1、、高等數(shù)學(xué)試題 2007/1/146小題，每小題4分，共24分)、填空題(將正確答案填在橫線上，本大題共11. lim(1 sin3x)2x .2.方程 x5 - 5x - 1 = 0 在(1, 2)內(nèi)共有 個(gè)根.3. 2 (x7 1)sin2xdx 2,arctan x .4. dx.x(1 x)5.球體半徑的增長(zhǎng)率為0.02m/s ,當(dāng)半徑為2 m時(shí)，球體體積的增長(zhǎng)率為 , n!xn ,6. 哥級(jí)數(shù)的收斂半徑n 0 n三、計(jì)算題(6分4 = 24分)1.設(shè)ln tt3，求副Word資料一 112 .求 lim -x 0 x xtan x2x .3 .求一,_ dx.4 x24 .已知(1-

2、1Unn 12, u2n 1n 15,求 Un n 1四、(10分)設(shè)y = xe x (0 x < + ),求函數(shù)的極大值，函數(shù)曲線的拐點(diǎn)，并求曲線與直線 圍成曲邊梯形的面積及此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積.x = 2, x = 1, y = 0 所五、(8分)將函數(shù)f (x)14x一展開(kāi)成(x 1)的哥級(jí)數(shù).并給出收斂域。 3一 x ,0x1x六、(8分)設(shè)f (x),適當(dāng)選取a, b值，使f (x)成為可導(dǎo)函數(shù)，令 (x) n f (t)dt ,并求ax b, x 1,0出(x)的表達(dá)式.(a, b),使 f ( ) = 0.七、(6分)設(shè)f (x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f (

3、a) = f (b), f (a) > 0, f (b) > 0,試證:答案：一、1. (C)2.(A)3.(B ) 4 .(D).5.(A)3二、1. e22.13. -4. (arctanx)2 C5. 0.326.e.2三、1.9. 2.1. 3. 2arcsin x ；x -4 x2C. 4.8.122 35 13四、極大值 y(1) 一，拐點(diǎn) 2,面積A ,體積V 2 4eee e4 e e五、2x2.2x 12. 一個(gè)圓錐形容器，深度為 為3.曲線y32x 6x 12x 4的拐點(diǎn)為4. f(x)1 ,展開(kāi)成1 xx 2的哥級(jí)數(shù)為三、（7分）設(shè) f(x)3 x2211；試

4、研究函數(shù)f（x）在0, 2上是否滿足拉格朗日中值定理的條件四、計(jì)算下列各題（本題共1 . limx 0ln(1 2sin x)2.6小題，每小題6分，共計(jì)36分）.2 .典1sin x x、口 x3.設(shè) yln、,1 t2arctant計(jì)44.計(jì)算積分ln(x.1 x六、a = 2, b =1,(x)二、高等數(shù)學(xué)試題2008/1/14、填空題（本題共 4小題，每小題4分，共計(jì)16分）3 2x1. y3 e sin(xy) 0在x 0處的切線方程是10m ,上面的頂圓半徑為4m ,則灌入水時(shí)水的體積 V對(duì)水面高度h的變化率5.計(jì)算積分6.求哥級(jí)數(shù)x2n 1x五、2n在收斂域上的和函數(shù).（7分）由

5、曲線y0, xy x2圍成曲邊三角形 OAB,其中A為y 0與x 8的交點(diǎn)，B為y8的交點(diǎn).在曲邊六、（7分）求心形線七、（7分）設(shè)f （*）是（Word資料+ ）內(nèi)的可微函數(shù)，且滿足:(1) f (x) > 0(2)存在0 <(an an 1)絕對(duì)收斂.1x (, + ),<1,使得 | f (x)| < f (x), x (, + ).),定義 an = ln f (a n 1), ( n = 1,2,),證明nWord資料（4分）設(shè)f （x）在a,b上二階可導(dǎo),(x) 0 ,證明bf (x)dx (ba)咤b).答案:1. B.2. A.3. A.4.C.二、1.

6、1.4 2.25h2.3. (2,12).4.Uxn 1 (x 0 32)n .四、1.22.1,3.d2y dx2t2t34. xln(x1, 1 x5. ln21 x1 < x < 1),6.C1 cos2x1C2 sin 2xxcosx32- sin x.9五.六.16 (T5256 丁.七。4提示：兩邊求導(dǎo)解微分方程。Taylor公式為, 一 ，、， a b八.提不：f （x）在x 處的一階2三、高等數(shù)學(xué)試題2009/1/16二、填空題（本題共5小題,每小題3分，共計(jì)1 5分)1.1-20在x 0處連續(xù)，則a =02.3.4.質(zhì)點(diǎn)以速度tsint2（米秒）做直線運(yùn)動(dòng)，則從時(shí)

7、刻 匕萬(wàn)（秒）到121（秒）內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程等于0,求 f (x).0（米）.5.以y1 = cos2 x, y2 = sin2 x為特解的常系數(shù)齊次線性微分方程為21x sin- x 三、(8分)設(shè)函數(shù) f(x)xxsin x x四、計(jì)算下列各題（本題共6小題，每小題6分，共計(jì)36分）.1.lim x( arctan x).22.五、(8分)設(shè) f (x)anxn 在1, 1上收斂，試證：當(dāng) a 0 = a 1 = 0時(shí)，級(jí)數(shù)1 “f ()收斂。n 1 n六、(8分)f(x)xxex,20 f (x 1)dx.七、(8分)在拋物線y =+ 1(x > 0)上求一點(diǎn)P,過(guò)P點(diǎn)作拋物線的

8、切線，使此切線與拋物線及兩坐標(biāo)d2y3.設(shè)函數(shù) y = y(x)由 y = 1 + xey確te,求 一2 dxx3 14 .設(shè)函數(shù)f (x)連續(xù)，且 0 f (x)dx x ,求f (7).1005 .判斷級(jí)數(shù)(1) 同的斂散性,如果收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂?軸所圍成的面積最小.八、(8分)求哥級(jí)數(shù)(x 1)(x1)22(x 1)33(1)n(x 1)nn在其收斂域上的和函數(shù)。f (x) 0九、(6分)設(shè)函數(shù)y = f(x)在(1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且(x)(0, 1),使(x) x(1)證明又于(1,1)內(nèi)任一 x 0,存在惟一的 f (x) = f (0) + xf 成立;(2)

9、求(x) .答案:1. B.2. A.3. B.4c5. D二、1. a2. dy3sin 2xf (sin x) dx .3.f(x)o(x3).5.y + 4y = 0.三、f (x)2y3.六.12xsin 一x sin xd2ye2 y(3 y)dx2(2y)32e七.Inx (0 < x2)1 cos-,x xcosx, 04. f(7)3 2、P(一,一)3 3四、1. 1 ._. x2. 2arcsin 一 21一 ,5.條件收斂12五.y = x3 + 3x + 1.四、高等數(shù)學(xué)試題2010/01/16二、填空題(本題共6小題，每小題4分，共計(jì)24分)11.若函數(shù)f(x)

10、(1 x)x x 0在x 0處連續(xù)，則a =a x 02.函數(shù)f (x)-sin x 在(0,)內(nèi)的極小值為222x) f(3)2xlirf x 03 .函數(shù)f (x)在(，)是可導(dǎo)的偶函數(shù)，且為., x1 4.4 .右 0 f (t)dt x ,則 f (1) =.1,則y = f (x)在點(diǎn)(3, f ( 3)處的切線斜率5.若f ( x)sin 2 xdxf (x)在,上連續(xù)，則2 f (x)2 2萬(wàn)6.設(shè)f (x)是以2為周期的函數(shù)，其表達(dá)式為f (x)2,1 x 0,2則f (x)的Fourier級(jí)數(shù)在x = 1處收斂x ,0x1, o三、計(jì)算下列各題(本題共6小題，每小題6分，共計(jì)

11、36分).求dy dx3 -x sin ).2a 一 x ,arcsin 一 (a > 0),2 a22.求極限lim( xx3 .計(jì)算不定積分,.、2 ,(arcsinx) dx.5 x 14 .計(jì)算te積分d dx .°3x 1x 拒coSt, d 2y5 .若，求VyV2sin31,dx t -，一 一 ,11 x，、一 .-一6 .如果 y = f (x)滿足 y ,2 x o( x),且 f (1) = 1,求 f (x).2x xx四、(8分)擺線ya(t sint),(a > 0)的第一拱(0a(1 cost),t 2 ),求(1)該擺線的弧長(zhǎng)；(2)該擺線

12、與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積.五、(8 分)設(shè) f (x) = x + x2, x ,),將 f (x)展開(kāi)成 1 ，一Fourier級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)一2的和。n 1 na六、(4分)若f (x)在0, a上連續(xù)，且° f(x)dx 0,證明至少存在一點(diǎn) (0, a),使得f( )0 f (x)dx 0 .答案：一、1. A. 2. B. 3. A. 4.C.5. D、1. e.2 x2. -.3. 2.4.2.5.02.6.3. x(arcsinx)2 2 1 x2 arcsinx 2x C ,4.6,5.6.2x x22五、6五、高等數(shù)學(xué)試題2011/01/14

13、、填空題1.2.設(shè) y = lnx, y(n)(1)二xe .dx1e2x2、 ,3、 1 (x cosx )xdx .- 1、一,4.位于y軸右側(cè)，x軸上萬(wàn)，曲線y 2下萬(wàn)的平面圖形的面積為.1 x5.水壩中有一直立矩形閘門(mén)，寬為 3米，高為4米，閘門(mén)的上邊平行于水面，頂部與水面相齊，則閘門(mén)所受 到的水壓力為.三、計(jì)算下列各題1.求極限,1 xsin x2 sin xln(1 x), x 0,2 .求函數(shù).f (x),的導(dǎo)數(shù).sin x,x 0,3 . f(x) x 1n(1 O,求 y t arctant,dx t 1x 24.確定曲線f(x) o(t 1)(t 2)2dt的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)

14、.四、求下列積分1 .x2 cos xdxc 142 ,2 . 0*5 x dx .五、級(jí)數(shù)1.求哥級(jí)數(shù)-n-xn在收斂域內(nèi)的和函數(shù)。n 1 32.設(shè)級(jí)數(shù)(an an 1)收斂,bn (bn 0)收斂，證明級(jí)數(shù)anbn絕對(duì)收斂。六、求單位球的內(nèi)接正圓錐體的最大體積以及取得最大體積時(shí)椎體的高七、設(shè)f (x)在0, 1上可微,1且 f(1) 2 02e1x2f(x)dx,證明至少存在一點(diǎn) (0,1),使得f ( ) 2 f().答案:1. B.2. C.3. A. 4.D.5. C二、1.n 1 /1) (n1)!.2. arcsineC.3.4.25. 24g(KN).、1.2.四、1.五、1.

15、六、二、填空題已知2.曲線3.已知2.x sin x(3max六、f(x)3x'2f'1(x) x 1, cosx,2xcosx2sin0,0,C.3.2.324.拐點(diǎn)(, 3112814),(2,332,4,h o813高數(shù) 2013/01/081 . 1-sinx xsin-y = ln x在點(diǎn)0在x 0處連續(xù),0處的切線平行于y = 2xF(x)是sinx2的一個(gè)原函數(shù),則 d(F(x2) 二n4 .騫級(jí)數(shù) 工 n 1 n3n的收斂半徑為則b=3.5.設(shè) f(x) lim txxx t 皿，則x tf (0)=三、計(jì)算題lnsin x1 .求 lim2x 2(2x)22.

16、設(shè)x y3 .a cos t 3 ，求asin t3.已知方程四、計(jì)算積分et dtx2costdt確定函數(shù) y = y(x),求 dx1.求 xcos2 xdx。2X-2 Xdx。五、求曲線y六、一密度為2.51 一 ,一八的凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)及漸近線。 x103 (單位：kg/m 3),底半徑為r(單位：m),高為h(單位：m)的金屬圓柱體放入水中，上底面與水面相切,求將這個(gè)圓柱體撈出水面所做的功。七、求哥級(jí)數(shù)nn 1xn的和函數(shù)，并求0 n!n 1的力n的和。0 2nn!八、設(shè)函數(shù)f (x)在0,1上非負(fù)連續(xù)，證明:(1)存在X0(0,1),使在0, Xo上以f (X0)為高的矩形面積 S等

17、于在X0,1上以y = f(x)為曲邊的曲邊梯形面積S。(2)若函數(shù)f (x )在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f (x)2f兇，則(1)中的X0是唯一的。答案七、高數(shù) 2014/01/13單項(xiàng)選擇題(每小題4分，共24分)若函數(shù)f(x)滿足f'(x) ef (X)，且 f(0)f(n) (0)().A: (n 1)!ennB: n!e ,C：(nn 11)! en 1D: n!e對(duì)于積分設(shè) f(x)極限lxm?1a ： e6B:，-sin x(2B:1b： e6sinx、 _)dx,C:D:1,則 f(x)在01D:2上滿足的Lagrange中值定理的=(1e30若 f(x)連續(xù)，且Xf(x)

18、dx0,10xf (x)dxA：當(dāng) X ( 1,1)時(shí)，f(x) 01d： e30,則(B:當(dāng) X ( 1,1)時(shí),f (x) 0,C: f(x)在(1,1)至少有一個(gè)零點(diǎn). D: f(x)在(1,1)必?zé)o零點(diǎn). x6 若函數(shù) F(x) ° (2t x) f(t)dt,其中 f (x)在(1,1)二階可導(dǎo)，并且 f'(x) 0 ,當(dāng) x ( 1,1)時(shí)，則().A: F(x)在x 0取極大值； B: F(x)在x 0取極小值；C: F(x)在x 0不取極值，點(diǎn)(0,0)也不是曲線y F(x)的拐點(diǎn)；D: F(x)在x 0不取極值，但是點(diǎn)(0,0)是曲線y F(x)的拐點(diǎn).二

19、填空題(每小題4分，共24分) , 、3- 2/，.、7函數(shù)f(x)x6x1在x ( 1,1)的極大值是().1.8 反常積分一=dx().2 x x 19 曲線y k(x2 3)2在拐點(diǎn)處的法線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則常數(shù)k2().x10曲線y c tantdt位于0 x 一的弧長(zhǎng)是().04211 若 f (x), g(x)在(，)連續(xù)，且 g(x) 0 f (x)dx 10x , 12則 0 g(x)dx 0 f (x)dx ().d e14(8 分)若 f(x)非負(fù)連續(xù)，且 f(x) n f (x t)dt sin4x,求 f (一)的值.024b15(8分)確定a,b,的值，使得f(x) - -

20、x3 bx2 2x在x 2處432 112 展開(kāi)成關(guān)于x的哥級(jí)數(shù)為().dx x三 解答下列各題，應(yīng)有必要的步驟或說(shuō)明(共 52分)x2 1.13(8分)求f(x) 的間斷點(diǎn)，并指出其類(lèi)型.sin( x)取極值，在2)處使f'( ) 0 ,但f ()不是極值.設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上滿足 a f (x)b , | f (x) | q 1 ,令 Un f (Un 1),1,2,3,L,U0a,b,證明:(u nn 1un)絕對(duì)收斂。(8分)f (x)0計(jì)算 2(x1)2f(x(8分)求在上半平面由曲線的平面圖形,(1)面積，(2)圍繞 y(4分)若x0,1時(shí),t2dt1)dx.x所圍成軸

21、旋轉(zhuǎn)一周的立體體積f "(x) 0 ,證明：對(duì)任意正常數(shù)1 rr 10 gdx f(-1).參考答案A B A B C D ;7: 1,8: , 9: ,10: ln( . 2 1), 11: 5,232間斷點(diǎn)是 x k, (k是整數(shù))f(-)16八5八(1) A - .6分2(2) Vy八、高數(shù) 2015/01/1916 n171819131415161718計(jì)算題(每小題5分，共50分)11求極限lim 1 sinx航 x 0.X2i2 設(shè) f(x)ba arccosxx 1x 1 求a、b,使得f(x)在x 1處連續(xù)。1 x 13 設(shè) f (x)ln(x JT)求 f (0)4

22、求由參數(shù)方程d2y dx2x2tt2 3所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) y3t t35 求 lim x 1 x 11In x6 求 lim 陰O'an" (a 0) n7求積分e8 求積分 11 ln x | dx。1«12 和-2。 n 1 (2n 1) n 1 ne9設(shè)f(x) x 1(0 x 2),將f(x)展成余弦級(jí)數(shù)，并計(jì)算110 求哥級(jí)數(shù)-(2x 3)n的收斂域，并判斷x在收斂域端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)是條件收斂還是絕對(duì)收斂。n 0 2n 1二 設(shè)f(x) (x a) (x),(x)在x = a處有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，求f (a), f (a)1三 設(shè)D是由曲線y x3,直線x a(a 0)及x軸圍成的平面圖