1、一般地，對于一般地，對于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二項定理二項定理:一、新課引入一、新課引入二項展開式中的二項式系數指的是哪些？共二項展開式中的二項式系數指的是哪些？共有多少個？有多少個？ 下面我們來研究二項式系數有些什么性質？我下面我們來研究二項式系數有些什么性質？我們先通過們先通過楊輝三角楊輝三角觀察觀察n為特殊值時，二項式系數為特殊值時，二項式系數有什么特點？有什么特點？1“楊輝三角楊輝三角”的來歷及規的來歷及規律律 展開式中的二項式系數，如下表所示：展開式中的二項式系數，如下表所示： nba)( 1 1 1 2

2、1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab 0111C C012222C C C01233333C C C C0123444444C C C C C012345555555C C C C C C01234566666666C C C C C C C0121.rnnnnnnnnC C CCCC 展開式的二項式展開式的二項式系數依次是：系數依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 從函數角度看，從函數角度看， 可看可看成是以成是以r為自變量的函數為自變量的函

3、數 , ,其定義域是：其定義域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 當當 時，其圖象是右時，其圖象是右圖中的圖中的7個孤立點個孤立點6n2二項式系數的性質二項式系數的性質 （1）對稱性）對稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個二項式系數相等的兩個二項式系數相等 這一性質可直接由公式這一性質可直接由公式 得到得到mnnmn CC圖象的對稱軸圖象的對稱軸：2nr （2）增減性與最大值）增減性與最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于由于：所以所以 相對于相對于 的增減情況由的增減情況由 決定決定 knC1Cknkkn1（2）增減性與最大值）增減

4、性與最大值 由由：2111nkkkn 二項式系數是逐漸增大的，由對稱性可二項式系數是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。得最大值。 21nk 可知，當可知，當 時，時，（2）增減性與最大值）增減性與最大值 因此，因此，當當n為偶數時為偶數時，中間一項的二項式，中間一項的二項式2Cnn系數系數 取得最大值；取得最大值； 當當n為奇數時為奇數時，中間兩項的二項式系數，中間兩項的二項式系數 、21Cnn21Cnn相等，且同時取得最大值。相等，且同時取得最大值。（3）各二項式系數的和）各二項式系數的和 在二項式定理中，令在二項式定

5、理中，令 ，則：，則： 1bannnnnn2CCCC210 這就是說，這就是說， 的展開式的各二項式系的展開式的各二項式系數的和等于數的和等于：nba)( n2同時由于同時由于 ，上式還可以寫成：，上式還可以寫成：1C0n12CCCC321nnnnnn這是組合總數公式這是組合總數公式 一般地，一般地， 展開式的二項式系數展開式的二項式系數 有如下性質：有如下性質：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （3 3）當）當 時，時， （4 4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC 當當 時，時，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210課堂練習：課堂練習：1

6、）已知）已知 ，那么，那么 = ；2） 的展開式中，二項式系數的最大值的展開式中，二項式系數的最大值是是 ；3）若）若 的展開式中的第十項和第十一的展開式中的第十項和第十一項的二項式系數最大，則項的二項式系數最大，則n= ；591515,Ca Cb1016C9()ab()nab 二項展開式中的二項式系數都是一些特二項展開式中的二項式系數都是一些特殊的組合數，它有三條性質，要理解和掌握殊的組合數，它有三條性質，要理解和掌握好，同時要注意好，同時要注意“系數系數”與與“二項式系數二項式系數”的區別，不能混淆，只有二項式系數最大的的區別，不能混淆，只有二項式系數最大的才是中間項，而系數最大的不一定是中間