中關鍵是確定u和和d，它們代表，它們代表了瞬間的波動性，一般地，可以假設在非了瞬間的波動性，一般地，可以假設在非常小的區間常小的區

22、間內內,uede 證明：證明：000(1)rS epS up S d(1)repup dredpud整理ppt33ud1p1-p由二叉樹可得，股價回報率波動的方差為由二叉樹可得，股價回報率波動的方差為22222var( )() ( )(1)(1) QE QE Qpup dpup d整理ppt34 若市場有效，則股票價格的波動過程服從若市場有效，則股票價格的波動過程服從幾何布朗運動，則其瞬間的波動為幾何布朗運動，則其瞬間的波動為 2222(1)(1) pup dpup d redpud把把代入上式得到代入上式得到22()rreudude CRR增加條件，使得二叉樹成立則有增加條件，使得二叉樹成立

23、則有u1/d整理ppt35122() 1rreuue 將上面的等式在將上面的等式在0處展開，忽略處展開，忽略2階以上高階階以上高階項，則項，則2211uede By Cox，Ross and Rubinstein（1979）。）。整理ppt36實際運用實際運用從當前時刻，由從當前時刻，由S0，u，d向前推算，得到向前推算，得到標的股票在第標的股票在第1,2,n各期的取值。這樣各期的取值。這樣建立標的股票的狀態數，它反映了股價的建立標的股票的狀態數，它反映了股價的變化路徑。變化路徑。根據第根據第n期的股價（估計值）求出期權相期的股價（估計值）求出期權相應的價值應的價值從第從第n期起，循著狀態樹逆

24、向遞推，分別期起，循著狀態樹逆向遞推，分別計算前期的期權可能值，直到當前時刻。計算前期的期權可能值，直到當前時刻。整理ppt37 美式期權可以提前執行，提前執行從表面上看是美式期權可以提前執行，提前執行從表面上看是一個非常微小的變化，但是歐式期權與美式期權一個非常微小的變化，但是歐式期權與美式期權（尤其是看跌期權）價值有很大的不同。（尤其是看跌期權）價值有很大的不同。 值得注意的是，美式期權要在樹型結構的每一個值得注意的是，美式期權要在樹型結構的每一個結點上，比較在本時刻提前執行期權和繼續再持結點上，比較在本時刻提前執行期權和繼續再持有時間，到下一個時刻再執行期權，選擇其中較有時間，到下一個時

25、刻再執行期權，選擇其中較大者作為本結點的期權價值大者作為本結點的期權價值。 美式期權沒有解析解，故采用美式期權沒有解析解，故采用二叉樹二叉樹方法來逼近。方法來逼近。9.4 美式期權的二叉樹定價美式期權的二叉樹定價 整理ppt38 以無收益證券的美式看跌期權為例。把該期權以無收益證券的美式看跌期權為例。把該期權有效期劃分成有效期劃分成N N個長度為個長度為的小區間，令的小區間，令 表示在時間表示在時間 時第時第j j個結個結點處的美式看跌期權的價值，同時用點處的美式看跌期權的價值，同時用 表示結點表示結點 處的證券價格，可得：處的證券價格，可得： 后，假定期權不被提前執行，則在風險中性后，假定期

26、權不被提前執行，則在風險中性條件下：條件下： ,max(,0)jNjN jfXSu d1,11,(1)rijijijfepfp f)0 ,0(ijNifiji0jijS u d),(jii整理ppt39證券價格的二叉樹結構證券價格的二叉樹結構1234整理ppt40舉例說明舉例說明 假設標的資產為不付紅利股票假設標的資產為不付紅利股票,其當前市場其當前市場價為價為50元元,波動率為每年波動率為每年40%，無風險連續，無風險連續復利年利率為復利年利率為10%，該股票，該股票5個月期的個月期的美式美式看跌期權協議價格為看跌期權協議價格為50元，求該期權的價元，求該期權的價值。值。 利用倒退定價法，可

27、以推算出初始結點處利用倒退定價法，可以推算出初始結點處的期權價值為的期權價值為4.48元。元。整理ppt41 為了構造二叉樹，我們把期權有效期分為五段，為了構造二叉樹，我們把期權有效期分為五段，每段一個月（等于每段一個月（等于0.0833年）。可以算出年）。可以算出：1.12240.89090.507610.4924ttr tuedeedpudpDDD整理ppt42美式看跌期權二叉樹美式看跌期權二叉樹89.070.0079.350.0070.7070.700.000.0062.9962.990.640.0056.1256.1256.122.161.300.0050.0050.0050.004.

28、493.772.6644.5544.5544.556.966.385.4539.6939.6910.3610.3135.3635.3614.6414.6431.5018.5028.0721.93X500.1 0.0833(0.5076 5.450.4924 14.64)9.90e整理ppt43支付已知紅利率資產的期權定價支付已知紅利率資產的期權定價 如果如果 時刻在除權日之前，則結點處證券價格時刻在除權日之前，則結點處證券價格（含權價）仍為：（含權價）仍為： 如果如果 時刻在除權日之后，則結點處證券價格時刻在除權日之后，則結點處證券價格相應調整為：相應調整為： 對在期權有效期內有多個已知紅利率

29、的情況，對在期權有效期內有多個已知紅利率的情況，i0,0,1,jijS u dji0(1)jijSu d0(1)jijiSu di二叉樹定價模型的深入理解二叉樹定價模型的深入理解 二叉樹模型的基本出發點：假設資產價格的運動是由大二叉樹模型的基本出發點：假設資產價格的運動是由大量的小幅度二值運動構成，用離散的隨機游走模型模擬量的小幅度二值運動構成，用離散的隨機游走模型模擬資產價格的連續運動可能遵循的路徑。資產價格的連續運動可能遵循的路徑。 二叉樹模型與風險中性定價原理相一致，即模型中的收二叉樹模型與風險中性定價原理相一致，即模型中的收益率和貼現率均為無風險收益率，資產價格向上運動和益率和貼現率均

30、為無風險收益率，資產價格向上運動和向下運動的實際概率并沒有進入二叉樹模型，模型中隱向下運動的實際概率并沒有進入二叉樹模型，模型中隱含導出的概率是風險中性世界中的概率，從而為期權定含導出的概率是風險中性世界中的概率，從而為期權定價。價。 當二叉樹模型相繼兩步之間的時間長度趨于零的時候，當二叉樹模型相繼兩步之間的時間長度趨于零的時候，該模型將會收斂到連續的對數正態分布模型，即布萊克該模型將會收斂到連續的對數正態分布模型，即布萊克舒爾斯偏微分方程。舒爾斯偏微分方程。 整理ppt459.5 二叉樹模型的程序二叉樹模型的程序 example ：Price an American call option using a binomial model. Again, the asset price is $100.00, the exercise price is $95.00, the risk-free interest rate is 10%, and the time to maturity is 0.25 years. It computes