1、湖北科技職業學院湖北科技職業學院線性方程組的解結構線性方程組的解結構齊次線性方程組的解結構齊次線性方程組的解結構非齊次線性方程組的解結構非齊次線性方程組的解結構湖北科技職業學院湖北科技職業學院齊次線性方程組的解結構齊次線性方程組的解結構例例1.判別方程組判別方程組有無非零解有無非零解,若有若有,寫出其通解寫出其通解.202520470330 xyzxyzxyzxyz解解 在在MATLAB中輸入該方程組的系數矩陣中輸入該方程組的系數矩陣A并將它并將它化為最簡行階梯形矩陣化為最簡行階梯形矩陣,所用命令如下所用命令如下: A=1 2 -1;2 5 2;1 4 7;1 3 3; rref(A)運行結果

2、為運行結果為湖北科技職業學院湖北科技職業學院ans = 1 0 -9 0 1 4 0 0 0 0 0 0由階梯形矩陣可知由階梯形矩陣可知R(A)=2 A=1 1 1 1 1;3 2 1 1 -3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1; format rat B=null(A , r) %求基礎解系求基礎解系湖北科技職業學院湖北科技職業學院B = 1 1 5 -2 -2 -6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 syms k1 k2 k3 %定義符號參數定義符號參數 X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3)X= k1+k2+5*k3 -2*k1-2k2-6k3 k1 k

3、2 k3湖北科技職業學院湖北科技職業學院即即為方程組的通解為方程組的通解,其中其中k1,k2,k3為任意實數為任意實數.123115226100010001Xkkk湖北科技職業學院湖北科技職業學院非齊次線性方程組的解結構非齊次線性方程組的解結構例例3.求解方程組求解方程組12312312233231xxxxxxxx 解解 在在MATLAB中輸入系數矩陣及常數列向量中輸入系數矩陣及常數列向量,并檢驗并檢驗系數矩陣是否逆系數矩陣是否逆,所用命令及結果如下所用命令及結果如下 A=2 1 1;3 1 2;1 -1 0; b=3 3 -1 ; det(A) %檢驗檢驗A是否可逆是否可逆ans = 2系數

4、矩陣行列式值等于系數矩陣行列式值等于2,是可逆是可逆的的,則可以用矩陣相除來求解則可以用矩陣相除來求解. X=AbX= 1 2 -1即是原方程組的解即是原方程組的解.湖北科技職業學院湖北科技職業學院例例4.求解方程組求解方程組1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx解解 先用先用MATLAB函數函數null求出對應的齊次線性方程求出對應的齊次線性方程組的基礎解系組的基礎解系,再利用其系數矩陣的上、下三角陣求出再利用其系數矩陣的上、下三角陣求出方程組的一個特解方程組的一個特解,這樣即可得到該方程組的通解這樣即可得到該方程組的通解,程程序如下序如下: A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; b=1 4 0 ; format rat C=null(A , r); %求基礎解系求基礎解系 L,U=lu(A); %A=LU,L為為上三角陣上三角陣,U為下三角陣為下三角陣 X0= U(Lb) %用用LU求出一個齊次方程的特解求出一個齊次方程的特解湖北科技職業學院湖北科技職業學院 syms k1 k2 X=k1*C(:,1)+k2*C(:,2)+X0運行結果為運行結果為X0 = 0 0 -8/15 3/5 X = 3/2*k1-3/4*k2 3/2*k1+7/4*k2 k1-8/15 k2+3/