1、 本章討論本章討論方陣的特征值與特征向量理論方陣的特征值與特征向量理論及其及其在方陣對角化和二次型化簡問題上的應用。在方陣對角化和二次型化簡問題上的應用。1233,1,2,3iaaaia RR引引例例 3123100= 0= 1= 0001 R，123(1), 線性無關線性無關，且任一向量可由它們，且任一向量可由它們唯一唯一表出；表出；123(2), 互相互相垂直垂直，且，且長度都為長度都為1。在直角坐標系在直角坐標系的的3個軸上個軸上稱為稱為R3的一個的一個基基幾何向量的幾何向量的度量性質度量性質 長度、正交）概念長度、正交）概念無法推廣可推廣 在在 3 維幾何空間中，我們引進了向量的點積維

2、幾何空間中，我們引進了向量的點積xy112233x yx yx ycosxy注：注： (1) 則x = y, 若若0,0(2) ,則xy若若xx x2cos0 x x = xxxcosx y=xyx yx=xy y 1122nnxyxy,xyxy = xTy 或或 yTx顯然顯然, R . x, y = y, x; （交換律）（交換律）線性性線性性 x, y = x, y; （結合律）（結合律） x + y, z = x, z + y, z; （分配律）（分配律）非負性非負性 x, x 0, 且當且當 x 0 時有時有 x, x 0.x, y, z 為為 n 維維實實向量，向量， 為實數）：為

3、實數）： x, y 2 x, x y, y 00 ,x xx ,xx x（合理性依據：（合理性依據：x, x 0）22212nxxx 當當 x 0 時時, | x | 0; 當當 x = 0 時時, | x | = 0. | x | = | | x | ; | x + y | | x | + | y |.當當 | x | = 1 時時, 稱稱 x 為為.10 單位化(單位向量)xxx ) ) 定義定義arccos,x yxy（合理性依據：（合理性依據： x, y 2 x, x y, y ）1,x yxy)0(定義定義4 當當 x, y = 0 時時, 稱向量稱向量 x 與與 y （1）零向量與

4、任何向）零向量與任何向量正交量正交.（2）當）當 x 0, y 0 時時, x, y . arccos,2x yxy 已知已知 R3 中兩個正交的向量：中兩個正交的向量：試求一個試求一個非零非零向量向量 3 , 使使 1, 2, 3 兩兩正交兩兩正交.121112 ,11, aa 1 , 坐標為坐標為（1）V 中任一向量中任一向量 在在 e1 , e2 , , er 下的下的 設設 e1 , e2 , , er 是是 V 的一個的一個標準正交基標準正交基, 則則標準正交基的優點：標準正交基的優點：（2）設向量）設向量 在在 e1 , e2 , , er 下的坐標下的坐標分別為分別為 x1, x

5、2, , xr 和和 y1, y2 , , yr , 則則 + 設設143212101014542101113113211514321eeee,是是 R4 的一個的一個標準正交基標準正交基 , 試用試用 e1, e2 , e3 , e4 表示表示 .) 1, 1, 1, 1 (Ta（若用列擺行變法，本題數字很復雜。）（若用列擺行變法，本題數字很復雜。） 1 , 2 , , r 線性無關組線性無關組e1 , e2 , , er 標準正交基標準正交基 施施密密特特正正交交化化 b1 , b2 , , br 正交組正交組 單位化 設設 1 , 2 , , r 是向量空間是向量空間 V 的一個的一個基

6、基, 則則2121211, ,a bbb bba11ba121121112211, , ,rrrrrrrrra ba ba bbabbbb bb bbb313233121122, ,a ba bbabbb bb b21在 上的投影ab1a1 b2a2b投影投影1,1,2, .kkkkrebb21111, ,a bbb b1 , 2 , , r與與 , , , 等價等價 設設123114231110,aaa試用施密特正交化過程把這組向量標準正交化試用施密特正交化過程把這組向量標準正交化. 已知已知1111 a，求一組求一組非零非零向量向量a2 , a3 使使 a1 , a2 , a3 兩兩正交兩

7、兩正交.（自學）（自學）看看看看 Rn 的標準正交基構成怎樣的矩陣？的標準正交基構成怎樣的矩陣？令令 A = (a1, a2 , , an)，則，則設列向量組設列向量組a1, a2 , , an是是Rn 的的標準正交基標準正交基, 則則TTTT111121TTTT22122212TTTT12( ,)nnnnnnnnTaa aa aa aaa aa aa aa aAa.aa aa aAaEa1, ,( ,1,2, ).0,.Tijijiji jnija aa a當當（上述結論反之亦成立。）（上述結論反之亦成立。）( A 的的列列 (或或行行)向量組是向量組是 Rn 的標準正交基的標準正交基 (2) 例例5 下列矩陣下列矩陣都是正交矩陣嗎？都是正交矩陣嗎？100cossin11,0sincos2211022 10131103211032，11033111323111323，12036111326111326例例6.2121000021212121212121212121是正交矩陣是正交矩陣驗證矩陣驗證矩陣 P解解 P的每個的每個行行